2022年高一数学直线方程知识点归纳及典型例题.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备直线的一般式方程及综合【学习目标】1把握直线的一般式方程.2能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程,并懂得这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处.3能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0 ,这个方程 其中 A 、B 不全为零 叫做直线方程的一般式要点诠释：1A 、B 不全为零才能表示一条直线,如A 、B 全为零就不能表示一条直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B0时,方程可变形为yA xC,它表示过点0,C,斜率为A的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BBBBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B=0 , A0时,方程可变形为Ax+C=0 ,即 x,它表示一条与x 轴垂直的直线A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由上可知,关于x、 y 的二元一次方程,它都表示一条直线2在平面直角坐标系中,一个关于x、y 的二元一次方程对应着唯独的一条直线,反过来,一条直线可以对应着很多个关于x 、y 的一次方程 （如斜率为2,在 y 轴上的截距为1 的直线, 其方程可以是2xy+1=0 ,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也可以是xy220 ,仍可以是4x 2y+2=0 等）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范畴点斜式yy1=kx x1（ x1, y1）是直线上肯定点,k 是斜率不垂直于x 轴斜截式y=kx+bk 是斜率, b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式yy1xx1（ x1, y1）,（x 2,y 2）是直线上两定点不垂直于x 轴和 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截距式y2y1x2x1xy1aba 是直线在x 轴上的非零截距,b 是直线在 y 轴上的非零截距不垂直于x 轴和 y 轴,且不过原点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式Ax+By+C=0 （ A2+B 20）A 、B 、C 为系数任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要留意在这两种形式中都要求 直 线 存 在 斜 率 , 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 , 其 限 制 条 件 更 多 （ x1x2 , y1 y2 ）, 应 用 时 如 采 用y 2y1x x1 x2x1y y1=0 的形式,即可排除局限性截距式是两点式的特例,在使用截距式时, 第一要判定是否满意“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件直线方程的一般式包含了平面上的全部直线形式一般式常化为斜截式与截距式如一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的方程也不同要点三：直线方程的综合应用1已知所求曲线是直线时,用待定系数法求2依据题目所给条件,挑选适当的直线方程的形式,求出直线方程 对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同,考虑的方向也不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备（ 1）从斜截式考虑可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知直线l1 : yk1 xb1 , l 2: yk2 xb2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 / l212k1k2 b1b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lltancotk1k k112121211 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2于是与直线ykxb 平行的直线可以设为（ 2）从一般式考虑：k2ykxb1 .垂直的直线可以设为y1xb2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 : A1xB1 yC10,l2: A2 xB2 yC20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1l2A1 A2B1 B20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 / / l2A1 B2A2 B10且 A1C 2A2C10 或 B1C2B2C10 ,记忆式（A1A2B1C1）B2C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 与 l 2 重合,A1B2A2B10 ,A1C 2A2 C10 , B1C2B2C10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 是 与 直 线AxByC0 平 行 的 直 线 可 以 设 为AxByD0 . 垂 直 的 直 线 可 以 设 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BxAyD0 .【典型例题】类型一：直线的一般式方程例 1依据以下条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）斜率是,经过点A （ 8, 2）.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）经过点B （ 4, 2）,平行于x 轴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32, 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）经过两点P1（ 3,2）, P2（ 5, 4）【答案】（ 1） x+2y4=0 （ 2） y2=0 （ 3） 2xy3=0 （ 4） xy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】（ 1）由点斜式方程得y21 x28 ,化成一般式得x+2y 4=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）由斜截式得y=2,化为一般式得y2=0 xy（3）由截距式得1,化成一般式得2xy3=0 332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2（4）由两点式得x3,化成一般式方程为xy10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4253【总结升华】此题主要是让同学体会直线方程的各种形式,以及各种形式向一般式的转化,对于直线方程的一般式,一般作如下商定：x 的系数为正, x ,y 的系数及常数项一般不显现分数,一般按含x 项、 y项、常数项次序排列求直线方程的题目,无特殊要求时,结果写成直线方程的一般式举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备【变式 1】已知直线l 经过点 B3,1 ,且倾斜角是30,求直线的点斜式方程和一般式方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】y13 x333x3y3330可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由于直线倾斜角是30,所以直线的斜率ktantan303,所以直线的点斜式方程3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为： y13 x33 ,化成一般式方程为：3x3 y3330 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2ABC 的一个顶点为A1,4 ,B 、C的平分线在直线y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和 xy10 上,求直线BC 的方程 .【答案】 x2 y30【解析】由角平分线的性质知,角平分线上的任意一点到角两边的距离相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,所以可得A 点关于B 的平分线的对称点A' 在 BC 上, B 点关于C 的平分线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的对称点B ' 也在 BC 上写出直线A' B ' 的方程,即为直线BC 的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3求与直线3x+4y+1=0 平行且过点（ 1, 2）的直线 l 的方程【答案】 3x+4y11=0【解析】解法一：设直线l 的斜率为k , l 与直线 3x+4y+1=0 平行, k3 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 l 经过点（ 1, 2）,可得所求直线方程为y23 x41 ,即 3x+4y 11=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：设与直线3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为3x+4y+m=0 , l 经过点（ 1, 2）, 3×1+4×2+m=0 ,解得 m=11 所求直线方程为3x+4y11=0 【总结升华】（ 1）一般的, 直线 Ax+By+C=0中系数 A、B 确定直线的斜率,因此, 与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0 ,这是常采纳的解题技巧我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程参数m 可以取mC 的任意实数,这样就得到很多条与直线Ax+By+C=0平行的直线当 m=C 时, Ax+By+m=0与 Ax+By+C=0重合（2）一般的,经过点A （x0 ,y 0）,且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为Ax x0+By y0=0 （3）类似的有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为BxAy+m=0 （ A, B 不同时为零） 举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 1】已知直线l1 ： 3mx+8y+3m-10=0和l2 ：x+6my-4=0 . 问 m 为何值时 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） l1 与 l2 平行（ 2） l1 与 l 2 垂直 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（ 1） m2（ 2） m03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】当m0 时,l1 ： 8y-10=0 . l 2 ： x-4=0 , l1l2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备3m103m14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m0 时,l1 ：yx. l 2 ： yx886m6m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由3m1,得 m2103m,由4得 m2 或 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_86m386m33而 3m 1 1 无解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_86m综上所述（ 1） m2 , l 与 l 平行（ 2） m0 , l 与 l 垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12123【变式 2】 求经过点A （ 2, 1）,且与直线2x+y10=0 垂直的直线l 的方程【答案】 x 2y=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由于直线l 与直线 2x+y10=0 垂直,可设直线l 的方程为 x2 ym0 ,把点 A （2,1）代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_入直线 l 的方程得： m0 ,所以直线 l 的方程为： x2y=0 类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例 4已知直线l 的倾斜角的正弦值为3 ,且它与坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线 l 的方程5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率,进而引进参数 直线在y 轴上的截距b,再依据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6,便可求出b也可以依据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6,设截距式直线方程,从而得出1 | ab |6 ,再依据它的斜率已知,从而得到关于a, b 的方程组,解之即可2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】【解析】y3 x43 或 y3 x34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：设l 的倾斜角为,由3sin3 ,得 tan3 544可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 l 的方程为yxb ,令 y=0,得4xb 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为4 b,03,（ 0,b）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 Sb22| b |b6 ,即 b2=9, b=±3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233故所求的直线方程分别为y3 x4xy3或 y3 x3 433可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：设直线l 的方程为1 ,倾斜角为,由absin,得 tan54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1| a | | b |62a4,解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b3b3a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的直线方程为xy1或xy1 4343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备【总结升华】（1）本例中,由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关） ,因而可挑选斜截式直线方程,也可选用截距式直线方程,故有“题目打算解法 ”之说（2）在求直线方程时,要恰当的挑选方程的形式,每种形式都具有特定的结论,所以依据已知条件恰当的挑选方程的类型往往有助于问题的解决例如：已知一点的坐标,求过这点的直线方程,通常选用点斜式,再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距.已知截距或两点,挑选截距式或两点式在求直线方程的过程中,确定的类型后,一般采纳待定系数法求解,但要留意对特殊情形的争论,以免遗漏举一反三：【变式 1】（ 2022 春 启东市期中）已知直线m： 2x y3=0 , n：x+y3=0 （ 1）求过两直线m,n 交点且与直线l： x+2y 1=0 平行的直线方程.（2）求过两直线m, n 交点且与两坐标轴围成面积为4 的直线方程【思路点拨】（ 1）求过两直线m, n 交点坐标,结合直线平行的斜率关系即可求与直线l： x+2y1=0平行的直线方程.（2）设出直线方程,求出直线和坐标轴的交点坐标,结合三角形的面积公式进行求解即可【答案】（ 1） x+2y4=0 .（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】（ 1）由2xyxy30x2,解得,30y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即两直线 m, n 交点坐标为（ 2, 1）,设与直线l： x+2y1=0 平行的直线方程为x+2y+c=0 ,就 2+2×1+c=0,解得 c=4,就对应的直线方程为x+2y4=0 .（2）设过（ 2, 1）的直线斜率为k,（ k0）,就对应的直线方程为y1= kx2 ,令 x=0, y=12k,即与 y 轴的交点坐标为A（ 0, 12k）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y=0,就 x212 kkk1,即与 x 轴的交点坐标为B 2kk1 ,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就AOB 的面积 S1| 2k2k1 |12k |4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 2k1 28 k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4k24k8 k10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 k 0,就方程等价为4k 212k10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k322或 k2322,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 k 0,就方程等价为4k 24k10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上直线的方程为y11 x22,或 y1322 x22 ,或 y1322 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 y1 x 22 ,或 y322x2222 ,或 y322x2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型三：直线方程的实际应用例 6（ 2022 春 湖北期末）光线从点A（ 2,3）射出,如镜面的位置在直线l： x+y+1=0 上,反射光线经过 B（ 1, 1）,求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从A 到 B 所走过的路线长【思路点拨】求出点A 关于 l 的对称点,就可以求出反射光线的方程,进一步求得入射点的坐标,从而可求入射光线方程,可求光线从A 到 B 所走过的路线长【答案】41【解析】设点A 关于 l 的对称点A（ x0, y0）,xx02y0310可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA被 l 垂直平分,22y031x02,解得04y03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A（4, 3）, B（1, 1）在反射光线所在直线上,反射光线的方程为y3x4 , 即 4x5y+1=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组4x5y131410得入射点的坐标为2 ,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x y1033y 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为33 ,即 5x4y+2=0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33光线从 A 到 B 所走过的路线长为| A ' B |412312413122【总结升华】此题重点考查点关于直线的对称问题,考查入射光线和反射光线,解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分举一反三：【变式 1】（ 2022 春 福建厦门期中）一条光线从点A（ 4, 2）射出,到直线y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点D（ 1,6）求 BC 所在直线的方程【答案】 10x 3y+8=0【解析】如图,A（ 4, 2）, D（ 1,6）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备由对称性求得A（ 4, 2）关于直线y=x 的对称点A（ 2, 4）,D 关于 y 轴的对称点D（ 1, 6）,就由入射光线和反射光线的性质可得：过A D的直线方程即为BC 所在直线的方程y4x26412由直线方程的两点式得：整理得： 10x 3y+8=0 例 7如图,某房的产公司要在荒的ABCDE 上划出一块长方形土的（不转变方向）建造一幢8 层的公寓,如何设计才能使公寓占的面积最大？并求出最大面积（精确到 1 m2）【答案】 6017【解析】建立坐标系,就B（ 30, 0）, A （ 0, 20）由直线的截距方程得到线段AB 的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy30201 （0 x ）30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 P 的坐标为（ x, y）,就有 y公寓的占的面积为202 x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S100x80y100x80202 x2 x220 x6000（0 x ）30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x=5 , y50时, S 取最大值,最大值为S25220560006017 m 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333502可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即当点 P 的坐标为5, 时,公寓占的面积最大,最大面积为6017 m 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【总结升华】此题是用坐标法解决生活问题,点P 的位置由两个条件确定,一是A 、P、B 三点共线,二是矩形的面积最大借三点共线寻求x 与 y 的关系,利用二次函数学问探求最大值是处理这类问题常用的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载