2022年高等数学知识点总结.docx

精品_精品资料_高等数学学问点总结导数公式： 导数公式：tan x = sec2 x c tan x = csc2 x sec x = sec x tan x csc x = csc x cot x a x = x ln a基本积分表：基本积分表：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：arcsin x = 11 x2 1 arccos x = 1 x2 x1 arcta=n1+ x2 1 arc cot x = 1+ x2 tan xdx = ln cos x + C cot xdx = ln sin x + C sec xdx = ln sec x + tan x + C c+ Cdx 1 x = arctan +C 2 +x a a dx 1 xa x 2 a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x a a 2 x 2 = 2a ln a x2 x 2 = arcsin a + C cos sin dx2x x= sec 2 xdx = tan x + C = csc 2 xdx = cot x + C dx2a sec x tan xdx = sec x + C csc x cot xdx = csc x + C x a dx =2ax +C ln a shxdx = chx + C chxdx = shx + Cdx x± a 2 2= ln x + x 2± a 2 + C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22I n = sin n xdx = cos n xdx = 0 0 2n 1 I n2 n sinx =x a2 2 2 x + a dx = x + a + ln x + x 2 + a 2 + C 2 2 x a2 x 2 a 2 dx = x 2 a 2 ln x + x 2 a 2 + C 2 2 x a2 x a 2 x 2 dx = a 2 x 2 + arcsin + C 2 2 a22u 1 u2 x 2du ,x = cos ,= tan ,= u dx 1+ u2 1+ u2 2 1+ u2 1 / 13一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限：ex ex 双曲正弦 : shx = 2 x e + e x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x e x 双曲正切 : thx = = chx e x + e x arshx = ln x + x 2 + 1） archx =± ln x + x 2 1 1 1+ x arthx = ln 2 1 x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：·诱导公式： 函数 角 A - 90-° 90 °+ 1-80 °180 ° + 27-0 °270 ° + -36036°0 ° 和+差角·公式：和差角公式：limsin 0x x + x=x1 = e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limx 11 xsin -sin cos cos -sinsin-cos -cos -sin sin cos cos si-nsin-cos -cos -sin sin cos cos tg - tan cot-cot -tan tan c-ocot t -tan tanctg -cot tan-tan -cot cot t-atann -cot cot·和差化积公式：和差化积公式：sin ± = sin cos ± cos sin cos ± = cos cos m sin sin= 1 m tan tan cot cot m 1 cot ± = cot ± cotsin + sin = 2 sin + 2 2 + sin sin = 2 cos sin 2 2 + cos + cos = 2 cos cos 2 2 sin sin 2 2cos 2 / 13·倍角公式： 倍角公式：sin 2 = 2 sin cos cos 2 = 2 cos2 1 = 1 2 sin 2 = cos2 sin 2 cot2 1 cot 2tan tan 2 = 1 tan2·半角公式： 半角公式：sin 3 = 3sin 4 sin3 cos3 = 4 cos3 3 cos 3 tan tan3 tan 3 = 1 3 tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin tan2=± = ± 1 cos 1 + coscos =± 2 2 2 1 cos 1 cos sin 1 + cos+ cos sin = = cot =± = = 1 + cos sin 1 + cos 2 1 cos sin 1 cosa b c = = = 2R sin A sin B sin C·余弦定理： c = a + b 2ab cos C 余弦定理： 2 2 22·正弦定理： 正弦定理： 定理·反三角函数性质：arcsin x = 反三角函数性质： 2arccos xarctan x =2arc cot x高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz）公式： 高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz）公式：莱布尼兹k uv n = C n u nk v k k =0 n= u n v + nu n1 v +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1 n2 nn 1Ln k + 1 nk k u v + L + uv n u v+ 2. k. + L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_拉格朗日中值定理： f b f a = f b a f b f 柯a 西 f中值定理：=Fb F a F F x = x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.曲率： 曲率：当 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弧微分公式：ds = 1 + y 2 d其x中,y = tg平均K曲率：= . 从:M点到 M 点,切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线斜率的倾角变化量. s： MM弧长. s y d点的M曲率： K = lim = = . s 0 s ds 1 + y 2 3 1 . a3 / 13直线： K = 0; 半径为 a 的圆： K =定积分的近似运算：定积分的近似运算： 矩形法：f x a bba y0 + y1 + L + y n1 n ba 1 y0 + y n + y1 + L + y n1 n 2 ba y0 + y n + 2 y 2 + y 4 + L + yn2 + 4 y1 + y3 + L + y n1 3n梯形法：f x a b b抛物线法： f x a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_功：W = F s 水压力： F = p A m1m2 , k 为引力系数 r2 b 1 函数的平均值： = y f xdx ba力： F = k 1 2 均方根： f t dt ba a空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b引 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间 2 点的距离： d = M 1 M 2 = x2 x1 2 + y 2 y1 2 + z 2 z1 2 向量在轴上的投影：ju AB= AB cos ,是 AB 与 u 轴的夹角. Pr v v v v Pr ju a1 + a 2 = Pr ja1 + Pr ja 2 v v v v a b = a b cosa x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量 , 两向量之间的夹角： = cos i v v v c = a× b = ax bx j ay by k a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z bx + b y + bz2 2 2 2 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v v v v v v a z , c = a b sin bz ay by cy az cz例：线速度：v. = w× r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax v vv v v v 向量的混合积：b c = a× b c = bx代a表c平x 行六面体的体积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v v v bz = a× b c c为os锐角时, 4 / 13平面的方程： v 1、点法式： A x x0 + B y y 0 + C z z 0 = ,0 其中 n = A, B, C, M 0 x0 , y0 , z 0 2、一般方程： Ax + By + Cz + D = 0 x y z 、3 截距世方程：+ + = 1 a b c 平面外任意一点到该平 面的距离： d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2x = x0 + mt x x0 y y 0 z z 0 v 空间直线的方程： = = = t , 其中 s = m, n, p; 参数方程： y = y0 + nt m n p z = z + pt 0 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： + = z（ p, q 同号） , 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z2 单叶双曲面： 2 + 2 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面： 2 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c多元函数微分法及应用全微分： dz =z z u u u dx + dydu = dx + dy + dz z x y x y全微分的近似运算： z dz = f x x, y x + f y x, y 多y 元复合函数的求导法：dz z u z v z = f ut , vt = +dt u t v t z z u z v z = f u x, y , v x, y =+ x u x v x 当 u = u x, y ,v = v x, y 时, du = u u v v dx + dydv = dx + dyx y x y隐函数的求导公式：F F F dy dy d2y 隐函数 F x, y = 0,= x ,2 = x x x Fy y Fy dx dx Fy dx Fy F z z隐函数 F x, y, z = 0,= x ,= x y Fz Fz5 / 13F F x, y , u , v = 0 F , G u隐函数方程组：J = = G u , v G x, y, u , v = 0 u u 1 F , Gv 1 F , G= = x J x, v x J u , x u 1 F , G v 1 F , G = = y J y, v y J u ,y 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：F v = Fu G Gu v Fv Gvx = t xx y y0 z z 0 空间曲线 y = 在t 点 M x0 , y0 , z 0 处的切线方程： 0 = = t 0 t 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ t 0 z =在点Mt 处的法平面方程： t 0 x x0 + t 0 y y0 + t 0 z z 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fy Fz Fz Fx Fx F x, y , z = 0就, 切向量 T = , , 如空间曲线方程为： G y G z Gz G x Gx G x, y, z = 0 曲面 F x, y, z = 0上一点 M x0 , y0 , z 0 ,就： v 1、过此点的法向量： n = Fx x0 , y0 , z 0 , Fy x0 , y 0 , z 0 , Fz x0 , y0 , z 0 x x0 y y0 z z0、3过此点的法线方程： = = Fx x0 , y0 , z 0 Fy x0 , y0 , z 0 Fz x0 , y0 , z 0 方向导数与梯度： 方向导数与梯度：Fy Gy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、过此点的切平面方程： Fx x0 , y0 , z 0 x x0 + Fy x0 , y0 , z 0 y y0 + Fz x0 , y0 , z 0 z z0 = 0f f f 函数 z = f x, y 在一点 p x, y 沿任一方向 l 的方向导数为： = cos + sin l x y 其中为 x 轴到方向 l 的转角. f v f v i+ j x y v v f v v 它与方向导数的关系是： = grad f x, y e ,其中 e = cos i + sin j ,为 l 方向上的 l 单位向量. f 是 gradf x, y 在 l 上的投影. l 函数 z = f x, y 在一点 p x, y 的梯度： gradf x, y =多元函数的极值及其求法： 多元函数的极值及其求法：设 f x x 0 , y 0 = f y x 0 , y 0 = 0,令： f xx x 0 , y 0 = A ,f xy x 0 , y 0 = B ,f yy x0 , y 0 = C A < 0 , x 0 , y 0 为 极大值 2 AC B > 0时, A > 0 , x 0 , y 0 为微小值 2 就： AC B <0 时,无极 值 AC B 2 = 0时 ,不确定6 / 13重积分及其应用：重积分及其应用： f x, ydxdy = f r cos , r sin rdrdD D曲面 z = f x, y 的面积 A = Dz z 1 + + dxdy x y 22M平面薄片的重心：x = x = M x x, ydD x, ydD 2 D,y =My M= y x, ydD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, ydD D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面薄片的转动惯量： 对于 x 轴 I x = y x, y d对于 y,轴 I y = x 2 x平, 面y d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_薄片（位于 xoy 平面）对 z 轴上质点 M 0,0, a , a > 0的引力： F = Fx , Fy , Fz , fD x, y xdx2 + y 2 + a 3 2 2,Fy = fD x, y ydx2 + y 2 + a 3 2 2,Fz = faD x, y xd3x2 + y2 + a2 2柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：其中：Fx =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x = r cos柱面坐标： y = r sin ,f x, y, z dxdydz = F r , 其, z中r：drd dz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F r , , z = f r cos , r sin= r 2 sin drdd z = r cos球面,坐z标 x：= ry s=inr csoinssin, dv = rd r sin d dr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f x, y, z dxdydz = F r , , r sin drdd = d d 0 0 2 r , F r , , r 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin dr重心： x = 1 M x dvy, = M y zdv=, M, z d其v中 M = x = dv 2 2 2 2 2 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转动惯量： I x = y + ,z 曲线积分： 曲线积分：Iy d=v x + ,z Iz d=v x + y dv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： x = t 设 f x, y 在 L上连续, L 的参数方程为：, t 就：, y = t f x, y ds =L f t , t 2 t + 2 <t dt 特别情形： x=t y = t 7 / 13其次类曲线积分（对坐设 L 的参数方程为标的曲线积分） ： x = t ,就： y = t LP x , y dx + Q x , y dy = P t ,L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ t t + Q t , t t dt两类曲线积分之间的关系： Pdx + Qdy = P cos L + Q cos,其ds中 和 分别为Q P dxdy = y = 1 2L 上积分起止点处切向量的方向角. Q P 格林公式： dxdy = P格d林x +公Q式d：yxy D L 当 P = y , Q = x ,即： ·平面上曲线积分与路径1、 G 是一个单连通区域.2 、 P x , y , Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分,·二元函数的全微分求 积 在 留意方向相反；： ,且 Q P = 2 时,得到 x y 无关的条件：D 的面积： x D Pdx L+ Qdy A = dxdyD xdy LydxQ P .留意奇点,如x y 0 , 0 ,应Q P 时, Pdx + Qdy 才是二元函数x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,yu x , y 的全微分,其中：x 0 = y 0 = 0.u x, y = P x , y dx x0 , y0 + Q x , y dy ,通常设曲面积分： 曲面积分：对面积的曲面积分： f x , y , z ds = f x , y , z x , y D xy2 2 1 + z x x , y + z y x , y dxdy对坐标的曲面积分： P x , y , z dydz + Q x , y , z dzdx + R x , y , z ,dx其dy中： R x, ,zy dxdy= ± R x , y , z x , y, 取dx曲dy面的上侧时取正号.D xy P x , y , z dydz 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= ± P x y , z , y , z,d取yd曲z D yz面的前侧时取正号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Q x , y , z dzdx =± Q, 取x ,曲y面 z的, 右x 侧, z时d取zd正x D zx号.两类曲面积分之间的关系： Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ P cos + Q cos + R cos ds高斯公式： 高斯公式：8 / 13 x + yP Q+R dv = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = P cos + Q cos + R cos ds z 高斯公式的物理意义 通量与散度：v P Q R v 散度： div = + +即,：单位体积内所产生 的流体质量, 如 div < 0,就为消逝 . x y z v v 通量： A n ds = An ds = P cos + Q cos + R cos, ds 因v此,高斯公式又可写成： div Adv = An ds 斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系： 曲线积分与曲面积分的关系 y z dydz + z x dzdx + x R QP R QP dxdy = Pdx + Qdy + Rdz y cos y Q cos z R dydz 上式左端又可写成： x P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dzdx y Qdxdy cos = z x R PR Q P R Q P空间曲线积分与路径无关的条件： = ,= ,= y z z x x y i j k v 旋度： rot A = x y z P Q R v v v向量场 A 沿有向闭曲线的环流量：Pdx + Qdy + Rdz =A t ds 常数项级数：常数项级数：1 qn 1 q n + 1 n 等差数列：1 + 2 + 3 + L + n = 2 1 1 1 调和级数：1 + + + L + 是发散的 2 3 n 等比数列： 1 + q + q 2 + L + q n 1 =级数审敛法：级数审敛法：9 / 131、正项级数的审敛法n 根植审敛法（柯西判别法）： < 1时,级数收敛设： = lim u n,就 > 1时,级数发散n =时1,不确定 2、比值审敛法：设： = lim时< ,1 级数收敛 U n +1 ,就 > 1时,级数发散n U n = 1时,不确定 3、定义法：s n = u 1 + u 2 + L + u n ; lim s n 存在,就收敛.否就发n 散.交叉级数 u1 u 2 + u 3 u 4 + L 或 u1 +u 2 u 3 + L, u n > 0的审敛法 莱布尼兹定理：u n u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n+1 假如交叉级数满意,那么级数收敛且其和s u1其, u n = 0 n 确定收敛与条件收敛：确定收敛与条件收敛：余项 rn 的确定值 rn nu+1. lim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1u1 + u 2 + L + u n + L,其中 u n 为任意实数. 2 u1 + u 2 + u 3 + L + u n + L 假如 2 收敛, 就 1确定收敛,且称为确定收敛级数. 假如 2 发散,而1收敛,就称 1为条件收敛级数. 1 1 n 调和级数：发散,而 收敛. n n 1级数： n 2 收敛.时发散 1p 级数：n pp > 1 时收敛幂级数：幂级数：1 + x + x + x + L + x + L 2 3 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x < 1 时,收敛于 x 时1 ,发散1 1 x对于级数3 a0 + a1 xa2 x + L + an x n + L ,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全 + x < R 时收敛 数轴上都收敛,就必存在 R ,使 x > R 时发散 ,其中 R 称为收敛半径.x = R时不定 时0, R =a 求收敛半径的方法：设lim n +1 = ,其中 a n, an +1 是 3的系数,就 n a n 1 = 0时, R = + = 时+ , R = 0函数绽开成幂级数：函数绽开成幂级数：10 / 13函数绽开成泰勒级数：余项： R n = f x = f x 0 x x 0 +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 0 f n x0 x x0 2 + L + x x0 n + L充2.要n条. n 件是： lim R n = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n +1 x x 0 n +1 , f x 可以绽开成泰勒级数的 n + 1. f x = f 0 + f 0 x +x 0 = 0 时即为麦克劳林公式：f 0 2 f n 0 n x +L + x +L 2. n.一些函数绽开成幂级数：一些函数绽开成幂级数：m m 1 2 m m 1 L m n + 1 n 1 + x m= 1 + mx + x +L + x + L1 < x < 1 2. n. x3 x5 x 2 n 1 sin x = x + L + 1 n 1 + L <x < + 3. 5. 2 n 1欧.拉公式： 欧拉公式：e ix + e ix cos x = 2 = cos x + i sin x或 e ix e ix sin x = 2 e ix三角级数： 三角级数： a0 + a n cos nx + b n sin nx 2 n =1 n其=中1 , a 0 = aA 0, a n = A n sin n, b n = A n cos n, t = x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f t = A0 +Ansin n t + n =正交性： 1, sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x L sin nx , cos nx L 任意两个不同项的乘积上的积分0.在 , 傅立叶级数：傅立叶级数：f x = a0 + 2 a n =1ncos nx + b n sin nx ,周期= 2 1 an =其中 b = 1 n f x cos nxdxn = 0 ,1, 2 L f x sin nxdxn = 1, 2 , 3 L 1+ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 1 1 1+ 2 + 2 +L = 8 3 5 2 1 1 1 + 2 + 2 +L = 2 2 4 6 24正弦级数： 余弦级数： a n = 0, b n = b n = 0, a n = 2 1 1 1 + 2 + 2 + L =（相加） 6 22 3 4 2 1 1 1 1 2 + 2 2 +（L相=减）2 3 4 12220f x sin n xdxn = 1, 2 , 3 Lf x = f x cos nxdxn = 0 ,1, 2 Lf x =bnsin nx 是奇函数0a0 + 2ancos nx 是偶函数的周期函数的傅立叶级数：周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：11 / 13f x =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 + 2 a n =1n cosn x n x + b n s,in周 期 = 2 l l l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l 1 n x dxn = 0 ,1, 2 L a n = f其 中x clobs =l l1l f x sin n2 ,3 L n l l lnx =dx1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y = f x , y 或P x , y dx + Q x , y dy = 0 可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 g y dy = f x dx的形式,解法： g y dy =f x dx得： G y = F x + C称为隐式通解.程可以写成dy y = f x , y = x , y ,即写成 的函数, 解法： dx x y dy du du dx du y设 u = ,就 =u+x , u + = u , = 分别变量,积分后将代替 u , x dx dx dx x u u x 齐次方程：一阶微分方 即得齐次方程通解.一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：