2022年高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用高考要求数学归纳法是高考考查的重点内容之一类比与猜想是应用数学归纳法所表达的比较突出的思想,抽象与概括,从特别到一般是应用的一种主要思想方法重难点归纳1数学归纳法的基本形式设 Pn是关于自然数n 的命题,如1° Pn0成立 奠基 2°假设 Pk成立 k n0,可以推出Pk+1 成立 归纳 ,就 Pn对一切大于等于n0 的自然数 n 都成立2数学归纳法的应用详细常用数学归纳法证明恒等式, 不等式,数的整除性,几何中运算问题,数列的通项与和等典型题例示范讲解例 1 试 证明不论正数a、 b、c 是等差数列仍是等比数列,当n 1,n N* 且 a、b、c互不相等时,均有an +cn2bn命题意图此题主要考查数学归纳法证明不等式学问依靠等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情形技巧与方法此题中使用到结论ak ck a c 0 恒成立 a、b 、c 为正数 ,从而 ak+1+ck +1 ak· c+ck ·a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明1设 a、 b、c 为等比数列, a=b ,c=bqq0 且 q 1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n an+cn= bq n+bnqn=bn 1qn+qn 2bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 a、b、c 为等差数列,a ncnacn*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 2b=a+c 猜想22n 2 且 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面用数学归纳法证明222a 2c2ac 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=2 时,由 2 a+c a+c , 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 n=k 时成立,即a kck 2 ac k , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 n=k+1 时,a k 1ck 121ak+1+ck+1+ak+1+ck+14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ak+1+ck+1+ak· c+ck ·a=4ak+ck a+c14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ac k· ac 22=ack+12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也就是说,等式对n=k+1 也成立由知, an+cn 2bn 对一切自然数n 均成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2 在数列 an 中, a1=1,当 n 2 时, an,Sn,Sn 1 成等比数列21求 a2,a3,a4,并推出an 的表达式.2用数学归纳法证明所得的结论.3求数列 an 全部项的和命题意图此题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础学问学问依靠等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤采纳的方法是归纳、猜想、证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错解分析2 中, Sk=12k应舍去,这一点往往简单被忽视3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧与方法求通项可证明1 是以 Sn1 为首项,S11 为公差的等差数列,进而求得2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式解an,Sn,Sn 1 成等比数列,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S 2=a· S n 2 * 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn121由 a1=1, S2=a1+a2=1+ a2,代入 * 式得 :a2= 23由 a1=1, a2= 2 ,S3= 1 +a3 代入 * 式得a3= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3同理可得a4=32,由此可推出an=351 2n1523 2n1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 n=1,2,3,4 时,由 * 知猜想成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 n=kk 2时, ak= 2k2成立32k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k故 S 2= 2k232k1· Sk12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2k 32k 1S 2+2Sk 1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 Sk=2k, Sk112k3舍 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Sk+1 2· S 12 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=ak+1k+1,得Sk+ak +12=ak+1ak+1+Sk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2k1122ak 12ak 12k12ak 1ak 12k11ak 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak 1 2 k123 2k11,即nk1命题也成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由知, an=1 n12对一切 n N 成立 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n3 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由2 得数列前n 项和 Sn=12n, S= lim1nSn=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 是否存在a、b、c 使得等式1· 22+2 ·32+nn+12=解假设存在a、b、c 使题设的等式成立,n n112an2+bn+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41 abc6a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时令 n=1,2,3, 有221 4a2bc2b11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_709a3bcc10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是,对 n=1,2,3 下面等式成立1· 22+2 · 32+nn+12= n n12记 Sn=1· 22+2· 32+nn+121 3n211n10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 n=k 时上式成立,即Sk=k k1123k2+11k+10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么 Sk+1=Sk+ k+1 k+2 2=k1k2k121k2122k k21 k+23 k+5+ k+1 k+2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=3k +5 k+12 k+24= 3k+12+11 k+1+10 也就是说,等式对n=k+1 也成立综上所述,当a=3, b=11, c=10 时,题设对一切自然数n 均成立同学巩固练习1 已知 fn=2 n+7· 3n+9,存在自然数m,使得对任意nN ,都能使 m 整除 fn,就最大的 m 的值为 A30B26C36D62 用数学归纳法证明3k n3n 3,nN 第一步应验证An=1Bn=2Cn=3Dn=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 观 察 下 列 式 子13111,1222232511173 ,12232424就 可 归 纳 出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 已知 a1=1,an+1=23an an3, 就 a2,a3,a4,a5的值分别为 ,由此猜想an= 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 +32n5 用数学归纳法证明4n+2 能被 13 整除,其中n N*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 如 n 为大于 1 的自然数,求证11n1n21132n24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7已知数列 bn 是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=1451求数列 bn 的通项公式bn;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设数列 an 的通项 an=loga1+1 其中 a 0 且 a1记 Snbn是数列 an 的前 n 项和,试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较 Sn 与 1 log abn+1 的大小,并证明你的结论38设实数q 满意 |q|1,数列 an 满意a1=2,a2 0,an· an+1= qn,求 an 表达式,又假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnS2n 3,求 q 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案1解析 f1=36, f2=108=3 × 36,f3=360=10 ×36 f1, f2, f3 能被 36 整除,猜想fn能被 36 整除证明n=1,2 时,由上得证,设n=kk 2时, fk=2 k+7 · 3k+9 能被 36 整除,就n=k+1 时, fk+1 fk=2 k+9 · 3k+12k+7· 3k=6k+27 · 3k 2k+7· 3k=4k+20 · 3k=36 k+5· 3k 2k2 fk+1 能被 36 整除 f1 不能被大于36 的数整除,所求最大的m 值等于 36答案C2 解析由题意知n 3,应验证n=3答案C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 解析11223 即12111221111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112 2325 ,即13111 2121 222121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11归纳为122321n1 22n1n1n N *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 : 1112 2321 n12312n1 n N* n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.解析 : a23a1a132313723同理 , 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3a3a23a2383,a435339453, a5103,猜想 a3n55n5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、答案 : 3 、 3783 、 33910n5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5证明1当 n=1 时, 42× 1+1 +31+2=91 能被 13 整除2假设当 n=k 时, 42k+1+3k+2 能被 13 整除,就当n=k+1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -42 k+1+1 +3k +3=4 2k+1·42+3 k+2· 3 42k+1 ·3+4 2k+1· 3=42k +1· 13+3· 42k +1+3 k+2 42k+1· 13 能被 13 整除, 42k+1 +3k +2 能被 13 整除当 n=k+1 时也成立由知,当n N * 时, 42n+1+3n+2 能被 13 整除117136证明1当 n=2 时,21221224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设当 n=k 时成立,即11k1k21132k24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 n 13k1时,11k2k3111112k2k131112k2111k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_242k 1312k21k124132k12k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2422k1k12471 解设数列 bn 的公差为d,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意得b11 10b1101021) d145b11d3,bn=3n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证明由 bn=3n 2 知11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn=log a1+1+log a1+log a 1+43n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=log a 1+11+11+413n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 1 log3abn+1=log a 3 3n1 ,于是,比较Sn 与1log3abn +1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较 1+11+1 1+14 3n与 3 3n21 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取 n=1,有 1+1= 3 83 4取 n=2,有 1+11+ 13 843 3 113 73 321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_估计1+11+111+43n 3 3n2*1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=1 时,已验证 * 式成立假设 n=kk 1时* 式成立,即 1+11+就当 n=k+1 时,111+43k 3 3k12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111 4113k1213k123 3k1113k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k2 3 3k13k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3k3k2 3 3k11 33 3k4 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k2 3 3k 3k43k1 2129k 3k401 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 3k 3k13k213 3k43 3k11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 1111 4113k1213k13 3 k11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即当 n=k+1 时, * 式成立由知, * 式对任意正整数n 都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是,当 a 1 时, Sn1log3abn+1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a 1 时, Sn 1 log abn+138解 a1· a2= q,a1=2,a2 0, q 0,a2= 9 ,2 an· an+1= qn,an+1· an+2= qn+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相除,得an1,即 an+2=q· an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 2q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是, a1=2,a3=2 · q,a5=2·qn猜想a2 n+1=1 qnn=1,2,3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综合,猜想通项公式为an=2 q k 1n2k1时 kN 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_qn2k时 kN 2下证1当 n=1,2 时猜想成立k 1 就 n=2k+1 时,由于a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 n=2k 1 时, a2k 1=2· q a2k+1=2·qk 即 n=2 k 1 成立可推知 n=2k+1 也成立2k+1=q· a2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 n=2k 时, a2k= 1 qk,就 n=2 k+2 时,由于 a2 k+2=q· a2k,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a2k+2=1 qk+1, 这说明 n=2k 成立,可推知n=2k+2 也成立2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,对一切自然数n,猜想都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这样所求通项公式为an=2 q k 1当 n1k2k1时 kN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q当 n22k时kN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S2n= a1+a3+a2n1+ a2+a4+a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=21+ q+q2+qn-11q+q2+qn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211q n q1q121q n q1q n1q4q2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 |q|1,lim qn n0, 故 limnnS2n= 11q q4q 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意知421q 3,q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并留意 1 q 0,|q| 1 解得 1 q 0 或 0 q 25课前后备注可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载