2022年高一数学必修一各章知识点总结3 .docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第一章 集合与函数概念第一节 集合一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的 确定性 如：世界上最高的山 2 元素的 互异性 如：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y 3 元素的 无序性 如： a,b,c和a,c,b 是表示同一个集合 3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员 ,太平洋 ,大西洋 , 印度洋 ,北冰洋 1 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N Q 实正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集数集 R 1） 列举法： a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法； xR| x-3>2 ,x| x-3>2 3） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合例： x|x2=51 无限集含有无限个元素的集合2 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1.“ 包含” 关系子集留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；（2）A 与 B 是同一集合；_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B或 B A 2“ 相等” 关系：A=B 55,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 :假如 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B或 B A 假如 A B, B C , 那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,有 n 个元素的集合,含有 三、集合的运算空集是任何非空集合的真子集；2n个子集, 2n-1个真子集运算交集并集补集类型_精品资料_ 定由全部属于 A 且由全部属于集合A设 S 是一个集合, A第 2 页,共 15 页义属于 B 的元素所或属于集合 B 的元是 S 的一个子集,韦组成的集合 ,叫做素所组成的集合,由 S 中全部不属于A,B 的 交集 记叫 做A,B的 并A 的元素组成的集作 AB（读作 A集记作：AB（读合,叫做 S 中子集 A交 B）,即 AB=作 A 并 B , 即的补集（或余集） x|xA , 且AB =x|xA,或记作CSA,即xBxBCSA=x|xS ,且 xA ABABS A 恩图 1图 2- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料图示性AA=A AA=A A CuA CuB 质A=A=A = Cu AB AB=BA AB=BC uA CuB ABA AB= C uAB ABB ABB ACuA=U ACuA= 其次节 函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx和它对应, 那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的_精品资料_ 一个函数记作：y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值第 3 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料范畴 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3 对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 .那么,它的定义域是使各部分都有意义的 6指数为零底不行以等于零,x 的值组成的集合 . 7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样 见课本 21 页相关例 2 2值域 : 先考虑其定义域 1观看法 2配方法 3代换法 3. 函数图象学问归纳两点必需同时具备 1定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图象 C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对在 C 上 . 2 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1 平移变换2 伸缩变换x、y 为坐标的点 x,y,均_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3对称变换名师精编优秀资料4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“ f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说,就应满意：1集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象,并且象是唯独的；2集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个；3不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；6.分段函数 1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2各部分的自变量的取值情形3 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxx A,就 y=fgx=Fxx A 称为 f、g的复合函数；_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第三节 函数的性质1.函数的单调性 局部性质 （1）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2时,都有 fx1<fx2,那么就说 fx在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx的单调增区间 . 假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1<x2 时,都有 fx1fx2,那么就说 fx在这个区间上是减函数 .区间 D 称 为 y=fx的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3.函数单调区间与单调性的判定方法_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料 A 定义法：1 任取 x1,x 2D,且 x1<x2；2 作差 fx 1fx 2；3 变形（通常是因式分解和配方） ；4 定号（即判定差 fx 1fx2的正负）；5 下结论（指出函数 fx在给定的区间 D 上的单调性）B 图象法 从图象上看升降 C复合函数的单调性复合函数 fgx 的单调性与构成它的函数 性亲密相关,其规律： “ 同增异减”u=gx,y=fu 的单调留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有 fx=fx ,那么 fx就叫做偶函数（2）奇函数一般地,对于函数 fx的定义域内的任意一个 那么 fx就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特点x,都有 fx=fx,偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：1第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称；2确定 fx与 fx的关系；3作出相应结论：如fx = fx 或 fxfx = 0 ,就 fx是偶函数；如 fx =fx 或 fxfx = 0 ,就 fx是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数 .如对称, 1再依据定义判定 ; 2由 f-x±fx=0 或 fxf-x= ±1 来判定 ; 3 利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的 定义域 . （2）求函数的解析式的主要方法有：1 凑配法 2 待定系数法 3 换元法 4 消参法 10 函数最大（小）值（定义见课本 p36 页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间 a,b上单调递增,在区间 b,c上单调递 减就 函数 y=fx在 x=b 处有最大值 fb；假如函数 y=fx 在区间 a,b上单调递减,在区间 b,c上单调递 增就 函数 y=fx在 x=b 处有最小值 fb；_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料其次章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地,假如xna,那么 x 叫做 a的 n 次方根,其中 n >1,且 n N*负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0,记作n00；当 n是奇数时,nana,当 n 是偶数时,nan|a|aaa0 a0 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：ammnam an0 ,m ,nN* n1 * n1,na11ma,0m ,nNnmaan0 的正分数指数幂等于 3实数指数幂的运算性质（1）r a ·arars0,0 的负分数指数幂没有意义（2）r a sarsa,0r,sR；（3） abraraa,0r,sR；sa,0r,sR（二）指数函数及其性质_精品资料_ 1、指数函数的概念：一般地,函数yaxa,0且a1 叫做指数第 9 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a>1 2 40<a<1 2 466554433221111-40-26-40-2-1-1定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R 上单调递在 R 上单调递增减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过函数图象都过定点（ 0,1）定点（ 0,1）6留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：（1）在 a,b上,f xaxax0 且a1值域是fa,fb或；第 10 页,共 15 页Rfb,fa；fx1；f取遍全部正数当且仅当x（2）如x0,就（3）对于指数函数a；fxax a0 且a1,总有f 1 _精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料二、对数函数（一）对数_精品资料_ 1对数的概念：一般地,假如axaNa0,a1 ,那么数 x 叫做第 11 页,共 15 页以a为底N 的对数,记作：xlogN（ a 底数, N 真数,logaN 对数式）- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 说明： 1 留意底数的限制a0名师精编1优秀资料,且a；2axNlogaNx；logaN3 留意对数的书写格式两个重要对数：1 常用对数：以 10 为底的对数lgN；lnN2 自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数指数式与对数式的互化幂值 ba N真数 loga N b 底数 指数 对数（二）对数的运算性质假如a0,且a1,M0,N0,那么：1logaM·NlogaMlogaN；2logaMlogaMlogaN；N3logaMnnlogaMnR留意：换底公式logablogcb（a0,且a1；c0,且c1；b0）logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnlogab；（2）logab1amlogb（三）对数函数1、对数函数的概念： 函数ylogax a0,且a1叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是（0,+）留意： 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；如：y2log2x,ylog 5x 5都不是对数函数,而只能称其为对数型函数_精品资料_ 2 对数函数对底数的限制：a0,且a1 第 12 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料2、对数函数的性质：a>1 4 56 70<a<1 6 7332.52.5221.51.511110.50.50-0-11.512 38-101.512 34 5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都函 数 图 象 都 过 定过定点（ 1,点（1,0）0）8三、 幂函数1、幂函数定义：一般地,形如yxaR 的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（1）全部的幂函数在 （ 0,+）都有定义并且图象都过点 （1,1）；（2）0 时,幂函数的图象通过原点, 并且在区间0,上是增1时,函数特殊地,当1时,幂函数的图象下凸；当0幂函数的图象上凸；_精品资料_ （3）0 时,幂函数的图象在区间0 ,上是减函数在第一第 13 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地靠近 y 轴正半轴, 当 x 趋于 时,图象在 x 轴上方无限地靠近 x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f x x D ,把使 f x 0 成立的实数 x叫做函数 y f x x D 的零点；2、函数零点的意义：函数 y f x 的零点就是方程 f x 0 实数根,亦即函数 y f x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点函数 y f x 有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程fx0的实数根；yfx2（几何法）对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数yax2bxc a0 （1） ,方程 ax2bxc0有两不等实根,二次函数的图象与 x轴有两个交点,二次函数有两个零点（2） ,方程ax2bxc0有两相等实根, 二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点（3） ,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点5.函数的模型_精品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料收集数据画散点图不 符 合 实 际挑选函数模型求函数模型符合实际用函数模型说明实际问题检验_精品资料_ - - - - - - -第 15 页,共 15 页