2022年高中数学《三角函数》详解+公式+精题 .docx

精品_精品资料_高中数学三角函数详解 + 公式+ 精题附讲解引言三角函数是中学数学的基本重要内容之一,三角函数的定义及性质有很多特殊的表现, 是高考中对基础学问和基本技能进行考查的一个内容.其考查内容包括： 三角函数的定义、图象和性质,同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切.两倍角的正弦、余弦、正切.、正弦定理、余弦定理,解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数.要求把握三角函数的定义, 图象和性质,同角三角函数的基本关系,诱导公式,会用“五点法”作正余弦函 数及 的简图.把握基本三角变换公式进行求值、化简、证明.明白反三角函数的概念,会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示.由于新教材删去了半角公式, 和差化积, 积化和差公式等内容, 近年的高考基本上环绕三角函数的图象和三角函数的性质, 以及简洁的三角变换来进行考查, 目的是考查考生对三角函数基础学问、基本技能、基本运算才能把握情形.2 近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质, 重视对三角函数基础学问和技能的考查.每年有 2 3 道挑选题或填空题, 或 1 2 道挑选、填空题和 1 道解答题.总的分值为 15 分左右,占全卷总分的约 10 左右. 1 关于三角函数的图象 立足于正弦余弦的图象,重点是函数 的图象与 y=sinx 的图象关系.依据图象求函数的表达式,以及三角函数图象的对称性.如 2022 年第 5 题、 17 题的其次问. 2 求值题 这类问题在挑选题、填空题、解答题中显现较多, 主要是考查三角的恒等变换. 如 2022年 15题. 3 关于三角函数的定义域、 值域和最值问题 4 关于三角函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性.一般要先对已知的函数式变形,化为一角一函数处理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 2022年 7 题. 5 关于反三角函数, 2022 2022年已连续三年不显现. 6 三角与其他学问的结合如1999年第 18 题复数与三角结合 今后有关三角函数仍将以挑选题、填空题和解答题三种题型显现,难度不会太大,会掌握在中等偏易的程度.三角函数假如在解答题显现的话,应放在前两题的位置, 放在第一题的可能性最大, 难度不会太大. 二、复习策略 1 、近几年的高考已经坚决抛弃对复杂三角变换及特殊技巧的考查,重点已转移到对基础和基本技能的考查上. 所以复习中用好教材、打好基础犹为重要. 1 肯定要把握好三角函数的图象,特殊是的图象的五点法作图及平移、伸缩作图. 2 熟知三角函数的基本性质、切实把握判定三角函数奇偶性、确定单调区间及求周期的方法. 3 娴熟把握三角变换的基本公式, 弄清公式的推导关系和相互联系,把基本公式记准用熟.*三角函数公式大全锐角三角函数公式sin= 的对边 /斜边cos= 的邻边 /斜边tan= 的对边 /的邻边cot= 的邻边 /的对边倍角公式Sin2A=2SinA.CosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=2tanA / 1-tanA2注： SinA2是 sinA 的平方 sin2 A 三倍角公式sin3 =4sin ·sin /3+ sin /3- cos3 =4cos ·cos /3+ cos /3- tan3a=tana ·tan /3+a ·tan /3-a三倍角公式推导sin3a=sin2a+a=sin2acosa+cos2asina帮助角公式Asin +Bcos =A2+B21/2sin+t ,其中sint=B/A2+B21/2cost=A/A2+B21/2tant=B/AAsin +Bcos =A2+B21/2cos-t , tant=A/B降幂公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2=1-cos2/2=versin2/2cos2=1+cos2/2=covers2/2tan2=1-cos2/1+cos2推导公式tan +cot =2/sin2tan -cot =-2cot21+cos2 =2cos21-cos2 =2sin21+sin =sin /2+cos/22=2sina1-sin²a+1-2sin²asina=3sina-4sin³acos3a=cos2a+a=cos2acosa-sin2asina=2cos²a-1cosa-21-sin²acosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina3/4-sin²a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=4sina3/2²-sin²a=4sinasin²60°-sin²a=4sinasin60°+sinasin60°-sina=4sina*2sin60+a/2cos60°-a/2*2sin60°-a/2cos60°-a/2=4sinasin60°+asin60°-acos3a=4cos³a-3cosa=4cosacos²a-3/4=4cosacos²a-3/2²=4cosacos²a-cos²30°=4cosacosa+cos30°cosa-cos30=4cosa*2cosa+30°/2cosa-30°°/2*-2sina+30°/2sina-30°/2=-4cosasina+30°sina-30°=-4cosasin90°-60 °-asin-90°+60 °+a=-4cosacos60°-a-cos60°+a=4cosacos60°-acos60°+a上述两式相比可得tan3a=tanatan60°-atan60°+a半角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanA/2=1-cosA/sinA=sinA/1+cosA;cotA/2=sinA/1-cosA=1+cosA/sinA.sin2a/2=1-cosa/2cos2a/2=1+cosa/2tana/2=1-cosa/sina=sina/1+cosa三角和sin + + =sin ·cos ·cos +cos ·sin ·cos +cos ·cos s·in -sin ·sin s·in cos + + =cos ·cos c·os -cos ·sin ·sin -sin ·cos s·in -sin ·sin c·os tan + + =tan +tan +tan -tan ·tan t·an /1-tan·tan -tan t·an -tan t·an 两角和差cos + =cos ·cos -sin ·sin cos - =cos ·cos +sin ·sin sin ±=sin ·cos ±cos ·sin tan + =tan +tan /1-tan·tan tan - =tan -tan /1+tan·tan 和差化积sin +sin =2 sin + /2cos - /2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin -sin =2 cos + /2sin -/2cos +cos =2 cos + /2cos - /2cos -cos =-2sin + /2sin - /2tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB=tanA+B1-tanAtanBtanA-tanB=sinA-B/cosAcosB=tanA-B1+tanAtanB积化和差sin sin =cos - -cos + /2cos cos =cos + +cos - /2sin cos =sin + +sin - /2cos sin =sin + -sin - /2诱导公式sin- =-sin cos- =cos tan a=-tansin /2- =cos cos /2- =sin sin /2+ =cos cos /2+ =-sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin - =sin cos - =-cos sin + =-sin cos + =-cos tanA=sinA/cosAtan /2 cot tan /2 cot tan tan tan tan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sin =2tan/2 / 1+tan /2 cos = 1-tan /2 /1+tan /2 tan =2tan/2/ 1-tan /2 其它公式1sin 2+cos2=121+tan2=sec231+cot2=csc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明下面两式 ,只需将一式 ,左右同除 sin 2, 其次个除 cos 2即可4 对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B= -CtanA+B=tan-CtanA+tanB/1-tanAtanB=tan-tanC/1+tantanC整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证 ,当 x+y+z=nn Z 时,该关系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论5cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=16cotA/2+cotB/2+cotC/2=cotA/2cotB/2cotC/27cosA 2+cosB2+cosC2=1-2cosAcosBcosC8 sinA 2+ sinB 2+sinC 2=2+2cosAcosBcosC9sin +sin +2 /n+sin+2 *2/n+sin+2 *3/n+sin +2 *n-1/n=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos +cos +2 /n+cos+2 *2/n+cos+2 *3/n+cos +2 *n-1/n=0以及sin2+sin2-2 /3+sin2+2 /3=3/2tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0*三角函数专题复习：1 求函数的初相的问题2 函数的图象及应用3 三角函数的最值问题4 角的拆拼在求值中的应用教学目的通过对四个三角函数中的热点问题的专题讨论, 引导同学复习三角函数中的主要学问点和重点题型的解题方法, 深层挖掘三角函数的内在联系, 尽量使同学对三角函数学问的把握融会贯穿.教学重点、难点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述四个专题中涉及的核心思想学问分析一求函数的初相的问题在三角函数问题中,我们常常遇到求函数的初相的问题,这一类问题是学习中的难点, 又是高考中的热点, 现在我们将相关题型进行归纳,帮忙同学们复习相关知识：1 、由图象求此类问题,解题的关键是从图象特点入手,查找解题的突破口.例 1. 如图 1 所示函数的图象,由图可知图 1A.B.C.D.解：由已知,易得A 2函数图象过 0 , 1 和,再考虑到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应选 C.例 2. 2022年福建函数图 2 所示,就图 2A.B.C.D.解：由图象知点3 , 0 是在函数的单调递减的那段曲线上.因此令,得,应选 C.的部分图象如2 、由奇偶性求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 2022全国已知函数是 R 上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求的值.解：由是偶函数,得即所以对任意x 都成立,且,由,解得3 、由最值求例 4. 函数以 2 为最小正周期, 且能在 x = 2时取得最大值,就的一个值是A. B.C.D.解：当时取得最大值,即当时,应选 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、由对称性求例 5. 2022轴是直线解：由于全国设函数,求.是函数,图象的一条对称的图象的对称轴,所以二 函数的图象及应用下面我们谈一谈函数的图象在日常生产、生活中的几个应用.1 、显示水深例 6. 2022湖北设是某港口水的深度y 米关于时间t 时的函数,其中.下表是该港口某一天从0时到 24 时记录的时间t与水深 y的关系：t03691215182124y12经长期观测,函数的图象可以近似的看成函数的图象.下面的函数中,最能近似的表示表中数据间对应关系的函数是A.B.C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知数据,易得的周期为 T 12由已知易得振幅 A 3又 t 0 时, y 12 ,k 12令得故2 、确定电流最值例 7. 如图 3 表示电流 I 与时间 t 的函数关系式：I =1 依据图象写出 I =的解析式.2 为了使 I =中 t 在任意段秒的时间内电流最小值,那么正整数的最小值是多少？图 3解：1 由图知 A 300 ,在同一周期内的图象.I 能同时取得最大值和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得2 问题等价于,即,正整数的最小值为 314 .3 、显示最大温差例 8.2022全国如图4 某的一天从6时到 14时的温度变化曲线近似的满意函数1 求这段时间的最大温差2 写出这段曲线的函数解析式.图 4解：l由图 4 知这段时间的最大温差是30 10 20 2 在图 4 中,从 6 时到 14 时的图象是函数的半个周期的图象,解得由图 4 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时将代入上式,可取综上所述,所求解析式为：4 、讨论商品的价格变化例 9. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发觉：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3 月份出厂价格最高为8 元, 7 月份出厂价格最低为4 元.而商品在商店内的销售价格是在8 元基础上按月份也是随正弦曲线波动的,并已知5 月份销售价最高为10 元, 9 月份销售价最低为6 元,假设某商店每月购进这种商品m 件,且当月能售完,请估量哪个月盈利最大？并说明理由.解：由条件可得出厂价格函数为销售价格函数为就利润函数为所以,当时, 即 6 月份盈利最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三三角函数的最值问题1 、型函数解 决 此 类 问 题 的 关 键 是 把 正 、 余 弦 函 数 转 化 为 只 有 一 种 三 角 函 数 , 即 化,其中角所在象限由点a, b所在象限确定,且例 10.当时,函数的A. 最大值是 l,最小值是 1B. 最大值是 l,最小值是C. 最大值是 2,最小值是 2D. 最大值是 2 ,最小值是 1解：解析式可化为时,时,应选 D2 、型函数策略：先降次、整理,再化为形如型来解.为例 11.求的最小值, 并求出函数 y 取最小值时点x 的集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：当时 , y取 最 小 值时 , 使 y取 得 最 小 值 的 x的 集 合 为3 、型函数此类函数的特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式.可先转化为 型,再利用三角函数的有界性来求三角函数的最大值和最小值.例 12.求函数的最大值和最小值.解：去分母整理得即解之得故4 、同时显现型函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此类函数的特点是含有或经过化简整理后显现与式子,处理方法是应用进行转化,变成二次函数的问题.例 13.函数的最大值为 解法一：令就所以由二次函数的图象知,当时,解法二：令,就由,得于是有当时,由以上的几种形式可以归纳解三角函数最值问题的基础方法：一是应用正弦、 余弦函数的有界性来求. 二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法来解决. 以后仍可以利用重要的不等式公式或利用数形结合的方法来解决.四角的拆拼在求值中的应用例 14.已知、为锐角,就 y 与 x 的函数关系是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.B.C.D.对此题,不少同学实行的求解思路是：依据已知条件求出cos 、sin 的值后,再将 sin ,cos ,cos ,sin 的值同时代入的绽开式中,从中解出y 来,思路直接.但运算量特别大, 不行取,而假如利用 “凑”的思想,留意到这就是“凑”, 也就是用已知的角来表示目标角由于,继而求出 y 与 x 的函数关系式,而x 的范畴可由 y cosB 0 来确定.解：为锐角,且又、为锐角,且于是由,即易得,应选 A .例 15.已 知, 且, 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的值.分析：观看条件和结论中角的种类差异,可配凑角以将已知角与待求角联系在一起,实现了由未知角向已知角的转化.解：又,故,这样就可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【练习】已知,求.提示：配凑角：,可通过求出和的差的余弦来求,较简便.解：又同 学 们 不 难 看 到 , 上 面 的 例 题 中 我 们 分 别 利 用 了.等“凑”角的技巧.此外依据题目的不同, 仍常用的“凑” 的技巧有：,及,今后解题时要多关注“配凑”的思想方法.【模拟试题】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、挑选题每题5 分,共 60 分1. 使的意义的 m 的值为A.B.C.D.或2. 函数的一个单调增区间是A. B.C.D .3. 假设是夹角为 60 °的两个单位向量,就的夹角为A. 30 °B. 60 °C. 120 °D. 150 °4. 已知ABC 的三个顶点 A 、B、C 及平面内一点 P,假设,就点 P与ABC 的位置关系是A. P 在 AC 边上B. P 在 AB 边上或其延长线上C. P 在ABC 外部D. P 在ABC 内部5. 假设,且,就等于A. B.C.D.6. 假设,就的值等于A. B.C.D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在ABC 中,就ABC 是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定外形8. 已知,且,就的值为A. B.C.D.9. 已知函数为偶函数 ,其图象与直线 y 2 的交点的横坐标为 x1 , x2 ,假设的最小值为,就A.B.C.D.10. 已知 O 为原点,点 A 、B 的坐标分别为 a,0 ,0 , a ,其中常数,点 P 在线段 AB 上,且,就的最大值为A. aB. 2aC. 3aD.11. 已知, p 与 q 的夹角为,就以为邻边的平行四边形的一条对角线长为A. 15B.C. 14D. 1612. 函数在区间 a , b 上是增函数,且,就函数在区间 a, b 上A. 是增函数B. 是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 可取得最大值MD. 可取得最小值 M二、填空题每题4 分,共 16 分13. 假设在区间上的最大值为,就 .14. 已知 a 6 , 2, b 4 ,直线 l 经过点 A 3 , 1 ,且与向量 a2b垂直,就直线l 的方程为.15. 已知,且 x, y都是锐角,就 .16. 给出以下命题：在其定义域上是增函数.函数的最小正周期是.函数的单调递增区间是.函数有无奇偶性不能确定.其中正确命题的序号是 .三、解答题本大题包括6 个小题,共 74 分17. 12 分已知,求的值.18. 12 分求值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19. 12分如以下图所示,某的一天从6时至 14时的温度变化曲线近似满意函数.1 求这段时间的最大温差.2 写出这段曲线的函数解析式.20. 12 分已知,点 M 为直线 OC 上的一个动点,当取最小值时,求及 cos AMB的值.21. 12 分如以下图所示, AOE 和BOE 都是边长为 1 的等边三角形, 延长 OB 到 C, 使,连结 AC 交 BE 于 D .1 用 t 的表示的坐标.2 求与所成角的大小.22. 14 分已知.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求 a 与 b 的夹角.2 求和.3 假设,作ABC ,求ABC 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载