2022年高中数学“杨辉三角”与二项式系数的性质教案新人教版选修-.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -§ 1 32“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：学问与技能：把握二项式系数的四个性质.过程与方法：培育观看发觉,抽象概括及分析解决问题的才能.情感、态度与价值观：要启示同学仔细分析书本图1 5 1 供应的信息,从特别到一般,归纳猜想,合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明.教学重点： 如何敏捷运用绽开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点： 如何敏捷运用绽开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型： 新授课课时支配： 2 课时教学过程 ：一、复习引入：1二项式定理及其特例：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） abnC 0anC1anbCr an r brC nbn nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 1xn1C1 xC r xrxn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn2二项绽开式的通项公式： TCr an r brr 1n3求常数项、 有理项和系数最大的项时,要依据通项公式争论对r 的限制. 求有理项时要留意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）abn 绽开式的二项式系数,当n 依次取 1,2,3 , 时,二项式系数表,表中每行两端都是 1 ,除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2二项式系数的性质：abn 绽开式的二项式系数是C0 , C1 , C2 , , , Cn Cr可以看成以r 为自可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变量的函数f r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域是 0,1, 2, n,例当 n6 时,其图象是7 个孤立的点（如图）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CmCn m ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 rnnn是图象的对称轴2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kn n1n2nk1k1nk1k .k（ 2）增减性与最大值CnCn,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n Ck 相对于Ck 1 的增减情形由 nnk1 打算, nk11kn1 , kk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1当 k时,二项式系数逐步增大由对称性知它的后半部分是逐步减小的,且在中间取得最大值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 是偶数时,中间一项（ 3）各二项式系数和：nnC 2 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项n 1n 12Cn, Cn 2取得最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1xn1C1 xC r xrxn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn令 x1 ,就 2nC0C1C 2C rC n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn三、讲解范例：例 1在 ab n 的绽开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：在绽开式ab nC 0 a nC 1 anbC r a n r brC nb n nN 中,令 a1,b1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 11 nC0C1C 2C 31 n C n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn即 0C 0C 2C1C 3 ,nnnn0213 CCCC,nnnn即在 ab n 的绽开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：由性质（3）及例 1 知 C 0C 2C1C3n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 已知712 x2aa xa x7a x,求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0127可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a1a2a7 .（ 2） a1a3a5a7 .（ 3） | a0 | a1 | a7 | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）当 x1 时,12x71271,绽开式右边为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a1a2a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a0a1a2a71 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,a01 , a1a2a7112 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）令 x1 ,a0a1a2a71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7令 x1 , a0a1a2a3a4a5a6a73可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 得 ：2 a1a3a5a7137 ,a1a3a5a7137.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）由绽开式知：a1 ,a3, a5, a7 均为负,a0 ,a2 , a4 , a8 均为正,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ 2）中 + 得：2 a0a2a4a6137 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a2a4a6137,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ | a0| a1 | a7 |a0a1a2a3a4a5a6a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaa aaaa37可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_02461357可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 求1+x+1+x2+,+1+x103绽开式中x的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1x1x 2（1x）101x 11x 10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= x111 xC11x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式中x3 实为这分子中的x4 ,就所求系数为7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 在x2+3x+25的绽开式中,求x 的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x 23x25 x1 5 x2 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C15在 x+1绽开式中,常数项为1,含 x 的项为55x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_555在2+x绽开式中,常数项为2 =32,含 x 的项为C1 24 x80x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绽开式中含x 的项为1 80x 5 x 32240 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此绽开式中x 的系数为240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 已知 x2 n 的绽开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14. 3,求绽开式的常数项x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C解：依题意4 : C 214 : 33C414C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn 3nn-1n-2n-3/4.=4nn-1/2.n=10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设第 r+1 项为常数项,又Tr 1r10 r2rCx 102x2 r C r10 5r10x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 102T2 15r0C210r2 22 ,180.此所求常数项为180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 设 1x231x1x1xaa xa x2a xn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012nn当 a0a1a2an254时,求 n 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 x1 得：22n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaa222232n254 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012n21 2n128,n7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：对于f xa xana xa n 1a,令 xa1, 即 xa1 可得各项系数的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a1a2an 的值.令 xa1,即 xa1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 求证： C 12C 23C 3nC nn2n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证（法一）倒序相加：设SC12C 23C 3nC n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 SnCnn1C n 1n2C n 22C 2C 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rCn r0 C, Cn1n 1C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnCn , C nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 +得：2 Sn C 0C1C 2C n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nn 1123nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sn 2 2n 2,即 Cn2Cn3CnnC nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（法二）：左边各组合数的通项为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rC rrn.n n1.nC r 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nr . nr .rn 121. nr .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123nnnnnC2C3Cn0121n1nnCn CCCn 1n 1n1Cn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 在 2x3 y10 的绽开式中 , 求:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数和与偶数项系数和; x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析 : 由于二项式系数特指组合数r , 故在 , 中只需求组合数的和, 而与二项式2x3y 中的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cn无关 .解：设2x3y1010a0 x9a1 x y82a2 xy10a10 y*,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_各 项 系 数 和 即 为 a0a1a10, 奇 数 项 系 数 和 为 a0a2a1 ,0偶 数 项 系 数 和 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a3a5a9,x的 奇 次 项 系 数 和 为a1a3a5a9,x 的 偶 次 项 系 数 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a2a4a10 .由于 * 是恒等式 , 故可用“赋值法”求出相关的系数和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CC1010二项式系数和为011010C2.10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 xy1 , 各项系数和为 23101 101.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇数项的二项式系数和为02CC1010109C2 ,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶数项的二项式系数和为1399CCC10982102 .101010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 2x3y 10a0 xa1 x ya 2 xya10 y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 xy1 , 得到 a0a1a2a101 ,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 x1 , y1 或 x1 , y1 得 a0a1a2a3a10510 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+2得 2a0a2a10 1510 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇数项的系数和为1510 ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1-2得 2a1a3a9 1510 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶数项的系数和为1 x 的奇次项系数和为510 .21510 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 的偶次项系数和为a1a 3a 5a 0a 2a4a9a1021510 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2点评 : 要把“二项式系数的和”与“各项系数和”, “奇 偶 数项系数和与奇 偶 次项系数和”严格的区分开来 , “赋值法”是求系数和的常规方法之一.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 已知 3 xx2 2 n 的绽开式的系数和比3x1 n 的绽开式的系数和大992, 求 2 x1 2n 的绽开式中 : x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式系数最大的项; 系数的肯定值最大的项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题意122n102n992 , 解得 n5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 x的绽开式中第6 项的二项式系数最大,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 T6T5 152x 51 5x8064 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C10设第 r1 项的系数的肯定值最大,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C10就 Tr 1r2x 10 r1) rx1 rC2r10 r10x10 2 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C r210 rC r 1210r1C r210 rC r 1210r1101010, 得10rr 1C2C1010, 即2CCrr 11010112rr2r110r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 8r311 , r33 , 故系数的肯定值最大的是第4 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10已知：2 x33x2 n 的绽开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求绽开式中二项式系数最大的项.（ 2）求绽开式中系数最大的项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 x1 ,就绽开式中各项系数和为13n22n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又绽开式中二项式系数和为2n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 22n2 n992 , n5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） n5 ,绽开式共6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35 TC2 x3 3 3x2 290x6 , TC3 x3 2 3x2 3270x 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_45210 4r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设绽开式中第r1 项系数最大,就TC r x3 5 r 3x2 r3r C r x3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3r C r3r 1 C r 179r 155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55r, r4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3r C r3r 1 C r 1225555226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即绽开式中第5 项系数最大,TC 4 x3 3x2 4405x 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11 已知 Sn2nC1 2 n 1C 2 2n 2n 11nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnC2n求证：当 n 为偶数时,Sn4n1能被 64 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：由二项式定理的逆用化简Sn ,再把 Sn4n1变形,化为含有因数64 的多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S2nC1 2n 1C 2 2n 2Cn 12121 n3n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sn4n13n4n1 , n 为偶数,设n2k （ kN * ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sn4n132k8k181k8k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 08kC1 8k 1C k 1 818k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kC 0 8kC18k 1C2 82（） ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8k当 k =1 时, Sn4n10明显能被 64 整除,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当 k2 时,（）式能被 64 整除,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,当 n 为偶数时,Sn4n1能被 64 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、课堂练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x41x15绽开式中x4 的系数为,各项系数之和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2多项式f xC x1C x1Cx1Cx1) （ n6 ）的绽开式中,6 的系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12233nnnnnnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为3如二项式3x212x3n （ nN）的绽开式中含有常数项,就n
