2022年高中数学解析几何知识点总结.docx

精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、直线方程 .§07. 直线和圆的方程学问要点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 由正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为0, 故直线倾斜角的范畴是0 180 0 .注：当90 或 X2 xi 时,直线 I 垂直于 x 轴,它的斜率不存在每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率肯定时,其倾斜角也对应确定2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式特殊的,当直线经过两点 a,0,0,b ,即直线在 x 轴, y 轴上的截距分别为 a,ba 0,b 0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线方程是： y 1.a b注：如 y 3 x 2 是始终线的方程,就这条直线的方程是y2 y x 2x 0 就不是这条线 .23x 2,但如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：直线系：对于直线的斜截式方程y kx b ,当 k,b 均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,假如 k,b 变化时,对应的直线也会变化.当 b 为定植, k 变化时,它们表示过定点 0,b 的直线束 . 当 k 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：li /l 2 ki k2 两条直线平行的条件是：Il 和丨 2 是两条不重合的直线 .在 Il 和丨 2 的斜率都存在的前提下得到的 .因此,应特殊留意,抽掉或忽视其中任一个前提”都会导致结论的错误. 一般的结论是：对于两条直线Ii,l2,它们在 y 轴上的纵截距是 bi ,b2 ,就 Il /l2 ki k2 ,且 bi b2 或 li,l 2 的斜率均不存在,即AiB2 BiA2 是平行的必要不充分条件,且Ci C2 推论：假如两条直线 li,l2 的倾斜角为 i , 2 就 li /l2 i 2 .两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线li 和|2 的斜率分别为 ki 和 k 2,就有 li 12 kik 2 i 这 里的前提是 Ii,l2 的斜率都存在 .li I2 ki 0,且丨 2 的斜率不存在或 k 2 0,且 li 的斜率不 存在. 即 AiB2 A2 Bi 0 是垂直的充要条件4. 直线的交角：直线 li 到 I 2 的角 方向角 .直线 li 到 I 2 的角,是指直线 li 绕交点依逆时针方向旋转到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 I2 重合时所转动的角,它的范畴是 0, ,当90 时 tan2kik1 k ik 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两条相交直线 li 与 I2 的夹角：两条相交直线li 与 I2 的夹角,是指由 li 与 I2 相交所成的四 个角中最小的正角,又称为 li 和 l2 所成的角,它的取值范畴是0,-,当 90,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tank 2 k i1 k 1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 过两直线 ll： AlXBiyC10 的交点的直线系方程 A1x B 1yC 1A 2x B2yC20l 2：A2 X B 2y C 2 0为参数, A 2X B 2y C 2 0 不包括在内 6.点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点Px 0,y0,直线 l : Ax By C 0,P到 I 的距离为 d,就有|Axo By 0 C| VA 2 B 2注：1.两点 P1 X1 ,y1 、P2 X2 ,y2 的距离公式： IP 1P2I X2 X12 y2 yj2 特例：点 Px,y 到原点 O 的距离： |OP| .x2 y22. 定比分点坐标分式.如点Px,y 分有向线段 P1P 所成的比为即 "PP2 ,其中P1x1,y1,P 2x 2,y 2.就 x 也X2 , y也1 1特例,中点坐标公式.重要结论,三角形重心坐标公式.3. 直线的倾斜角 0°w v 180 ° 、斜率 ：k tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 过两点 RX 1,y 1 ,F 2X 2,y 2 的直线的斜率公式： kx2 x1y2 y1. 洛 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当&X2 , y1y2 即直线和 x 轴垂直 时,直线的倾斜角=90 ,没有斜率 -两条平行线间的距离公式：设两条平行直线11 : Ax By C 1 0,l 2: Ax By C2 0C 1 C 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它们之间的距离为 d,就有 d注; 直线系方程C1 C2.A2 B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.与直线： Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0. m.R, Cm.2.与直线： Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0. m.R3. 过定点 X1,y1 的直线系方程是：Ax-X 1+B y-y 1=0 A,B 不全为 04. 过直线 11、l2 交点的直线系方程： A1X+B 1 y+C 1 +入 A2X+B 2y+C 2 =0 入？R注: 该直线系不含 12.7.关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线肯定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于某直线对称的两条直线性质：如两条直线平行,就对称直线也平行,且两直线到对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线距离相等如两条直线不平行,就对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,就中点在对称直线上 方程 ,过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直 方程 可解得所求对称点注：曲线、直线关于始终线y x b 对称的解法： y 换 x,x 换 y. 例：曲线 fx ,y=0关于直线 y=x -2 对称曲线方程是 fy+2 ,x -2=0.曲线 C: fx ,y=0关于点 a ,b 的对称曲线方程是 fa -x, 2b -y=0.二、圆的方程 .1.曲线与方程：在直角坐标系中,假如某曲线C 上的与一个二元方程 fx, y 0 的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线方程.这条曲线叫做方程的曲线 图形曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点Mx,y 其坐标与方程 f x, y 0 的一种关系,曲线上任一点 x,y 是方程 fx,y 0 的解.反过来,满意方程fx, y 0 的解所对应的点是曲线上的点 .注：假如曲线 C 的方程是 fx ,y=0 ,那么点 Po xo ,y 线 C 上的充要条件是 fx o ,yo=O2. 圆的标准方程：以点Ca,b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是x a 2 y b 2 r2.特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是： x2 y2 r2.注：特殊圆的方程：与廉由相切的圆方程 xa2yb 2 b2 rb,圆心 a,b 或a, b与 y 轴相切的圆方程 xa2y b 2a2r a, 圆心 a,b 或 a,b与 x 轴 y 轴都相切的圆方程xa 2 ya2a2ra,圆心 a, a3. 圆的一般方程 :x2DxEy F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D 2E24F0 时,方程表示一个圆 ,其中圆心2,半径2 2D2 E2 4F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D 2E24F0 时,方程表示一个点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D 2E24F0 时,注：圆的参数方程 :方程无图形 称虚圆 x ar C0S 为参数 y br sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 Ax2 BxyCy 2DxEy F 0 表示圆的充要条件是 :D2 E2 4AF 0 .圆的直径或方程 :已知 Ax1,y1 Bx2,y2x X 1 x x . y yjyy20 用向量可征 .4. 点和圆的位置关系：给定点MX 0,y °及圆 C:x a 2 y b 2 r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C2 2r2X o a y o b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 在圆 C 上2xo a y o b2 M 在圆 C 外Xo a y o b2r22r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 直线和圆的位置关系 :设圆圆 C :x a 2 ybr2 r 0直线 l :Ax By C 0A 2 B2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 C（ a,b ）到直线 I 的距离Aa Bb C v A2 B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d r 时, I 与 C 相切;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：如两圆相切,就d r 时, I 与 C 相交;22XyX 22yD1x D2xE 1y F1 0E 2y F 2 0相减为公切线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：公共弦方程：设 C1：x22y D 1X2y D 2 xE1y E.yF1 0F 2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有两个交点,就其公共弦C方2 :程x2 为d r 时, I 与 C 相离.D 1D2 X E 1E2 y F l F2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：如两圆相离,就22x2yDX E yxy2D2 X E. yF1 0 F2 <相减为圆心 O1O2的连线的中与线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由代数特点判定：方程组x a 2 y Ax Bx Cb20r2用代入法,得关于 X （或y ）的一元二次方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程,其判别式为,就 :l 与 C 相切. l 与 C 相交. l 与 C 相离.注：如两圆为同心圆就D1x E1y F122y D 2X E .y F20 相减,不表示直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 圆的切线方程：y2 r2 的斜率为的切线方程是 ykx .1 k 2r 2y Dx Ey F 0上一点 P（ xo,y o）的切线方程为 :Xo X y °yD x X o2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般方程如点 （xo ,yo）在圆上,一点 P（xo,y°）的切线方程为就x -ax o-a+y -by o -b=R 2.特殊的 ,过圆 X22XoX yo y r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yi yo k % x o如点 xo ,yo 不在圆上,圆心为a,b 就b y i ka x i ,联立求出 kR2 17. 求切点弦方程：方法是构造图,就切点弦方程即转化为公共弦方程O 的方程 x2 y2 Dx Ey F 0 又以 ABCD 为圆为方程为切线方程 . 如图： ABCD 四类共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x X A X ay y A x b k 2 XA a 2 y A b24,所以 BC 的方程即代,相切即为所求三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中,假如曲线C 和方程 fx,y=0 的实数解建立了如下的关系：1) 曲线 C 上的点的坐标都是方程 fx,y=0 的解 纯粹性 .2) 方程 fx,y=0 的解为坐标的点都在曲线C 上 完备性 .就称方程 fx,y=0 为曲线 C 的 方程,曲线 C 叫做方程 fx,y=0 的曲线.2.求曲线方程的方法： .1) 直接法：建系设点,列式表标,简化检验 . 2 参数法 .3 定义法,4 待定系数法.-圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程 .椭圆的简洁几何性质 .椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程 .双曲线的简洁几何性质 . 抛物线及其标准方程 .抛物线的简洁几何性质 . 考试要求： 1 把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,明白椭圆的参数方程.(2) 把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质.(3) 把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质.(4) 明白圆锥曲线的初步应用 .§08. 圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程 .1.椭圆方程的第肯定义：PF j |PF 2 2a F 1F2 方程为椭圆 ,PF 1 PF 2 2a FF 2 无轨迹 ,PF 1 PF 2 2a F 1F2 以 F1,F2 为端点的线段椭圆的标准方程：2 2i. 中心在原点,焦点在x 轴上： 1 1 a b 0 . ii.中心在原点,焦点在y 轴上： a2 b20.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般方程 :Ax 2 By 2 1A 0, B 0 .椭圆的标准参数方程 :x acos2 2-y 1 的参数方程为2 .2a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y bsi n顶点 : 一象限应是属于 0a,00, b 或0, a兀 .b,0. 轴：对称轴 :x 轴, y 轴.长轴长 2a,短轴长 2b. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦占： 八 、八、2c,0c,0 或 0, c0,c.焦距：F1F22c,c .2ab2 .准线：x 或c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y d. 离心率： e - 0 ca.V22i. 设 Px 0 ,y 0为椭圆 2a b由椭圆方程的其次定义可以推出1a1. 焦点半径 :b 0 上的一点 ,F1,F 2 为左、右焦点 PF 就 aex o, PF 2a ex 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2ii. 设 PX 0,y°为椭圆 冷 爲b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆方程的其次定义可以推出1ab 0 上的一点 ,F i,F 2 为上、下焦点,就 1a ey 0, PF 2a ey 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由椭圆其次定义可知：pF 1ex 0a20, PF2aax 0 0 归结起来为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左加右减” . aex0 x°cex°ex0c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：椭圆参数方程的推导：得Nacos ,bsin方程的轨迹为椭圆 .2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 .坐标:,2b , b .- d2c,-和b2G 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 aa共离心率的椭圆系的方程：椭圆b 0 的离心率是 e - c. 2ab2,方a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2程务倉 tt 是大于a b椭圆系方程 .0 的参数 ,0的离心率也是 e - 我们称此方程为共离心率的a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 P 是椭圆 :x_ya 2.1 上的点 .F1,F2为焦点,如F1PF 2,贝 U PF1F2的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2ta n 用余弦定理与 PF 1 |PF 2 2a 可得二、双曲线方程 .1.双曲线的第肯定义：PF1 |PF2 2a F 1 F 2 方程为双曲线PF 1 |PF 2 2a F 1 F 2 无轨迹PF 1 PF 2 2a F 1F 2 以 F1,F 2 的一个端点的一条射线如是双曲线,就面积为b2 cot- .bsin ,as in 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2双曲线标准方程：冷每1a,ba b20,=a2务 1a,b 0 .一般方程b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax2 Cy2 1 AC 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ i. 焦点在 x 轴上：顶点： a,0, a,0焦点： c,0, c,02准线方程 x 渐近线方程： - 10 或ca b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii.焦点在y 轴上：顶点 :0,a,O,a. 焦点： 0,c,0, c. 准线方程 :2 . 渐近线c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,参数方程 :x a sec 亠 x btan或y b ta ny a sec可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c轴 x, y 为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为 2b ,焦距 2c.离心率 e准线距空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 两准线的距离 22; 通径眩. 参数关系 c2aa2 b2 ,e-. 焦点半径公式：对于双曲a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线方程冷y_2 ab21FI,F2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.共轭双曲线 :2双曲线.笃 - a以已知双曲线的虚轴为实轴 ,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭2y_2b22与与ay b2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:2x2a2言 0共渐近线的双曲线系方程:x222a0的渐近线方程为令a20 假如双曲线的y渐近线为 x 上 0 时,它的双曲线方程可设为a bx2a3例如：如双曲线一条渐近线为1-x 且过 p3,- ,求双曲线的方程.1 x321 2解：令双曲线的方程为：40,代入 3, . 得281.3“长加短减”原就:直线与双曲线的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区域 区域 区域 区域 区域无切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计2 条.即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3 条.2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计4 条.即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线2 条;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、 2、 3、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条. 2 如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入近线求交和两“根”之法和与与两根之积同号.渐22如 P 在双曲线X_ 1 , 就常用结论 1:P 到焦点的距离为m = n , 贝 y P 到两准线的距2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离比为 m :n.PF i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简证： d1d2PF 2e常用结论 2: 从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程 .通径为 2p ,这是过焦点的全部弦中最短的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y2 2px （或 x2 2py ）的参数方程为 X 2pt （或 X 2 Pt 2 ）（ t 为参数） .y 2pty 2 pt四、圆锥曲线的统肯定义 .4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线 I 的距离之比为常数e 的点的轨迹 . 当 0 e 1 时,轨迹为椭圆.当 e 1 时,轨迹为抛物线. 当 e 1 时,轨迹为双曲线.当 e 0 时,轨迹为圆（ e - ,当 c 0, a b 时） .a5. 圆锥曲线方程具有对称性 .例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.由于具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可 .注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义1 . 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a（ 2a>|F 1F2|）的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（ 0<e<1 ）1. 到两定点 F1,F2 的距 离之差的肯定值为定值2a （ 0<2a<|F 1 F2|）的点的轨迹2 . 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（ e>1 ）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形标准方程方参数 方2 2xyd_ TT 1a b >0ab2 2xy七 1 a>0,b>0aby2=2px2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程x a cos y bsi n程（参数为离心角）x a sec y bta n（参数为离心角）x2pt t 为参数 y 2 pt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_范畴a x a, b y b|x| a ,y Rx 0中心原点 00,0原点 O 0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点a,0, a,0 0,b, 0, ba,0, a,00,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴x 轴, y 轴.长轴长 2a, 短轴长 2b焦占八 ' 、八Fi c,O, F 2 c,0x 轴, y 轴. 实轴长 2a, 虚轴长 2b.Fic,0, F 2 c,0x 轴、F 弓,02焦距2c c= Ja2 b22c c=、a2 b2 离心率ce -0 e 1ace - e 1 ae=1准线2 a x=c2 a x=cx 卫2渐近线b y= 土一 xa焦半径r a exrex aPr x 2通径2b 2a2b2a2p焦参数2 a c2 a cP1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质2. 等轴双曲线3. 共轭双曲线5.方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程6.共渐近线的双曲线系方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载