2022年极坐标和参数方程知识点总结大全 .docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 Px,y 是平面直角坐标系中的任意一点 , 在变换的作用下 , 点 Px,y 对应到点, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 . 2. 极坐标系的概念 1 极坐标系如下列图, 在平面内取一个定点, 叫做极点 , 自极点引一条射线 , 叫做极轴；再选定一个长度单位 , 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 , 这样就建立了一个极坐标系 . 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系就不行 . 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 . 2 极坐标名师归纳总结 设 M是平面内一点 , 极点与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为；以第 1 页,共 6 页极轴为始边 , 射线为终边的角叫做点 M 的极角 , 记为. 有序数对叫做点 M的极坐标 , 记作. 一般地 , 不作特殊说明时 , 我们认为可取任意实数 . 特殊地 , 当点在极点时 , 它的极坐标为 0, R. 和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐标有很多种表示. 假如规定, 那么除极点外, 平面内的点可用唯独的极坐标表示；同时 , 极坐标表示的点也是唯独确定的. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 极坐标和直角坐标的互化1 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如下列图 : 2 互化公式 : 设 是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是 , 极坐标是, 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标互化公式在一般情形下 , 由确定角时 , 可依据点所在的象限最小正角 . 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点 , 半径为 的圆名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆1过极点 , 倾斜角为的直线2过点,与极轴垂直的直线过点 ,与极轴平行的直线注 :由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯一 ,即名师归纳总结 都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐第 3 页,共 6 页标的唯独性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满意极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程点可以表- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 示为等多种形式 , 其中 , 只有的极坐标满意方程 . 二、参数方程1. 参数方程的概念数一般地 , 在平面直角坐标系中, 假如曲线上任意一点的坐标都是某个变的函数 , 并且对于的每一个答应值, 由方程组所确定的点都在这条曲线上 , 那么方程就叫做这条曲线的参数方程 , 联系变数的变数 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程 . 2. 参数方程和一般方程的互化1 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式 去参数而从参数方程得到一般方程 . , 一般地可以通过消2 假如知道变数中的一个与参数的关系 , 例如, 把它代入一般方程 , 求出另一个变数与参数的关系, 那么就是曲线的参数方程 ,在参数方程与一般方程的互化中, 必需使的取值范畴保持一样 . 注： 一般方程化为参数方程,参数方程的形式不肯定唯独；应用参数方程 解轨迹问题,关键在于适当地设参数,假如选用的参数不同,那么所求得的曲 线的参数方程的形式也不同；3圆的参数在圆如下列图,设圆的半径为,点从初始位置动身,按逆时针方向上作匀速圆周运动,设,就；这就是圆心在原点,半径为的圆的参数方程,其中的几何意义是转过的角度；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 圆心为,半径为的圆的一般方程是,它的参数方程为：；4椭圆的参数方程以 坐 标 原 点为 中 心 , 焦 点 在轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为其参数方程为,其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角,通常规定参数的范畴为0 ,2）；注： 椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的范畴内）,在其他任何一点,两个角的数值都不相等；但当 时,相应地也有,在其他象限内类似；5双曲线的参数方程以 坐 标 原 点 为 中 心 , 焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 议 程 为其 参 数 方 程 为, 其 中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角；6抛物线的参数方程以坐标 原点 为顶 点, 开口向 右的 抛物线7直线的参数方程的 参数方 程为经 过 点, 倾 斜 角 为的 直 线的 普 通 方 程 是而 过, 倾 斜 角 为的 直 线的 参 数 方 程 为；注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点,倾斜角为的直线 的参数方程为,其中表示直线上以定点为起点,任一点 为终点的有向线段 的数量,当点 在 上方时,0；当点 在 下方时,0；当点 与 重合时,=0；我们也可以把参数 懂得为以 为原点,直线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
