2022年高中教案集平面向量的数量积.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -§ 2.4平面对量的数量积第 7 课时一、平面对量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.把握平面对量的数量积及其几何意义.2.把握平面对量数量积的重要性质及运算律.3.明白用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.4.把握向量垂直的条件.教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的懂得和平面对量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启示同学懂得平面对量数量积的定义,懂得定义之后便可引导同学推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深同学对于平面对量数量积的熟悉.主要学问点：平面对量数量积的定义及几何意义.平面对量数量积的5 个重要性质. 平面对量数量积的运算律 .教学过程：一、复习引入：1 向量共线定理向量 b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数,使b = a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2平面对量基本定理：假如e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的任一向量a ,有且只有一对实数1, 2 使 a = 1 e1 + 2 e23平面对量的坐标表示分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、 j 作为基底 .任作一个向量a ,由平面对量基本定理知,有且只有一对实数x 、 y ,使得 axiyj把 x, y 叫做向量 a 的（直角）坐标,记作a x, y4平面对量的坐标运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a x1 , y1 , b x2 , y2 ,就 abx1x2 , y1y2 , ab x1x2 , y1y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -a x,y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A x1 , y1 ,B x2 ,y2 ,就 ABx2x1 , y2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 a b b0 的充要条件是x1y2-x 2y1=06线段的定比分点及P1, P2 是直线 l 上的两点, P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使P1P= PP2, 叫 做 点P分P1 P2所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_>0 内分 外分 <0 <-1 外分 <0-1< <07. 定比分点坐标公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点P x 1 , y1 , x 2 , y2 , 为实数,且P1P PP2,就点P的坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ x1x2 , y1y2）,我们称为点 P 分 P P所成的比 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12118. 点 P 的位置与的范畴的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 时,P1 P 与PP2同向共线,这时称点P 为P1 P2的内分点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1 时,P1P 与 PP2反向共线,这时称点P 为 P1 P2的外分点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.线段定比分点坐标公式的向量形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在平面内任取一点O,设 OP1 , OP2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 OP = a1b 1ab .11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10力做的功：W = | F | |s|cos,是 F 与 s 的夹角 .二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与,作 OA , OB ,就 （ ）叫 与 的夹角 .说明：（ 1）当 时, 与同向.（ 2）当 时, 与反向.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 3）当 时, 与 垂直,记 .2（ 4）留意在两向量的夹角定义,两向量必需是同起点的.范畴 0 180C2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与,它们的夹角是,就数量|a |b|cos叫 与的数量积,记作a b,即有 a b = |a|b|cos,（ ） .并规定 0 与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分（1）两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所打算.（2）两个向量的数量积称为内积,写成a b.今后要学到两个向量的外积a× b,而 a b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略, 也不能用“×”代替.（3）在实数中,如a0,且 a b=0,就 b=0 .但是在数量积中,如a0,且a b=0,不能推出 b=0.由于其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、cb0,就 ab=bca=c .但是 a b = b ca = c如右图： a b = |a|b|cos= |b|OA| ,b c = |b|c|cos= |b|OA| a b = b c但 ac5 在实数中,有 a bc = ab c,但是 a bcab c明显,这是由于左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一般a 与 c 不共线 . 3“投影”的概念：作图定义： |b|cos叫做向量b 在 a 方向上的投影 .投影也是一个数量,不是向量. 当为锐角时投影为正值.当为钝角时投影为负值.当为直角时投影为0.当= 0时投影为|b|.当= 180时投影为|b|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 |b|cos的乘积 .5两个向量的数量积的性质：设 a、 b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a|cos2 aba b = 03 当 a 与 b 同向时, a b = |a|b|.当 a 与 b 反向时, a b =|a|b|. 特殊的 a a = |a|2 或| a |aaab4 cos=| a | b |5|a b| |a|b |三、讲解范例：例 1已知 |a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角 =120o,求 a·b.例 2例 3已知 |a|=6,已知 |a|=3,|b|=4,|b|=4,a 与 b 的夹角为60o 求a+2b ·a-3b.且 a 与 b 不共线, k 为何值时,向量a+kb 与 a-kb 相互垂直 .例 4 判定正误,并简要说明理由. ·0 0. 0·. 0 AB BA . · .如 0,就对任一非零 有 ·. ·,就 与中至少有一个为0.对任意向量, , 都有（ · ） （ ·）. 与是两个单位向量,就 .解：上述8 个命题中只有正确.对于：两个向量的数量积是一个实数,应有0·.对于：应有·0.对于：由数量积定义有 · · · cos ,这里是 与的夹角,只有或 时,才有 · · .对于：如非零向量、垂直,有 · .对于：由 ·可知 可以都非零. 对于：如 与 共线,记 .就·（ ） · （ ·） （ ·）,（ ·） ·（ ·） （ ·） （ ·） 如与 不共线,就 ·（ ·）.评述：这一类型题,要求同学的确把握好数量积的定义、性质、运算律.例 6 已知 , ,当 , , 与的夹角是60°时,分别求 ·.解：当 时,如 与同向,就它们的夹角 °,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - · · cos0° 3×6×118.如与反向,就它们的夹角180°, · cos180° 3×6×（ -1） 18.当 时,它们的夹角 90°, ·.当 与的夹角是60°时,有· cos60° 3×619×2评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范畴是0°, 180°,因此,当 时,有 0°或 180°两种可能 .四、课堂练习：1.已知 |a|=1, |b|=2 ,且 a-b与 a 垂直,就 a 与 b 的夹角是（）A.60 °B.30 °C.135 °D. °2.已知 |a|=2, |b|=1, a 与 b 之间的夹角为,那么向量m=a-4b 的模为（）3A.2B.23C.6D.123.已知 a、b 是非零向量,就|a|=|b |是a+b 与a-b垂直的（）A. 充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知向量a、b 的夹角为, |a|=2, |b |=1,就 |a+b| ·|a-b|=.35.已知 a+b=2i -8j, a-b=-8 i+16 j,其中 i、j 是直角坐标系中x 轴、 y 轴正方向上的单位向量,那么 a·b=.6.已知 a b、c 与 a、b 的夹角均为60°,且 |a |=1, |b|=2, |c|=3,就 a+2b-c .7.已知 |a|=1, |b|=2 , 1如 a b,求 a·b. 2 如 a、b 的夹角为°,求 |a+b|. 3如 a-b与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角 .8.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为°,求向量a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角 .9.对于两个非零向量a、b,求使 |a+tb|最小时的t 值,并求此时b 与 a+tb 的夹角 .五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
