2022年高中数学必修一知识点总结3.docx

精品_精品资料_第一章 集合与函数概念课时一：集合有关概念1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判定一个给定的东西是否属于这个整体.2. 一般的讨论对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集.3. 集合的中元素的三个特性：（1） 元素的确定性： 集合确定, 就一元素是否属于这个集合是确定的： 属于或不属于.例：世界上最高的山、 中国古代四大美女、 教室里面全部的人（2） 元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯独的,不行重复的.例：由 HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y（3） 元素的无序性 : 集合中元素的位置是可以转变的,并且转变位置不影响集合例： a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员 , 太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋（1） 用大写字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5（2） 集合的表示方法：列举法与描述法.1） 列举法：将集合中的元素一一列举出来a,b,c 2） 描述法：将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合.xR| x-3>2 ,x| x-3>2语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 Venn图: 画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合.4、集合的分类 ：（1） 有限集：含有有限个元素的集合2（2） 无限集：含有无限个元素的集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 空集：不含任何元素的集合例： x|x5、元素与集合的关系：= 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）元素在集合里,就元素属于集合,即：aA（2） ）元素不在集合里,就元素不属于集合,即：aA留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集 N* 或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课时二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集（1） 定义：假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： A包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集.记作： A B 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分,.（2） A 与 B是同一集合.B （或 B）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反之:集合 A不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB 或 BA2“相等”关系： A=B 5 5,且 5 5,就 5=52实例：设 A=x|x-1=0 B=-1,1“元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集.A A真子集 : 假如 A B, 且 AB那就说集合 A是集合 B的真子集,记作 AB 或 BA或如集合 A B,存在 xB 且 x A ,就称集合 A是集合 B的真子集.假如 AB, BC , 那么 AC 假如 A B同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为n-1规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n有 n 个元素的集合,含有 2课时三、集合的运算个子集, 2个真子集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算类型交集并集补集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定 义由全部属于 A 且属于 B的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集记作AB（读作 A 交 B）, 即 AB= x|xA,且 xB由全部属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作： A B（读作A 并 B）,即 A B=x|x A,或 x B 全集：一般,如一个集合汉语我们所讨论问题中这几道的全部 元素,我们就称这个集合为全 集,记作： U设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集, 由 S 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的补集（或余集）记作 CS A ,CSA=x | xS,且xA韦恩图示ABABSA图 1图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 A A=A A =A B=B AA BA ABBAUA=AAU=A AUB=BUAAUBAUBBCuACuB= C uA UBCuA U C uB= C uA B AU CuA=UACuA=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课时四：函数的有关概念1. 函数的概念：设A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx , x A（1） ）其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域.（2） 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法就3. 函数的表示方法：（ 1）解析法：明确函数的定义域（2） ）图想像：确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、 直线、折线、离散的点等等.（3） ）列表法：选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特点.4、函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , xA 中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 Px , y 的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象 C 上每一点的坐标 x , y 均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x ,y ,均在 C上 .(2) 画法A、描点法： B 、图象变换法：平移变换.伸缩变换.对称变换.（ 3）函数图像变换的特点：1 ）函数y=fx关于 X轴对称y=-fx2）函数y=fx关于 Y轴对称y=f-x3 ）函数y=fx关于原点对称y=-f-x课时五：函数的解析表达式,及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域.（ 2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2） 待定系数法：3） 换元法：4 拼凑法：2. 定义域 ：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零.(2) 偶次方根的被开方数不小于零.(3) 对数式的真数必需大于零.(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.3、相同函数的判定方法： 表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）.定义域一样 两点必需同时具备 4、区间的概念 ：（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示课时六：1值域 :先考虑其定义域（ 1）观看法：直接观看函数的图像或函数的解析式来求函数的值域.（ 2）反表示法：针对分式的类型,把Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式,由 X 的范畴类似求 Y 的范畴.(3) 配方法：针对二次函数的类型,依据二次函数图像的性质来确定函数的值域,留意定义域的范畴.(4) 代换法（换元法）：作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型.课时七1. 分段函数（ 1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.（ 2）各部分的自变量的取值情形（ 3）分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集 补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxxA, 就 y=fgx=FxxA称为 f 、g 的复合函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）常用的分段函数1）取整函数：2） 符号函数：3） 含肯定值的函数：2. 映射一般的,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ： AB 为从集合 A到集合 B的一个映射.记作“ f （对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射 f ：A B来说,就应满意：(1) 集合 A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯独的.(2) 集合 A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个.(3) 不要求集合 B中的每一个元素在集合A中都有原象.留意：映射是针对自然界中的全部事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的.所以函数是映射,而映射不肯定的函数课时八函数的单调性 局部性质 及最值1、增减函数（ 1）设函数 y=fx的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 fx 1<fx2 ,那么就说 fx 在区间 D上是增函数 . 区间 D称为 y=fx的单调增区间 .（ 2）假如对于区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1<x2 时,都有 fx 1fx 2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 y=fx的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质.函数的单调性仍有单调不增,和单调不减两种2、 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 .3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1任取 x 1, x2 D,且 x1<x2.2作差 fx 1 fx 2 .3变形（通常是因式分解和配方）.4定号（即判定差 fx 1 fx 2 的正负）.5下结论（指出函数 fx 在给定的区间 D 上的单调性）(B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数 f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律：“同增异减”留意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .课时九：函数的奇偶性（整体性质）（1） ）、偶函数一般的, 对于函数 fx的定义域内的任意一个 x ,都有 f x=fx,那么fx就叫做偶函数（2） ）、奇函数一般的, 对于函数 fx的定义域内的任意一个 x ,都有 f x= fx,那么 fx就叫做奇函数（3） ）、具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于 y 轴对称.奇函数的图象关于原点对称 利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称.如是不对称,就是非奇非偶的函数.如对称,就进行下面判定.2 确定 f x 与 fx的关系.3 作出相应结论：如f x = fx或 f x fx = 0,就 fx是偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x = fx或 f x fx = 0,就 fx是奇函数（ 4）利用奇偶函数的四就运算以及复合函数的奇偶性1）在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数.奇函数的加减仍为奇函数.奇数个奇函数的乘除认为奇函数. 偶数个奇函数的乘除为偶函数. 一奇一偶的乘积是奇函数.2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数. 如对称,1 再依据定义判定 ;2 由 f-x±fx= 0 或 fx f-x=±1 来判定 ;3 利用定理,或借助函数的图象判定.课时十、函数最值及性质的应用1、函数的最值1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx在区间 a ,b 上单调递增,在区间 b ,c 上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值 fb .假如函数 y=fx在区间 a ,b 上单调递减,在区间 b ,c 上单调递增就函数y=fx在 x=b 处有最小值 fb .2、函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性. 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.3、判定模糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区分在于作差法是与0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作比较,作商法是与 1 作比较.4、肯定值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值.5、在判定函数的奇偶性时候,如已知是奇函数可以直接用f0=0 ,但是 f0=0并不肯定可以判定函数为奇函数.（高一阶段可以利用奇函数f0=0 ）.课时十四1、 指数与指数幂的运算：复习中学整数指数幂的运算性质：am*a n=am+n a m n=amn a*b n=anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、根式的概念： 一般的, 如x na ,那么 x 叫做 a 的n 次方根, 其中 n >1,且 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时, a 的 n 次方根用符号表示.当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时正数a的正的 n 次方根用符号表示,负的 n 的次方根用符号表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成（ a>0）.留意：负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当n 是奇数时,n ana ,当 n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式子叫做根式,这里n 叫做根指数, a 叫做被开方数.3、 分数指数幂正数的分数指数幂的ma nn a m a0, m, nN * , n1 , am n1ma n1n am a0, m, nN*, n10 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a r ·（2） ） a r s（3） ） ab rara r sa rsa r a s a0, r , s a0, r , s a0, r , sR .R .R 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、无理数指数幂a一般的, 无理数指数幂 a （ a>0,a 是无理数） 是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂.课时十五：指数函数的性质及其特点（1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、指数函数的概念：一般的,函数 ya x a0,且a1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1为什么？ 2、在同以坐标平面内画出以下函数的图像：（1）（2）（ 3）（ 4）（ 5）图像特点图像特点a>1a>10<a<1a>1向、轴正负方向无限延长函数的定义域为 R图像关于原点和 Y轴不对称非奇非偶函数+函数图像都在 X轴的上方函数的值域为 R0函数图象都过定点（ 0, 1）a =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自左向右看图像逐步上升.自左向右看图像逐步上升.增函数减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在第一象限内图像纵坐标都大于 1.在第一象限内图像纵坐标都大于 1.x>0, ax>1x>0, a x <1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在其次象限内图像纵坐标都小于 1.在其次象限内图像纵坐标都大于 1.x<0, ax <1x<0, ax>1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图像上升的趋势愈来愈陡.图像上升的趋势愈来愈陡.函数值开头增加较慢, 到了某一值后增长速 度极快.函数值开头减小极快, 到了某一值后减小速 度较慢.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课时十六：指数函数的性质及其特点（1） 指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y0在 R上单调递增在 R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0, 1）函数图象都过定点（ 0,1）留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 在a , b 上,值域是 f a, f b 或fb, fa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如 x0 ,就 fx 1. f x 取遍全部正数当且仅当 xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 对于指数函数f x ax a0且a1) ,总有f 1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）当 a>1 时,如 X1<X2 , 就有 fX 1<fX 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、对数函数（一）对数1. 对数的概念：一般的,假如 a xN a0,a1 ,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作： xlog a N（ a 底数, N 真数,log aN 对数式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 1留意底数的限制 a0 ,且 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a xNlogNxa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3留意对数的书写格式两个重要对数：log a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1常用对数：以 10 为底的对数lg N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2自然对数：以无理数e指数式与对数式的互化2.71828为底的对数的对数ln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_幂值真数aab NlogN b底数指数对数（二）对数的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a0 ,且 a1, M0, N0,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1log a M· N log a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M2log aNlog a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3log a Mn log a MnR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：换底公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a blog c b（ a0 ,且 a1. c0 ,且 c1 . b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log c a利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bm（ 1） lognn logb .（ 2） logb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amaalog b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylog axa0 ,且a1 叫做对数函数,其中 x 是自变量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的定义域是（ 0, +）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别.如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2log 2 x , yxlog 55都不是对数函数,而只能称其为对数型函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2对数函数对底数的限制：2、对数函数的性质：a0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_332.52.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21.51 121.51 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51234567810.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x 0定义域 x 0值域为 R值域为 R在 R上递增在 R上递减函数图象都过定点 （ 1,0）函数图象都过定点（ 1, 0）（三）幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、幂函数定义：一般的,形如2、幂函数性质归纳yxaR) 的函数称为幂函数,其中为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义并且图象都过点（1,1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0, 上是增函数特殊的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当1时,幂函数的图象下凸.当（3） ）0 时,幂函数的图象在区间00,1时,幂函数的图象上凸. 上是减函数在第一象限内,当x 从右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边趋向原点时,图象在y 轴右方无限的靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于时,图象在 x 轴上方无限的靠近 x 轴正半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载