2022年高一数学必修各章知识点总结- .docx

精品_精品资料_高一数学必1各修章学问点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3. 集合的表示： 如： 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R1）列举法： a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法. xR| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图:4、集合的分类：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例： x|x 2= 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分,.（ 2） A 与 B是同一集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作AB 或 BA2“相等”关系：A=B5 5,且 55,就 5=5实例：设A=x|x 2-1=0B=-1,1“元素相同就两集合相等”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： 任何一个集合是它本身的子集.AA真子集 : 假如 AB, 且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 AB或 BA假如 AB, BC , 那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集, 2n-1 个真子集三、集合的运算运交集并集补集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A, B的交集 记作由全部属于集合A或属于集合B的 元 素 所 组 成 的 集 合, 叫 做A,B的并集记设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集, 由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合, 叫做S 中子集A 的补集（或余 集）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 作：AB B（记作 CS A ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_读作A交B）, 即读作A并B）,即 ACSA= x| xS,且xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB= x| xA, 且 x BB=x| x A, 或 x BABABS韦图 1图 2A恩图示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性AA=AAA=ACu ACu BA= A=A= Cu ABAB=BAAB=BACu AABAABCu BABBABB= CuAB质AC uA=UAC uA=例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 以下四组对象,能构成集合的是（）A 某班全部高个子的同学B 闻名的艺术家 C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2. 集合 a ,b, c 的真子集共有个3. 如集合 M=y|y=x 2-2x+1,xR,N=x|x 0 ,就 M 与 N 的关系是.4. 设集合 A= x 1x2 ,B= x xa ,如 AB,就a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确得有 40 人,化学试验做得正确得有 31 人,两种试验都做错得有 4 人,就这两种试验都做对的有人.6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M=.7.已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x|x 2-mx+m 2-19=0,如 BC ,A C= ,求 m 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx ,x A其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A叫做函数的定义域. 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1. 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 偶次方根的被开方数不小于零.(3) 对数式的真数必需大于零.(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和 函数值的字母无关） .定义域一样 两点必需同时具备见课本 21 页相关例 22. 值域 : 先考虑其定义域(1) 观看法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 配方法(3) 代换法3. 函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A中的 x为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 Px ,y 的集合 C, 叫做函数y=fx,xA 的图象 C 上每一点的坐标x ,y均满意函数关系 y=fx ,反过来, 以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x , y,均在C 上 .(2) 画法A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2) 伸缩变换3) 对称变换4. 区间的概念（1） ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2） ）无穷区间（3） ）区间的数轴表示5. 映射一般的,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“f（对应关系）：A （原象）B（象）”对于映射 f： AB 来说,就应满意：(1) 集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一的.(2) 集合 A 中不同的元素, 在集合 B 中对应的象可以是同一个.(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxx A, 就 y=fgx=Fxx A称为f、g 的复合函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二函数的性质1.函数的单调性 局部性质 （1） ）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1, x2,当 x 1<x 2 时,都有 fx 1<fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间D 称为 y=fx 的单调增区间 .假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x 2,当 x1<x 2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说 fx 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质.（2） ） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(A) 定义法：1 任取 x1, x2D ,且 x1<x 2.2 作差 fx 1 fx 2.3 变形（通常是因式分解和配方） .4 定号（即判定差 fx 1 fx 2的正负）.5 下结论（指出函数 fx 在给定的区间 D 上的单调性）(B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数 fgx 的单调性与构成它的函数u=gx , y=fu 的单调性亲密相关,其规律： “同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般的,对于函数 fx 的定义域内的任意一个 x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做偶函数（ 2）奇函数一般的,对于函数 fx 的定义域内的任意一个 x,都有 f x= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于 y 轴对称.奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：1第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称.2确定 f x与 fx 的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3作出相应结论：如 f x = fx或 fx fx = 0 ,就 fx是偶函数.如 f x = fx或 f x fx = 0 ,就fx 是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称, 如不对称就函数是非奇非偶函数 . 如对称, 1 再依据定义判定; 2 由 f-x ±fx=0 或 fx f-x= ±1 来判定 ; 3 利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（ 1）.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就, 二是要求出函数的定义域 .（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间 a, b上单调递增,在区间 b, c上单调递减就函数 y=fx 在 x=b 处有最大值 fb .假如函数 y=fx 在区间 a, b上单调递减,在区间 b, c上单调递增就函数 y=fx 在 x=b 处有最小值 fb .例题：1. 求以下函数的定义域：x 2x2 x15 33y1xx1 2 1 y2. 设函数 f x 的定义域为 0,1 ,就函数 f x 2 的定义域为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如函数f x1 的定义域为 2,3 ,就函数f 2 x1 的定义域是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 函数f xx2 x12x 1x2,如 f x3 ,就 x =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x x25. 求以下函数的值域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yx22 x3 xR yx22x3 x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 yx12x42yx4x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知函数f x1x 24x,求函数f x,f 2x1的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知函数fx满意 2fxf x3x4,就f x =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设fx是 R 上的奇函数,且当 x0, 时,f xx13 x ,就当 x,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时 f x=f x 在 R 上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yx22 x3 yx22x3 yx26 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_310. 判定函数 yx1的单调性并证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设函数f x221x判定它的奇偶性并且求证：1xf 1 xf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1. 根式的概念： 一般的, 假如 x na ,那么 x 叫做 a 的n 次方根,其中 n >1,且 n N *负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是 0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n是奇数时,n ana ,当 n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ma nnam a0, m,nN* , n1 , an1mma n1an am0,m, nN* , n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义3. 实数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_·r（1） ） aa ra r s a0, r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） ar srsaa0, r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ） ab rrsa a a0, r , sR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）指数函数及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、指数函数的概念：一般的,函数ya x a0,且a1) 叫做指数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、 零和 12、指数函数的图象和性质a>10<a<133221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0, 1）函数图象都过定点（ 0, 1）留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：（ 1）在a,b上, f xax a0且a1 值域是 f a, f b 或 f b, f a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如 x0 ,就 fx 1 .fx 取遍全部正数当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）对于指数函数f xax a0且a1) ,总有f 1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、对数函数（一）对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1对数的概念：一般的,假如a xN a0, a1 ,那么数 x 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做以a 为底N 的对数, 记作： xlog aN（ a 底数, N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 真数, log a N 对数式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：1 留意底数的限制 a0 ,且 a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 axNloga Nx .log a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 留意对数的书写格式两个重要对数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 常用对数：以 10 为底的对数lg N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数式与对数式的互化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_幂值真数aab NlogN b底数指数对数（二）对数的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a0 ,且 a1 , M0 , N0 ,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 log a M·N log a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M2 log aNlog a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3 log a Mn loga M nR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：换底公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a blog c b log c a（ a0 ,且 a1 . c0 ,且 c1 . b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bm（ 1） lognn logb .（2） logb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amaalog b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylog a xa0 ,且 a1 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是（0, +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意辨别. 如： y2 log 2 x , yxlog 5都不是对数函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而只能称其为对数型函数5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 对数函数对底数的限制：a0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、对数函数的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1123456780-10123456781可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-0 .5-1-1 .5-2-2 .51-0 .5-1-1 .5-2-2 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x 0定义域 x 0值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点 （ 1,0） 函数图象都过定点（ 1, 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、幂函数定义： 一般的, 形如 y其中 为常数2、幂函数性质归纳xaR 的函数称为幂函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）全部的幂函数在 （ 0,+ ）都有定义并且图象都过点 （ 1, 1）.（2） ）0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 0, 上是增函数特殊的,当1 时,幂函数的图象下凸.当01时,幂函数的图象上凸.（3） ）0 时,幂函数的图象在区间0, 上是减函数 在第一象限内,当 x从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限的靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于 时,图象在 x 轴上方无限的靠近 x 轴正半轴例题：1. 已知 a>0 , a0,函数 y=a x 与 y=log a-x 的图象只能是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 运算： log 3 2; 24log2 3 =.1 log 2752532log52 =;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log 27 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10.064 37 084 2 3 316 0.751=0.012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 函数 y=log1 2x 2-3x+1 的递减区间为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如函数f xloga x0a1 在区间a,2a 上的最大值是最小值的3 倍,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 a=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知1f xlogax a0且a1 ,（ 1）求f x的定义域（ 2）求使f x 0 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 的1取x值范畴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、函数零点的概念：对于函数yf x xD ,把使f x0 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立的实数 x 叫做函数 yf x xD 的零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数零点的意义：函数 yf x 的零点就是方程f x0 实数根,亦即函数 yf x的图象与 x 轴交点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：方程f x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x有零点3、函数零点的求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 （代数法）求方程f x0 的实数根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf x的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax2bxca0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）,方程 ax 2bxc0 有两不等实根,二次函数的图象与 x