2022年高中数学求数列通项公式与求和的方法总结教案练习答案 .docx

精品_精品资料_同学教案数列求通项公式的方法一、叠加法1. 适用于： an +1= an+ f n -这是广义的等差数列累加法是最基本的两个方法之一.2. 如 an 1anf n n2,a2a1f 1a3a2f 2就aan 1nf nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别相加得an 1a1f kk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 已知数列an,求数列 a 的通项公式.满意 an1an2n 11 得 an1an2na 11n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 an 1an2n1 就an anan 1 a n 1an 2 a3a2 a 2a1 a 12 n112 n212212 11 12 n1n221 n11 n1n22 n 11 n 1n11n2所以数列 a n 的通项公式为 ann2 .1Snann 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 已知数列 an 中,an0 且2an, 求数列 an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11SSnann SnSnn 12n解: 由已知2an得2nSSnn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2化简有 SnSn1n , 由类型 1 有S 2S 122 3n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学教案2nn12n n1SaaSnasn又 11 得 11 , 所以2, 又 n0 ,2,an2nn12nn1就2n2nn练习 1,已知数列 an的首项为 1 ,且 an 1aN* 写出数列an的通项公式 .答案： n 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ana n 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2.已知数列式 . an 满意 a13 ,nn 1,求此数列的通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1an4答案：裂项求和n1练习 3.已知数列 an满意 a 1, an 1a n1,求 an .2n2na1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知： an1nn2nn n1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分别令 n1,2,3, n1 ,代入上式得 n1 个等式累加之,即a2a 1 a 3a2 a 4a3 anan 1 1134n1n111111 2231所以 ana11na11 , a n1113122n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：已知 a1a ,aan 1nf n ,其中 fn可以是关于 n 的一次函数、二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数、指数函数、分式函数,求通项an .如 fn 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 fn 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;如 fn 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; 如 fn 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.二、叠乘法1. 适用于：an 1f na n-这是广义的等比数列同学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_累乘法是最基本的二个方法之二.2如f 2 ,an 1a2a3an 1f n ,就f 1 ,f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别相乘得, an 1na1f k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1k 12例 3.已知数列 an满意 a1, an 1nan ,求 an .3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知an 1n,分别令 n1,2,3, n 1,代入上式得 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ann 1个等式累乘之,即2 3n1an13 4na1na2a3a4an1aa1a2a3n 12又a12 ,an233n练习 1. 已知数列 an 满意 an 12 n15 nan, a13 ,求数列 an 的通项公式.n1解：由于 an2 n15nan, a13,所以 a0 ,就 an 12 n15 n ,故an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaann 1 na3a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an2a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 n115n 1 2 n2 15n 2 221 52 21 151 32n 1 nn13 25 n 1 n22 1 3n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32n 152n.n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 a n 的通项公式为 an32 n 152n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an2a a 02同学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2. 设n是首项为 1 的正项数列,且1 an1nann 1n（ n =1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3, .）,就它的通项公式是n =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解：已知等式可化为：anan n1 a n 1na n0an 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0*aaan nNn+1n 1nan0 ,即 nn 1a nn1an2 时, n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana n 1a2ana1n 1 n2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nan 1a n 2a1=n 12= n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa评注：此题是关于n 和 n 1 的二次齐次式,可以通过因式分解（一般情形时用求根公式）得到 an 与 an 1 的更为明显的关系式,从而求出an .n练习 . 已知 a n 1nan 1, a 11 , 求数列 an 的通项公式 .答案： an n1. a 11-1.n 1n评注：此题解题的关键是把原先的递推关系式anan1, 转化为1bn 1nb nan 11 n a n1, 如令 b na n, 就问题进一步转化为形式,进而应 用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于 an 1qa nf n基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数, 其定义域是自然数集的一个函数.1. 形如 an 1ca nd, c0 , 其中 a1a 型（ 1）如 c=1 时,数列 an 为等差数列 ;（ 2）如 d=0 时,数列 an 为等比数列 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学教案c 1 且 d 0a（ 3）如时,数列 n 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造帮助数列来求 .n待定系数法：设 an 1ca ,n1naand ,得 n 1cac1, 与题设ca比较系数得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 1d, 所以cdd, c0an1所以有：ddca n 1d c1c 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此数列a na1c1构成以c1 为首项,以 c 为公比的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anda 1d c n 1ana1d c n 1d所以c 1c 1即：c 1c 1 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：将递推关系 an 1ca dn化为n 1dc andc1c 1, 构造成公比为 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ and 的等比数列c1从而求得通项公式an 1dc n 1 a1d 1cc 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 已知数列 an 中, a11,a n2an 11n2 ,求数列 an的通项公式.解：an2an11n2,12a n1112,an1 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列an又 a1an1 2 n ,即 an2n1acad四逐项相减法（逐差法1）：有时我们从递推关系n 1n中把 n 换成 n-1acadaan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 nn 1, 两式相减有n 1anca n从而化为公比为 c 的等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列 an1an , 进而求得通项公式 .an 1anc n a2a1 , 再利用类型1即可求得通项公式 . 我们看到此方法比较复杂.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学教案例 5 已知数列 an 中, a11,a n2an 11n2 ,求数列 an的通项公式.解：an2a n 11n2,an 12an1两式相减得 an 1an2a n an 1 n2 ,故数列an 1 an是首项为 2 ,公比为 2的等比数列,再用累加法的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习已知数列 a 中, a12, an 111n2a,an2求通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n答案：an 1 n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 形如：n 1anq n其中 q 是常数,且 n0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n如 p=1 时,即： a n 1aq n ,累加即可 .1,nap如 p 1 时,即： a nq n求通项方法有以下三种方向： i.两边同除以pn 1 . 目的是把所求数列构造成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an1pnan bnbn 1bn1pn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：pn 1q npq, 令p n,就pq, 然后类型 1,累可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加求通项 .ii.两边同除以 q n 1. 目的是把所求数列构造成等差数列.an1pan1即：qn 1qq nq ,anp1bnbn 1bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令q n , 就可化为qq . 然后转化为类型5 来解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列n 1n设 a n 1qpa np . 通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.留意：应用待定系数法时,要求pq,否就待定系数法会失效.例 6 已知数列 a n 满意 an 12a n4 3 n 1 , a11,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学教案anan 1解法一（待定系数法）：设n 1132n3 ,比较系数得14,2 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就数列aan4 3 n 1是首项为n 1a4 3 1 151n 1,公比为 2 的等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 n4 3 n 15 2,即 an4 35 2 n 1an 12an4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11解法二（两边同除以 q n）： 两边同时除以 3n略得： 3n 133n32 ,下面解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法三（两边同除以 p n法略an 1an41）： 两边同时除以 2n1 得： 2n 12n33 n 2,下面解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_511n 1练习 .已知数列 an中, a1, an 1an,求 an .632可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在 an 11 an 1 n 1 两边乘以 2n 1 得： 2n 1an 13222 2 n3an 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 bn2nan ,就 bn 1bn1, 应用例 7 解法得： bn3 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 anbn31 n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n233. 形如 an 1pa nknb其中 k,b 是常数,且 k 0方法 1：逐项相减法（逐差法） 方法 2：待定系数法通过凑配可转化为anxnyp a n 1xn1y ;解题基本步骤：1、确定 f n =kn+b2、设等比数列 bna nxny ,公比为 p3、列出关系式 anxnyp an 1xn1y , 即bnpbn 14、比较系数求 x,y5、解得数列 a nxny的通项公式6、解得数列an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7在数列 an 中, a11, an 13a n2n, 求通项 a n . （逐项相减法） 解：, an 13an2n,a同学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2 时,n3a n12n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减得an 1an3 anan1 2 . 令 bnan 1an , 就 bn3b n 12b利用类型 5 的方法知n5 3 n 12即an 1an5 3n 11an53n 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再由累加法可得an53n 1n122 .22 .3a亦可联立解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a a1,2a nn 16n3an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 .在数列n 中,2, 求通项. （待定系数法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1解：原递推式可化为 2anxnyax n1y2bb比较系数可得： x=-6,y=9,上式即为 nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 bn是一个等比数列,首项an6n99 1 nb1a16n991bn9 1 n 12,公比为 2.2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：2an9 1 n6n9故2.5. 形如 an 2pa n 1qan时将 an 作为 f n 求解分析：原递推式可化为an 2an 1 pa n 1an 的形式,比较系数可求得 ,数列 an 1an为等比数列.例 8已知数列 an 满意 an 25an 16an , a11,a 22 ,求数列 an 的通项公式.解：设an 2an 15a n 1an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学教案322比较系数得或,不妨取 ,（取 -3结果形式可能不同,但本质相同）a3a2a a2an就 n 22a n 1n 1n,就 n 1是首项为 4,公比为 3 的等比数列aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 12an4 3n 1 ,所以n4 3 n 15 2 n 1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1. 数列 an 中,如 a18, a22 , 且满意答案：an113n .n 24a n 13an0 , 求 an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a 1, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习2. 已知数列 an 的各项都是正数,且满意: 0n 1求数列 an 的通项公式 an.2 an 4a n , nN,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1n 1an 4an 1 a n2 24,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：22所以2a n 12 an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 bnan1 2b2, 就 bnn11 1 b 22 21 12 bn2211 22n 1 bn2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1222222又1 2n1nbn,即 an2 b n2 1 21bn= 1 ,所以22.b方法 2：此题用归纳 - 猜想 - 证明,也很简捷,请试一试. 解法 3：设 c nn ,就1 c 2nn 12c, 转化为上面类型（ 1）来解五、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n例 9 已知数列 a 满意 an 12an, a1 ,求数列 a 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nan21解：求倒数得111 ,111 ,11 为等差数列,首项1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 12 anan 1an2an 1ana1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1, 2公差为 1,1 na2an2n1同学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a六、对数变换法适用于n 1parn 其中 p,r为常数型p>0,a n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10.设正项数列式 .aa1n 满意1a2a2, nn 1（n2）. 求数列an的通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_alognaa n112 log n 1log 22log 2a n 11) bna n1ogl2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：两边取对数得：b22,设,b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 n2b n 1bn是以 2 为公比的等比数列,1log 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bn12 n 12 n 1 , log2n12n 1,log2nn11 ,n22n 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 数列 an中, a11 , an2 an 1（n2）,求数列 an的通项公式 .答案： an2 2 2 2 nn例 11 已知数列 an 满意 an 123na 5 , a17 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 an 123nan5, a17,所以 ann 10, a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边取常用对数得 lg a n 15lg a nnlg3lg 2设 lg a n 1xn1 y5lg a nxn y（同类型四） 比较系数得,xlg3 , ylg3lg 24164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 lg a 1lg3lg3lg 21lg 7lg3lg3lg 2 10 ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg a nlg3 44164lg3lg 2n0 ,1644lg 2164lg 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以数列 lg a nlg3 nlg3 是以 lg 7lg3lg3为首项,以 5 为公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41644164的等比数列,就 lg a nlg3 nlg3lg 2lg 7lg3lg3lg 25 n 1 ,因此41644164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg a nlg 7lg 3lg 3lg 2 5n1lg 3 n lg416446111n11lg734 3162 4 5n 1lg34 31624 111n11lg71lg33234 316 2 4 5n416 45 n4n15n 113 lg 2 4同学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg7 5 n 1316245n 4 n 15n 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an75n 13 162 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、换元法适用于含根式的递推关系1例 12 已知数列 an 满意 an 114an1 24a n , a11 ,求数列 an 的通项16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式.解：令 bn1 24an,就 an12bn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 an 112414a n1 24a n 得1 bn2 111 1 41 bn21b n 24162416可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4bn2 1b n3 2由于 bn124a n0 ,就 2b n 1bn3 ,即 bn 11 bn3 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可化为 bn 131b n3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 bn3是以 b131 24a 131 24 132 为首项,以1 为公比的等2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 23 ,即1 24 a n 23,22比数列,因此 bn31 n 11 n 2 ,就bn1n1 n22得an2 1n 1 n1 .3423八、逐差法 2（逐项相减法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、递推公式中既有Sn ,又有 ann分析：把已知关系通过aS1 ,n1转化为数列an或 Sn 的递推关系,然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 1 , n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后采纳相应的方法求解.同学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 13已知数列 a n 的各项均为正数,且前n 项和 Sn 满意 Sna n1a n2 ,6且 a2 , a 4 , a 9 成等比数列,求数列 a n 的通项公式.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：对任意 nN有 S a1a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=1 时, S1a11 a1