2022年高中数学最全数列总结及题型讲解学习.docx

精品_精品资料_高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1） 数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an ,在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项） ,在其次个位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的叫第 2 项,序号为 n的项叫第 n 项（也叫通项）记作an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的一般形式：a1 , a2 , a3 ,an ,简记作an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 通项公式的定义：假如数列这个数列的通项公式. an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如： 1 , 2 ,3 , 4, 5,： 1 1 1 1 1, , , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：2 3 4 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an表示数列,an 表示数列中的第 n 项,an =fn 表示数列的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独.例如,a = 1n =1,n1,n2k1kZ .2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不是每个数列都有通项公式.例如,1, 1.4 ,1.41 , 1.414 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）数列的函数特点与图象表示：从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N （或它的有限子集）的函数f n 当自变量 n 从 1 开头可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依次取值时对应的一系列函数值立点 .f 1, f 2,f 3, ,f n ,通常用an 来代替 fn ,其图象是 一群孤可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列.按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列.例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（ 1）1, 2, 3,4, 5, 6,210, 9, 8, 7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）数列 a 的前 n 项和S 与通项S1a 的关系： a n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnSnSn1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等差数列 一 、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为anan 1d n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 an 1and n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：等差数列an2 n1 , anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 二 、等差数列的通项公式：ana1n1d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d0为递增数列,d0 为常数列, d0 为递减数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知等差数列an中, a 7a916, a41,就 a12 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A15B30C31D64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. an 是首项a11 ,公差 d3的等差数列,假如 an2022,就序号 n 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 670可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等差数列 an减数列”）2n1, bn2n1 ,就 an 为bn 为（填“递增数列”或“递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 三 、等差中项的概念：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a 与 b 的等差中项.其中Aab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a , A , b 成等差数列Aab 2即： 2an 1anan 2（ 2anan man m ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：1（ 06 全国 I ）设 an是公差为正数的等差数列, 如 a1a2a315 ,a1a2 a380 ,就 a11a12a13（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 120B 105C 90D 75 四 、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）在等差数列（ 2）在等差数列an中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项.an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）在等差数列a中,对任意 m , nN , aanm d , danammn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）在等差数列nnman中,如 m , n , p , qN 且 mnpq ,就 amnmana paq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snna1an na1nn1) d1 n 2（ a1d） n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ SAn 2Bn A, B为常数 2222a是等差数列 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推公式： Sna1an n 2aman m21 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 假如等差数列an 中, a3a4a512 ,那么 a1a2.a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 14（ B） 21（ C）28（ D） 35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （ 2022 湖南卷文）设Sn 是等差数列an 的前 n 项和,已知a23 , a611 ,就S7 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 13B 35C 49D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. （ 2022 全国卷理）设等差数列an 的前 n 项和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知等差数列an 的前 n 项和为Sn ,如S1221,就 a2a 5a8a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. （ 2022 全国卷理）设等差数列a的前 n 项和为S ,如 aS95a 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn53S5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知an数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S1070 ,就其公差 d 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 23B. 1C.31D.233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. （ 2022 陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn , 如 a6s312 , 就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9（ 00 全国）设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知S 7,SSn75, Tn 为数列的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_715n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和,求 Tn. 六 . 对于一个等差数列：（ 1）如项数为偶数,设共有2n 项,就 S 偶S 奇nd . S奇S偶an .an 1S奇n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如项数为奇数,设共有2n1项,就 S 奇S 偶ana中 .S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 一个等差数列共 2022 项,求它的奇数项和与偶数项和之比 2. 一个等差数列前 20 项和为 75,其中奇数项和与偶数项和之比1：2,求公差 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 一个等差数列共有10 项,其偶数项之和是15,奇数项之和是25 ,就它的首项与公差分别是 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 七 . 对与一个等差数列,Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前 3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,就前 110 项和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和, S414, S10S730,就S9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S3 1 ,就S63S6 S12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 10B. 13C 18D 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 八 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1and 常数）（ nN ）an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an 1anan 2（ nN an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anknbk, b为常数 an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n项和公式法：SAn 2Bn A, B为常数 ann是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知数列 an 满意anan 12 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列 an 的通项为 an2n5 ,就数列 an 为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n 24 ,就数列 an为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知一个数列 an 的前 n 项和 s2 n2 ,就数列 an为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知一个数列 an 满意 an 22 an 1an0 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 数列an满意a1 =8, a 42,且 an 22 an 1an0（ nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_27（ 01 天津理, 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 Sn=n ,就 an 是（）A. 等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C. 等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列 九 . 数列最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a10 , d0 时,Sn 有最大值.a10 , d0 时,Sn 有最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） Sn 最值的求法：如已知Sn , Sn 的最值可求二次函数Snan2bn 的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可用二次函数最值的求法（nN ）.或者求出an中的正、负分界项,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知an ,就Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0或an 10an0.an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1等差数列an 中,a10, S9S12 ,就前项的和最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设等差数列an的前 n 项和为Sn ,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a312, S120, S130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出公差 d 的范畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指出S1, S2, S12 中哪一个值最大,并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*3（ 02 上海）设 an（ n N）是等差数列, Sn 是其前 n 项的和,且 S5 S6, S6 S7 S8,就以下结论错误的是（）A. d 0B.a7 0C.S9 S5D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知数列nan的通项n98 （ n99N）,就数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知 an 是等差数列,其中a131 ,公差 d8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）数列 an 从哪一项开头小于0？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值,并求出对应n 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 十. 利用 anS1nnSnSn 1 n1求通项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 数列 an 的前 n 项和Sn 21 （ 1）试写出数列的前5 项.（2）数列 a n是等差数列吗？（3）你能写出数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 an的通项公式吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. （ 2022 安徽文）设数列 an的前 n 项和Sn 2 ,就a8 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（ A） 15B 16C49（ D） 644、2022 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an 13Sn ,n=1, 2,3,求a2,a3 ,a4 的值及数列 an 的通项公式三、等比数列等比数列定义一般的, 假如一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q 表示 q0 ,即： an 1： anq q0 一 、递推关系与通项公式递推关系：通项公式： 推广： anan 1anamanqa1qn 1qn m1. 在等比数列2. 在等比数列an 中, a1an中, a74, q2 ,就 an12,q3 2 , 就 a19 .3. （ 07 重庆文）在等比数列 an 中, a2 8, a1 64,就公比 q 为（）（ A） 2（ B） 3（ C） 4（ D） 84. 在等比数列an中, a22 , a554 ,就 a8 =5. 在各项都为正数的等比数列 an 中,首项 a13 ,前三项和为 21,就 a3a4a5（）A 33B 72C 84D 189 二 、等比中项：如三个数a,b, c 成等比数列,就称b 为 a与c 的等比中项,且为bac,注： b 2ac 是成等比数列的必要而不充分条件.例： 1. 23 和 23 的等比中项为 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A1(B) 1(C) 1 D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （ 2022 重庆卷文）设an是公差不为 0 的等差数列,a12 且 a1,a3 ,a6 成等比数列,就an 的前 n 项和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn =（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 27nA44n 25nB33n 23nC24D n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 三 、等比数列的基本性质,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. （ 1） 如mnpq,就 amanapaq其中m, n,p, qN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） qn man , a 2naman man mnN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） an既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1在等比数列an 中,a1 和 a10 是方程2 x25x10 的两个根 , 就 a4 a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A52 B22(C) 1 2(D) 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在等比数列an,已知 a15 , a 9a10100 ,就a18 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等比数列 an 的各项为正数,且a5a6a4a718,就 log3 a1log 3 a2Llog 3a10（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 12B10C 8D 2+ log 3 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. （2022 广东卷理）已知等比数列 an 满意 an0, n1,2,L,且 a5a2n 522n n3 ,就当 n1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log 2 a1log 2 a3A.Ln2 nlog 2 a2n 11) B.（ ）2n1C.n2D.2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 四 、等比数列的前 n 项和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_na1q1 Sa 1qn aa q q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11n1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知等比数列 an 的首相 a15 ,公比 q2 ,就其前 n 项和 Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 2022 年北京卷）设f n22427210L23n10 nN ,就f n 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2 8n17B 2 8n 117C 2 8n 317D 2 8n 417可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3（ 1996 全国文, 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3S6 2S9,求数列的公比 q.* 五.等比数列的前 n 项和的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如数列an 是等比数列,Sn 是其前 n 项的和, kN,那么Sk , S2kSk , S3kS2 k成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. （ 2022 辽宁卷理）设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ,如S6S9SS3 =3 ,就6=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 2B.73C.83D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为（）A 83B 108C 75D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知数列an是等比数列,且 Sm10, S2m30,就 S3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 六 、等比数列的判定法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）定义法：an 1anq（常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）中项法：2an 1anan 2 an0an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）通项公式法： ankqnk, q为常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料