2022年经济数学基础作业22 .docx
_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 经济数学基础作业 2 （积分学部分第1 章不定积分第2 章定积分）学问要点：1懂得原函数与不定积分概念；原函数的概念：如函数Fx的导数等于f x,即Fxfx,就称函数Fx是f x的原函数；fx留意：（ 1）原函数不是唯独的；如F x是f x的原函数,就Fxc都是的原函数（其中c是任意常数）；x c（ 2）原函数的表示形式；如F x和Gx都是f x的原函数,就GxF（ c是常数）不定积分的概念：f原 函 数 的 全 体Fxc（ 其 中 c 是 任 意 常 数 ） 称 为f x的 不 定 积 分 , 记 为x d x=Fxc；（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系不定积分与导数（微分）之间互为逆运算,即先积分,再求导,等于它本身；先求导,再积分,等于函数加上一个任意常数,即 f x d x = f x , f x d x f x c2明白定积分的概念,定积分的几何意义,知道奇偶函数在对称区间上的积分结果奇偶函数在对称区间上的定积分有以下结果：如 f 是奇函数,就有af d x0af x dx20f x dxa如 f x 是偶函数,就有af dx2a0a3知道无穷限积分的收敛概念,会求简洁的无穷限积分；4. 娴熟把握积分的运算不定积分和定积分的关系：牛顿莱布尼兹公式：b af x d xF x bF b F a a1 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 常用的积分方法有：（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法,不定分部积分公式：uxvxdxuxvxux vx dx或udvuvvdu主要把握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；xnexdx,令uxn x,vx exx,xn,幂函数与对数函数相乘；xln xdx,1 ,令ux lnx ,vx 幂函数与正（余）弦函数相乘；xn sinx xdx或xncos xdx,令u 作业 2 解答一填空题 1 如fxdx2x2xc,就 f（ x）= ccf x 解： 1 .由于如fx dxFxc,就 F x 因此fx 2x2xc 2xln22xc2sinxdx解：由不定积分和导数的关系：fxdxf；就sinxdxsinxc； 3fxdxFxc,就exfexd xx解：由于fxdxFxc,就exfex dxfexdex=F e4deln 1x 2dxdx1e解：由于定积分ln 1x2dx是常数,常数的导数为零,12 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 因此deln 12 xdx0dx15如p x011t2dt,就Pxxx解：由于ftdtFx Fa ,就Fxfx ,ap x 01t2dtx1t2dt,就Px11x2；x101二单项挑选题21以下函数中,（）是 x sin x 的原函数；1 2 2A. cos x B. 2 cos x22 1 2C. 2 cos x D. cos x2解：原函数的概念：如 F x f x ,就称函数 F x 是 f x 的原函数；1 2 1 2 2A 是错误的；由于 cos x sin x 2 x = x sin x2 2正确的选项是 D. 2以下等式成立是（）1A. sin xdx d cos x B. ln xdx d xC. 2 xdx 1 d 2 x D. 1 dx d xln 2 x解： A 是错误的；由于 d cos x cos x dx sin xdx；1 1 1 B 是错误的；由于 d dx 2 dx；x x x1 x 1 x 1 x x C 是正确的；由于 d 2 2 dx 2 ln 2 dx 2 dx；ln 2 ln 2 ln 21 D 是错误的；由于 d x x dx dx2 x正确的选项是 C；3以下不定积分中,常用分步积分法运算的是（）3 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - A.cos 2x1 dxB.x12 xdxC. xsin2xdxD. 1x2dxxnexdx,xln xdx,1 ,x解：常用分部积分法运算的积分有：xn sinxdx或x n cosxdx；该题正确的选项是C ）4以下定积分运算正确选项（116A.2x dx2B.dx15112C. sinxdx0D. sin xdx02解： A 是错误的；由于12x dx2x1122 40221 B 是错误的；由于16dxx161611711 C 是错误的；由于函数sinx是偶函数,因此222sinxdx2sinxdx=2sinx dx2cosx2 0000；2D 是正确的；由于函数sinx是奇函数,因此sin xdx5以下无穷积分中收敛的是（）A.11 dxxB.11 dx 2 xC. x edxD. sin xdx004 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5解： A 是错误的；由于11 dxxb limb1dxb limlnxbb limlnbln1是发散的；1x1 B 是正确的；由于11 dx 2 xlim bb1dxlim b1blim b11 112 xx1bbC 是错误的；由于0e x dxlim b0e x dxlim be b1是发散的；bD 是错误的；由于0sin xdx=lim b0sinxdxlim bcos b1 是发散的；正确的选项是B；三解答题1 运算以下不定积分解：（1）3xdxxdx3 ex1canan,MlogN,1x e解： （ 1）x 3dx=3bnbMlogN alogx eeaacaxdxaxc=3 ex aln3 eln3ln（2） 1x 2d xdxdxxdxx1cx1x 2d x12 xx21xx311=x22 x2x2=2x14x32x5222c35（3）x24d xx25 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：x24dx=x2dxx2（4）=1x22xc-2x1dxlnxcx211dx-2x解：11dx=11d1x-2x21-2x1 2d12dx（5） =1ln12xc2x2x2dx解：x2x 2 x12x21d2x2设f1 uduFu c ,x dx 2就f 1x x dxf 12dxFx c1=122x23cxdx1 xc ,2231xdx1d 2x2 =12x23c223（ 6）sinxx d xsinxdxcosxc解：sinxx d x=2sinxdx1dx2dxx=2cosxcu vdxuvuvdx（7）xsinxd x2解：x sinxdx2x dcosxn xsinxdx ,令uxn22=2xcosx2cosxsinxdx2dcosx22226 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - =2xcosx4sinxc22（ 8 ）llnx1dxlnx1d1xxu vdxuvuvdxulnx解：nx1dx= = 1=1xln1x 1dxxlnxdx ,1 令1xxln1xxc2运算以下定积分2（1）1xdxxdx2xdx215bdxcxdxbfxdx1fxf21解：1xdx11a1ax1cx,1x111121 dxx x,1x1 =1x dxx111x2x21=x122 =1111 24 221 2x edxexc22（2）21dxex1d11x21解：2exdx=21dx1de x21x1xex2x121exe21（3）e3x11lnxdx=e3 1lnx1d 1lnx 1xdxd11lnx1c11e3解：1x1lnxdx12dx1xx7 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - =21lnxe 31=21lne 321ln1=2 2（4）xcos xdx0解：2xcos xdx=122x12sin2xdxu vdxuvuvdxn0xdsinn xcosxdx ,令 ux20=1xsin2x21cos 2 xdx1dsin2x22020 =12sin112 0cos2x 1222 =1coscos0442e（5）xlnxdx1eexd2 x21dxu vdxuvuvdx解：（ 5）xlnxdxln11exlnxdx ,1 ,=x2lnxe2 x令u1lnx212x =2 elne1xexdxdx2212242 e12 e1244 =12 e1444（6） 1xexdx08 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 9 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：4 1xex dx=41 dx4xexdx0 =4=00x4 04eu vdxuvuvdxx4 04xdexx nexdx ,令ux n0xex44x dxdexexdx 00=44 e4e =44 e4 e41 55 e9 / 9 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 9 页
