2022年高中数学必修解三角形教案 .docx

精品_精品资料_第 2 章解三角形2.1.1 正弦定理教学要求 ：通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法.会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题 .教学重点 ：正弦定理的探究和证明及其基本应用.教学难点 ：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数.教学过程 ：一、复习预备：1. 争论：在直角三角形中,边角关系有哪些？三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？内角和、大边对大角是否可以把边、角关系精确量化？ 引入课题：正弦定理二、讲授新课：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 教学正弦定理的推导：特别情形：直角三角形中的正弦定理：sin A=abca sin B= cb sin C=1即 c= c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin B.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 能否推广到斜三角形？先争论锐角三角形,再探究钝角三角形当ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是 CD ,依据三角函数的定义,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 CDa sin Bb sin A , 就ab.同 理 ,ac 思 考 如 何 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高？,从而sin Aabcsin B.sin Asin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C * 其 它 证 法 ： 证 明 一 ： 等 积 法 在 任 意 斜 ABC当 中S ABC =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1absin C1acsin B1bc sin A .C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2221abcabOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边同除以abc 即得：2=sin Asin B=.csin CAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明二： 外接圆法如下图,A D ,aaCD2R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理b sin B=2 R,c sin C 2R.sin Asin D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明三：向量法过A 作单位向量j 垂直于 AC ,由 AC + CB = AB 边同乘以单位向量j得 . 正弦定理的文字语言、符号语言,及基本应用 ：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边.已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 教学例题： 出例如 1：在ABC 中,已知A450 , B600 , a42cm ,解三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析已知条件 争论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两角一边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 出例如 2：ABC中, c6, A450 , a2, 求b和B,C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析已知条件 争论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两边及一边对角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0练习：ABC中, b3, B600 , c1,求a和A,C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC 中,已知 a边长精确到1 cm10 cm , b14 cm, A40 ,解三角形角度精确到10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 争论：已知两边和其中一边的对角解三角形时,如何判定解的数量？3. 小结： 正弦定理的探究过程.正弦定理的两类应用.已知两边及一边对角的争论 .三、稳固练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.已知ABC 中,A=60 °, a3 ,求sin Aabc sin B.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.作业：教材P5 练习 1 2 , 2 题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.1.2 余弦定理一教学要求 ：把握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定懂得决两类基本的解三角形问题.教学重点 ：余弦定理的发觉和证明过程及其基本应用.教学难点 ：向量方法证明余弦定理.教学过程 ：一、复习预备：1. 提问：正弦定理的文字语言？符号语言？基本应用？2. 练习：在 ABC 中,已知c10 , A=45, C =30 ,解此三角形.变式3. 争论：已知两边及夹角,如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导： 如图在ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为c 、 a 、 b .Cba ACABBC ,AcB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AC . AC ABBC . ABBC22AB2 AB . BCBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2AB即 b22| AB |. | BC| cos180c2a22ac cosB ,2BBCc22accos Ba2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 试证： a 2b2c22bccos A , c2a2b22ab cosC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用符号语言表示边及夹角a2b2c22bc cos A , 等. 基本应用：已知两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 争论：已知三边,如何求三角？b2 余弦定理的推论：cos Ac2a22bc, 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 摸索：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教学例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 出例如 1：在ABC 中,已知a 2 3 , c62 , B600 ,求 b 及 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析已知条件 争论如何利用边角关系 示范求b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 争论：如何求A ？两种方法答案： 小结：已知两边及夹角b 2 2 , A600 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在ABC 中,已知a 13cm , b8cm , c16cm ,解三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析已知条件 争论如何利用边角关系 分三组练习 小结：已知两角一边3. 练习：在 ABC中,已知a 7, b 10 , c 6,求 A 、B 和 C.在 ABC中,已知a 2, b 3, C 82°,解这个三角形.4. 小结： 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例.余弦定理的应用范畴：已知三边求三角.已知两边及它们的夹角,求第三边 .三、稳固练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 在ABC 中,假设a 2b2c2bc ,求角 A . 答案： A=120 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 三角形 ABC 中, A 120 °, b 3, c 5 ,解三角形 . 变式：求 sin Bsin C . sin B sin C .3. 作业：教材P8 练习 1、 2 1题 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.1 .3正弦定理和余弦定理练习教学要求 ：进一步熟识正、余弦定理内容,能娴熟运用余弦定理、正弦定懂得答有关问题,如判定三角形的外形,证明三角形中的三角恒等式.教学重点 ：娴熟运用定理.教学难点 ：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程 ：一、复习预备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 争论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的争论： 出例如 1：在 ABC 中,已知以下条件,解三角形.i A,a 25,b 502 . ii A ,a 2562 ,b 502 .6iii A,a 506 ,b 5032 .iiii A ,a 50,b 5062 .6分两组练习争论：解的个数情形为何会发生变化？ 用如以下图示分析解的情形. A 为锐角时已知边 a,b 和 ACCCCbabbbaaaaAAAAHa<CH=bsinA无解Ba=CH=bsinA仅有一个解B1 HB2HBCH=bsinA<a<b有两个解a b仅有一个解 练习：在 ABC 中,已知以下条件,判定三角形的解的情形.i A2,a 25 ,b 502 .ii A 2,a 25 ,b 10233例 1.依据以下条件,判定解三角形的情形1 a 20, b 28, A 120 ° .无解2 a 28, b 20, A 45 °.一解3 c 54 , b 39 , C 115 °.一解4 b 11, a 20, B 30°.两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 出例如 2：在 ABC 中,已知sin A sin B sin C=6 5 4,求最大角的余弦 .分析：已知条件可以如何转化？引入参数k,设三边后利用余弦定理求角. 出例如 3：在 ABC 中,已知 a 7 , b 10 , c 6,判定三角形的类型.分析：由三角形的什么学问可以判别？ 求最大角余弦,由符号进行判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论：活用余弦定理,得到：a 2b 2c 2a 2b 2c 2a 2b 2c 2A是直角A是钝角A是锐角ABC是直角三角形 ABC是钝角三角形 ABC是锐角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 出例如 4：已知 ABC 中, b cosCc cosB ,试判定 ABC 的外形 .分析：如何将边角关系中的边化为角？ 再摸索：又如何将角化为边？3. 小结： 三角形解的情形的争论.判定三角形类型.边角关系如何互化.三、稳固练习：1. 已知 a、b 为 ABC 的边, A 、B 分别是 a、b 的对角, 且 sin A2 ,求 absin B3b的值2. 在 ABC 中, sin A:sin B:sin C 4:5:6 ,就 cosA :cos B :cos C.3. 作业：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、设疑自探2.2 三角形中的几何运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理、余弦定理是两个重要的定理,在解决与三角形有关的几何运算问题中有着广泛的应用.对于本节课你想明白哪些内容？1怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的运算问题？2处理三角形中的运算问题应当留意哪些问题？ 二、解疑合探可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例一：如下列图,在梯形ABCD 中, AD| BC, AB5, AC9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCA30 ,ADB45 .求BD的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例二：如下列图,已知在四边形ABCD中, ADCD , AD10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB14,BDA60 ,BCD135,求 BC的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： BC82DCAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例三：如下列图,已知圆O的半径是1,点 C在直径AB的延长线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上, BC1,点 P是圆O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角形 PCD ,且点D 与圆心分别在PC 的两侧.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 如POB,试将四边形OPDC 的面积y表示成的函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 求四边形 OPDC 面积的最大值.DPAOBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例五 : 如下列图,在等腰ABC中,底边 BC1,底角 B的平分线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD交AC于D, 求BD的取值范畴.D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：ABCC,A1802ABC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDCAABD1802 ABCABC 21803 ABC 2BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 BCD中,由正弦定理,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDsin CsinBCBDC, 即sinBDABC13sin 1802,ABC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinBD3sin2ABC ABC ABC2 sin2. cosABC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinABC. cosABC 2cosABC. sinABC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 cos 24 cos2 cosABC 2ABC 2ABCABC21.2cos1ABC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_022cos45 ,ABC1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD 的取值范畴为（四、运用拓展2 , 2）.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）在ABC中, A60 , AB16, SABC2203,求 BC及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC的外接圆和内切圆的半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： BC49, R493 , r 311 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 在 ABC中, a, b,c分别是内角bA, B,C的对边,且 B2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求的取值范畴.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：a的取值范畴是（ 1,2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_§ 3解三角形的实际应用举例教学目标1、把握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形.2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化.3、培育和提高分析、解决问题的才能.教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用.2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化.教学过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、复习引入1 、正弦定理：abc2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin Cb 2c 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 、余弦定理：a 2b 2c 22bc cos A,cos A2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2c2a 22ca cos B,cos Bc2a 2b 22ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2a 2b 22ab cosC ,cosCa 2b 2c 22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、例题讲解引例：我军有A、 B 两个小岛相距10 海里,敌军在C 岛,从 A 岛望 C 岛和B 岛成 60°的视角,从B 岛望 C 岛和 A 岛成 75 °的视角,为提高炮弹命中率,须运算 B 岛和 C 岛间的距离,请你算算看.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： A60 0 B750 CBC450C10A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理知sin 60 0sin 45 060 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0BC10 sin 60sin 45 056 海里75 0B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1如图,自动卸货汽车采纳液压机构,设计时需要运算油泵顶杆BC的长度如图 已知车厢的最大仰角为60°, 油泵顶点 B 与车厢支点A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_之间的距离为1.95m ,AB 与水平线之间的夹角为60 020/ ,AC长为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.40m ,运算BC的长保留三个有效数字分析 ：这个问题就是在ABC中,已知 AB=1.95m , AC=1.4m,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BAC606 20'66 20'可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求BC的长,由于已知的两边和它们的夹角,所以可依据余弦定理求出BC.解：由余弦定理,得C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC 2AB 2AC 22 ABAC cos A1.40m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.9521.4023.57121.951.40cos6620'60 0AD6020 /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC1.89m1.95mB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：顶杠 BC 长约为 1.89m.解斜三角形理论应用于实际问题应留意：1、仔细分析题意,弄清已知元素和未知元素.2、要明确题目中一些名词、术语的意义.如视角,仰角,俯角,方位角等等.3、动手画出示意图,利用几何图形的性质,将已知和未知集中到一个三角形中解决.练 1. 如图 , 一艘船以 32 海里 / 时的速度向正北航行, 在 A 处看灯塔 S 在船的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_北偏东 20 0, 30分钟后航行到B 处, 在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东S0.65 045可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_65 0 方向上 , 求灯塔 S 和 B 处的距离 . 保留到 0.1 B 115 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： AB16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理知ABsin 45 0BSsin 20 020 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 sin 200BSsin 45 07.7 海里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：灯塔 S 和 B 处的距离约为7.7 海里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 测量高度问题如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在同一水平直线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 C, D 两处,测得烟囱的仰角分别是45 0 和600 ,、间的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12m. 已知测角仪器高1.5m. 求烟囱的高.B图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么,求什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：由于ABAA1A1B ,又AA11.5m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以只要求出A1 B 即可C 1D 1A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在BC1D1 中,C DA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BD1C1180 060 0120 0 ,C1BD160 0450150可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得：sinC1 D1C1 BD1sinBC1BD1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1BCC1D1 sinBD1C112sin 12001826 6m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinC1BD1sin150可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而：A1BBC122186328.392m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此： ABA1 BAA128.3921.529.89229.89m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：烟囱的高约为29.89m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：在山顶铁塔上B 处测得的面上一点A 的俯角60 0 ,在塔底C 处测得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A 的俯角450 ,已知铁塔BC 部分高 32B=60 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_米,求山高CD .解：在 ABC 中, ABC=30°, ACB =135 °, CAB =180 ° ACB+ ABC=180 ° 135 ° +30 ° =15 °32C=45 0.D A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 BC=32,由正弦定理BCACsinBACsinABC得： ACBC sinABC sinBAC32 sin300sin15016621662 m4课堂小结1、本节课通过举例说明白解斜三角形在实际中的一些应用.把握利用正弦定理及余弦定懂得任意三角形的方法.2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意,分清已知与所求,依据题意画出示意图,并正确运用正弦定理和余弦定懂得题.3、在解实际问题的过程中,贯穿了数学建模的思想,其流程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图可表示为：实际问题画图形数学模型解三角形检验答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理余弦定理综合应用一、学问梳理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 内 角 和 定 理 ： 在ABC 中 , ABC. sin ABsin C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos ABScosCABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积公式 :角,反之亦然.222在三角形中大边对大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 正弦定理：在一个三角形中, 各边和它的所对角的正弦的比相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形式一：a sin Ab sin Bc sin C2R解三角形的重要工具可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形式二：a 2Rsin Ab 2Rsin Bc 2Rsin C边角转化的重要工具可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形 式 三 ：a : b : csinA : sinB : sin C形 式 四 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Aa ,sin B 2Rb ,sin Cc2R2R可编辑资料