2022年高一数学必修一知识点总结及经典例题分析.docx

精品_精品资料_高一数学必修 11.学问点总结一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性 , 2 元素的互异性 , 3 元素的无序性 ,3. 集合的表示： , 如： 我校的篮球队员 ,太平洋,大西洋,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.留意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作： N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法： a,b,c,2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法x| x-3>23） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合 例：x|x 2= 5二、集合间的基本关系 1.包含关系子集留意： B 包含 A1）A 是 B 的一部分.（ 2） A 与 B 是同一集合.反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A 不属于 B 或 B 不属于A2相等 .关系： A=B 55,且 55,就 5=5实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 .元素相同就两集合相等 .即：即任何一个集合是它本身的子集.真子集 :假如 A 属于 B,且 A 不属于 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集.假如 A 属于 B, B属于 C ,那么 AC 假如 A 属于 B 同时 B属于 A ,那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 1. 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.2. 特点有 n 个元素的集合,含有2n 个子集, 2n-1 个真子集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、集合的运算运算类型定义交集并集补集由全部属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做A,B 的交集记由全部属于集合A或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫 做 A,B的 并作 AB（读作A集记作：AB（读设 S 是一个集合, A是 S的一个子集,由S中全部不属于 A的元素组成的集合, 叫做S中子集 A的补集（或余集）记作 CS A,即交 B）,即 AB=作 A 并 B）,即x|xBA,且 xAB =x|xA,或CSA=x | xS,且xAxB 韦恩图示性ABAB图1图 2AA=AAA=ACuAC u BA=A=A= Cu AB质AB=BAAB=BACuAC u BABAAB= CuABABBABBAC uA=UAC uA= 2.函数基本学问点总结1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx和它对应,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域.与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零.(2) 偶次方根的被开方数不小于零. 3对数式的真数必需大于零.(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 2值域 :先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 换元法3映射一般的,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应 f ： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“ f （对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射 f ： A B 来说,就应满意：(1) 集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的.(2) 集合 A中不同的元素,在集合 B中对应的象可以是同一个.(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.4函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数：一般的,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx,那么 fx 就叫做偶函数（ 2）奇函数： 一般的, 对于函数 fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx,那么 fx就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于 y 轴对称.奇函数的图象关于原点对称 利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称.2 确定 f x 与 fx 的关系.3 作出相应结论：如 f x = fx或 fx fx= 0 ,就 fx是偶函数.如 f x = fx或 fx fx = 0,就 fx是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要 条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称 就函数是非奇非偶函数 . 如对称, 1 再依据定义判定 ; 2由 f-x±fx= 0 或 fx f-x=± 1 来判定; 3 利用定5、函数的解析表达式（ 1） . 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就, 二是要求出函数的定义域 .（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间a ,b 上单调递增,在区间 b ,c上单调递减就函数 y=fx 在 x=b 处有最大值 fb .假如函数 y=fx 在区间a ,b 上单调递减, 在区间b ,c 上单调递增就函数 y=fx 在 x=b 处有最小值 fb .6. 函数的单调性 局部性质 （1） ）增函数fx 1<fx 2 ,那么就说 fx在区间 D 上是增函数 . 区间 D称为 y=fx 的单调增区间 .假如对于区间 D上的任意两个自变量的值x1 ,x2,当 x1<x2时,都有 fx 1 fx 2 ,那么就说 fx在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ,x2,当 x1<x2 时,都有留意：函数的单调性是函数的局部性质.（2） ） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左 到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x1 ,x2D,且 x1<x2 .2作差 fx 1 fx 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3变形（通常是因式分解和配方） .4定号（即判定差 fx 1 fx 2 的正负）.5下结论（指出函数 fx 在给定的区间 D上的单调性）(B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数 f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律： “同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例题：1. 求以下函数的定义域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22x15y y1 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x33x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设函数 f x 的定义域为 0,1 ,就函数 f x 2 的定义域为 _ _可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如函数f x1 的定义域为 2, 3 ,就函数f 2 x1 的定义域是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 函数f xx2 x12x 1x2,如 f(x) 3,就 x =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x x25. 求以下函数的值域：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yx 22x3 xR yx22x3x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 yx12x42yx4x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知函数f x1x24x ,求函数fx,f 2x1的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知函数f x满意 2f xf x3x4,就f x =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设fx是 R 上的奇函数,且当x0, 时,f xx13 x , 就当 x,0 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x =fx在 R上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yx22 x3 yx 22 x3 yx26 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 判定函数 yx31x21的单调性并证明你的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设函数f x1x2判定它的奇偶性并且求证：1f xf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、指数函数3. 基本初等函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一） 指数与指数幂的运算1. 根式的概念： 一般的, 假如xn*a ,那么 x 叫做 a 的n 次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方根,其中 n >1,且 n N 负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是 0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n是 奇 数 时 ,n ana, 当 n是 偶 数 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：m*m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nnmaa0, m,nN , n1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amn11aanma n0, m, nN , n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义3. 实数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ） a r· arar s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） ar s aa rs a0, r , s0, r , sR .R .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ） ab rar as a0, r , sR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念 ：一般的,函数 ya x a0, 且a1) 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-4-22460-4-22460可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 R 上单调递增在 R 上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非奇非偶函数非奇非偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象都过定点（ 0, 1）函数图象都过定点（ 0,1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）在a ,b 上, fxax a0且a1) 值域是 f a, f b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或f b, f a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） 如 x0 ,就f x 1 . f x 取遍全部正数当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）对于指数函数二、对数函数（一） 对数f xa x a0且a1) ,总有f 1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 对数的概念 ：一般的,假如 axN a0,a1 ,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 x 叫做以a 为底N 的对数,记作：xlog aN（ a 底数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_N 真数,log a N 对数式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 1留意底数的限制 a0 ,且 a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a xNlog a Nx .loga N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3留意对数的书写格式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个重要对数：1常用对数：以 10 为底的对数lg N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln N指数式与对数式的互化幂值真数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aab NlogN b底数指数对数（二）对数的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a0 ,且 a1 , M0 , N0 ,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1log a M· N log a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M2log a Nlog a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3log a Mn log a MnR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 换底公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a blog c b（ alog c a0 ,且 a1 .c0 ,且 c1 .b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn（ 1） log m blogb .（2） logb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am（二）对数函数aalog b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、对数函数的概念： 函数 ylog ax a0 ,且 a1 叫做对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是（ 0,+）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义,留意辨别.如： y2 log 2 x , yxlog 55都不是对数函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,而只能称其为对数型函数2对数函数对底数的限制： a 2、对数函数的性质：0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32.521.51 132.521.51 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51234567810.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x 0定义域 x0值域为 R值域为 R在 R上递增在 R上递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象都过定点（ 1, 0）函数 图象 都过定点（ 1,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）幂函数1、幂函数定义：一般的,形如 y函数,其中为常数2、幂函数性质归纳xaR) 的函数称为幂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义并且图象都过点（ 1, 1）.（2） ）0 时,幂函数的图象通过原点, 并且在区间 0,上是增函数特殊的,当1 时,幂函数的图象下凸.当01时,幂函数的图象上凸.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）0 时,幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第一象限内,当 x 从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限的靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于时,图象在 x 轴上方无限的靠近 x 轴正半轴例题：1. 已知 a>0 ,a0,函数 y=a x 与 y=log a-x 的图象只能是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 运算： log2; 4log3 =.1 log 5 272 log 5 2 =;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3log 27 6422253可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 0 .064 17 084 23 316 0.751=0.012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 函数 y=log1 2x2-3x+1 的递减区间为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如函数f xloga x0a1 在区间 a,2a上的最大值是最小值的 3 倍,就 a=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知范畴.1f xloga1x a x0且a1,（1）求f x的定义域（ 2）求使f x 0 的 x 的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三章 函数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、方程的根与函数的零点1 、 函数 零点 的概 念：对于函数 yf xxD ,把使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 成立的实数 x 叫做函数 yf x xD 的零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数零点的意义 ：函数 yf x的零点就是方程f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实数根,亦即函数 yf x 的图象与 x 轴交点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：方程f x0 有实数根函数 yf x的图象与 x 轴有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点函数 yf x 有零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数零点的求法 ：1（代数法）求方程f x0 的实数根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 yf x 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax 2bxca0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）,方程ax2bxc0 有两不等实根,二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）,方程ax2bxc0 有两相等实根,二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）,方程ax2bxc0 无实根,二次函数的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_象与 x 轴无交点,二次函数无零点可编辑资料 - - - 欢迎下载