2022年高中数学第一章基本初等函数任意角的三角函数单位圆与三角函数线示范教案新人教版必修.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.2.2单位圆与三角函数线示范教案整体设计教学分析从中学的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数,是同学在三角函数认知结构上的一 次质的飞跃 要使这次认知结构的飞跃在课堂上顺当完成,关键是抓住三角函数的定义,其媒介是从中学的直角三角形转化为高中的平面直角坐标系因此, 精确懂得任意角的三角函 数定义是极其重要的在上一节三角函数的定义中,分析教材图 110,以 OA为半径画单位圆同学很简洁发觉比值可转化为坐标轴上的点的坐标来表示 在坐标轴上, 把点的坐标与点的位置向量对应起来,即定义三角函数线,这样可更形象的争论三角函数的性质利用信息技术, 可以很简洁的建立角的终边和单位圆的交点坐标、 单位圆中的三角函数线之间的联系, 并在角的变化过程中,将这种联系直观的表达出来所以, 信息技术可以帮忙同学更好的懂得三角函数的本质三角函数的单位圆模型,是争论三角函数最得力的工具从这一节开头, 教材基本上都是利用单位圆来争论三角函数的性质与图象的三维目标1通过借助单位圆,懂得并进一步把握三角函数定义2把握三角函数线的定义,初步把握利用单位圆分析和解决三角函数问题3能通过单位圆上点的运动,初步明白各三角函数值的变化情形,为学习后面三角函数性质打下基础重点难点教学重点：三角函数线的定义教学难点：正确利用单位圆中轴上向量将任意角 的正弦、余弦、正切函数值表示出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_来课时支配1 课时导入新课教学过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路1. 情境导入 同学们都在一些旅行景的或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离的面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系了？思路 2. 复习导入 由三角函数的定义我们知道,对于角 的各种三角函数我们都是用 比值来表示的, 或者说是用数来表示的,今日我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法我们知道, 直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关因此自然产生一个想法是以坐标轴的方一直规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来推动新课新知探究回忆上节课学习的三角函数定义并摸索：三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,怎样探究这种表示了？怎样懂得轴上的向量？活动：指导同学在教材图110 中,作出单位圆, 我们把半径为1 的圆叫做单位圆 图 1 设单位圆的圆心与坐标原点重合,就单位圆与x 轴的交点分别为A1,0,A 1,0 ,而与 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -轴的交点分别为B0,1 ,B0 , 1 图 1设角 的顶点在圆心O,始边与 x 轴的正半轴重合, 终边与单位圆相交于点P图 11,过点 P 作 PM垂直 x 轴于 M,作 PN垂直 y 轴于点 N,就点 M、N 分别是点P 在 x 轴、 y 轴上的正射影 简称射影 由三角函数的定义可知,点P 的坐标为 cos ,sin ,即 Pcos , sin ,其中 cos OM, sin ON.yyxx于是,依据正弦、余弦函数的定义,就有sin r 1y , cos r 1x.这就是说,角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标以 A 为原点建立y轴与 y 轴同向,y轴与 的终边 或其反向延长线 相交于点T 或T 图 12 ,就 tan AT或 AT 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们把轴上向量, 和 或 分别叫做 的余弦线、正弦线和正切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OM ONATAT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当角 的终边在 x 轴上时,点P 与点 M重合,点T 与点 A 重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为零,而余弦线OM 1 或 1.当角 的终边在 y 轴上时, 正弦线 MP1 或 1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在争论结果： 1 略. 2 略 提出问题错误 .活动：师生共同争论,最终一样得出以下几点：(1) 当角 的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在(2) 当角 的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点(3) 正弦线、余弦线、正切线都是轴向量,即与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,肯定要先作单位圆(4) 线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒.或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与 x 轴的公共点为起点(5) 三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一样,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线争论结果： 1 略. 2 略示例应用例 1 如图 2, , 的终边分别与单位圆交于点P, Q,过 A1,0 作切线 AT,交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -图 2射线 OP于点 T,交射线OQ的反向延长线于T,点 P、Q在 x 轴上的射影分别为点M、N, 就 sin ,cos ,tan ,sin ,cos , tan .活动：依据三角函数线的定义可知,sin MP, cos OM, tan AT, sin NQ, cos ON, tan AT.答案： MPOMATNQONAT点评： 把握三角函数线的作法,留意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写次序不能随便颠倒 .变式训练利用三角函数线证明|sin | |cos | 1.解： 当 的终边落在坐标轴上时,正弦 或余弦 线变成一个点,而余弦 或正弦 线的长等于 r ,所以 |sin | |cos | 1.当角 终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有|sin| |cos | |OM| |MP|>1 , |sin | |cos | 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 分别作出23 和34 的正弦线、余弦线和正切线2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 在直角坐标系中作单位圆,如图3,以 Ox 轴正方向为始边作3 的终边与单位圆交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 P 点,作 PMOx 轴,垂足为M,由单位圆与Ox正方向的交点A 作 Ox 轴的垂线与OP的反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向延长线交于T 点,就 sin2 MP, cos32 OM, tan32 AT,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MPOM图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即的正弦线为3 ,余弦线为 ,正切线为AT.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可作出3的正弦线、 余弦线和正切线,如图 3 中,sin 434 MP, cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 OM,tan 4 AT,即的正弦线为 MP4,余弦线为 OM ,正切线为 AT .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 在单位圆中画出适合以下条件的角 的终边或终边所在的范畴,并由此写出角 的集合：112(1) sin . 2sin .2活动：引导同学画出单位圆,对于 1 ,可设角 的终边与单位圆交于Ax ,y , 就 sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y ,所以要作出满意sin 1的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为211的点 A,就 OA即为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角 的终边.对于2 ,可先作出满意sin 2的角的终边,然后依据已知条件确定角的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 作直线 y 如图 4 所示1交单位圆于A 与 B 两点,连结OA,OB,就 OA与 OB为角 的终边,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 45故满意条件的角 的集合为 | 2k 6 或 2k 6 ,k Z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 作直线 y 1交单位圆于2A 与 B 两点,连结OA,OB,就 OA与 OB围成的区域 如图 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的阴影部分 即为角 的终边所在的范畴 故满意条件的角 的集合为 |2k 6 2k 56 ,k Z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1点评： 在解简洁的特别值 如±,222 等 的等式或不等式时,应第一在单位圆内找到对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应的终边 作纵坐标为特别值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线 ,一般情形下,用 0,2 内的角表示它,然后画出满意原等式或不等式的区域,用集合表示出来.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 sin 解：作直线 y22 ,求角 的集合22 交单位圆于点P,P,就 sin POxsin POx322 ,在0,2 内 POx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 , PPx4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意条件的集合为 |2k 4 2k 34 ,k Z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 求以下函数的定义域：21y log sinx 2cosx 1 . 2y lg3 4sin x 活动： 先引导同学求出x 所满意的条件, 这点要提示同学留意,争论函数必需在自变量 答应的范畴内争论,否就无意义 再利用三角函数线画出满意条件的角x 的终边范畴 求解时,可依据各种约束条件,利用三角函数线画出角x 满意条件的终边范畴,写出适合条件的x 的取值集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由题意,得sinx>0 ,sinx 1,sinx>0 ,sinx 1,即就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cosx 1>0,cosx>12,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k <x< 2k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2k , 222k Z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k 3 <x<2k 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的定义域为x|2k <x<2k 2 或 2k 2 <x<2k 23 ,k Z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 所求 x 的终边所在的区域如图5 中的阴影部分所示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 3 4sin 2x>0,图 52333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinx< . 42 <sinx<2 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2k 3 , 2k 3 2k 3 , 2k 3 k Z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 xk , k 33 k Z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 所求 x 的终边所在的区域如图6 中的阴影部分所示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -图 6变式训练求函数 y2cosx 1的定义域1解： 要使函数有意义,需满意2cosx 10,所以cosx.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故由余弦函数线可知函数的定义域为2k 3 , 2k3 ,k Z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课堂小结本节课我们学习了正弦线、 余弦线、 正切线的定义, 这三种三角函数线都是一些特别的有向线段, 其之所以特别,一是其与坐标轴平行 或重合 ,二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示三角函数线是三角函数的几何表示,它直观的刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义结合起来, 可以从数和形两方面熟悉三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的懂得简洁了作业1课本本节练习A 组1.练习 B 组12 2利用单位圆和三角函数线证明：如 为锐角,就 1sin cos >1. 2sin2 cos 2 1.证明：如图 7,记角 与单位圆的交点为P,过 P 作 PMx轴于 M,就 sin MP,cos OM.图 7(1) 在 RtOMP中, MPOM>O,P 即 sin cos >1.22222(2) 在 RtOMP中, MP OM OP,即 sin cos 1.3求函数y 1 2sin2x 的定义域7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： xk 12 , k 12 ,k Z.设计感想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1对于三角函数线,开头时同学可能不是很懂得,老师应当充分发挥好图象的直观作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -用,让同学通过图形来感知、明白三角函数线的定义在同学懂得了正弦线、余弦线、正切线的定义后,老师应引导同学会利用三角函数线来发觉、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质以便为以后更好的学习三角函数的图象和性质打下良好的基础2老师要把握好深度让同学对三角函数线明白即可,要让同学利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,由于三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决3老师在教学中要搞好师生互动,让同学自己动脑、动手,多启示同学善于发觉问题、提出问题、解决问题的才能,让同学学会独立摸索和归纳总结学问的才能备课资料一、一个三角不等式的证明已知 0 , ,求证： sin < <tan .2证明： 如图 8,设锐角 的终边交单位圆于点P,过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP于点 T,过点 P 作 PMx轴于点 M,就 MP sin ,AT tan , AP 的长为 ,连结 PA.图 82SOPA<S 扇形 OPA<SOAT,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ·|OA| ·|MP|< 21|OA| 2· <1|OA| ·|AT|. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|MP|< <|AT| ,就 MP< <AT,即 sin <<tan .二、备用习题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1如4 < < 2 ,就 sin ,cos ,tan 的大小关系是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A tan <cos <sinB sin <tan <cosC cos <tan <sinD cos <sin <tan 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 0< <2,就使 sin <3和 cos >21同时成立的 的取值范畴是 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3 ,3 B 0 , 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 5 , 2 D 0 , 5, 2 3333在 0,2 内,使 sinx>cosx成立的 x 的取值范畴是 4如图 9,点 B、C 在 x 轴的负半轴上,且BC CO,角 的顶点重合于坐标原点O, 始边重合于x 轴的正半轴,终边落在其次象限,点A 在角 的终边上,且有 BAC45°,CAO90°,求sin , cos , tan .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案：1 D2.D3.图 95 4 , 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 解： AB 是 CAO的外角的平分线,ACBC1.AOBO222在 RtACO中,设 AC a,就 AO 2a, COa 5a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin COAa55a 5 . 角 的终边与OA重合,而OA落在其次象限,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 55 , cos 2515,tan .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载