2022年高中数学竞赛讲义十四.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学竞赛讲义十四极限与导数一、基础学问1极限定义：（1）如数列 u n 满意,对任意给定的正数 ,总存在正数m,当 n>m 且n N 时,恒有 |u n-A|< 成立（ A 为常数）,就称A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限, 记为,另外=A 表示 x 大于 x0 且趋向于x0 时 fx极限为 A,称右极限.类似的表示 x 小于 x0 且趋向于x0 时 fx的左极限.2极限的四就运算：假如fx=a,gx=b ,那么fx± gx=a± b,fx.gx=ab,3. 连续：假如函数fx在 x=x 0 处有定义,且fx存在,并且fx=fx0 ,就称 fx在 x=x0 处连续.4最大值最小值定理：假如fx是闭区间 a,b上的连续函数,那么fx 在a,b 上有最大值和最小值.5导数：如函数fx 在 x0 邻近有定义,当自变量x 在 x 0 处取得一个增量x 时（ x充分小） ,因变量 y 也随之取得增量 y y=fx0+x-fx0.如存在, 就称 fx在 x0 处可导, 此极限值称为fx在点 x 0 处的导数 （或变化率） ,记作x 0 或或,即.由定义知fx在点 x 0 连续是 fx在 x0 可导的必要条件.如fx在区间 I上有定义,且在每一点可导,就称它在此敬意上可导.导数的几何意义是： fx在点 x0 处导数x 0 等于曲线y=fx在点 Px 0,fx0 处切线的斜率.6几个常用函数的导数：（1）=0（ c 为常数）.（2）（a 为任意常数）.（ 3 ）4;5;6; （ 7）.（ 8）7导数的运算法就：如ux,vx在 x 处可导,且ux 0, 就（ 1）.（ 2）.（ 3）（ c 为常数）.（4）.（ 5）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8复合函数求导法：设函数y=fu,u=x ,已知x 在 x 处可导, fu在对应的点uu=x处 可 导 , 就 复 合 函 数y=fx在 点x处 可 导 , 且 （ fx=.9. 导数与函数的性质：（1）如 fx在区间 I 上可导,就fx在 I 上连续.（ 2）如对一切 x a,b有,就 fx在a,b单调递增.（ 3）如对一切x a,b有,就 fx在a,b单调递减.10极值的必要条件：如函数fx在 x0 处可导,且在x0 处取得极值,就11. 极值的第一充分条件：设fx在 x0 处连续,在x0 邻域 x 0- ,x 0+ 内可导,（ 1）如当 x x- ,x 0 时,当 x x 0,x 0+ 时,就 fx在 x 0 处取得微小值.（2）如当x x 0- , x0 时,当 x x 0,x 0+ 时,就 fx在 x 0 处取得极大值.12极值的其次充分条件：设fx在 x0 的某领域 x 0- ,x 0+ 内一阶可导,在x=x 0 处二阶可导,且.（ 1）如,就 fx在 x 0 处取得微小值.（2）如,就 fx在 x0 处取得极大值.13罗尔中值定理：如函数fx在a,b上连续,在 a,b上可导,且fa=fb,就存在 a,b,使 证明 如当 x a,b,fx fa,就对任意x a,b,. 如当 x a,b时, fxfa,由于 fx在 a,b上连续,所以fx在a,b上有最大值和最小值,必有一个不等于fa,不妨设最大值m>fa 且 fc=m ,就c a,b,且fc为最大值,故,综上得证.14 Lagrange 中值定理：如fx在a,b上连续,在 a,b上可导,就存在 a,b,使 证明 令 Fx=fx-, 就 Fx 在a,b上连续,在a,b上可导,且 Fa=Fb,所以由13 知存在 a,b使=0,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -15曲线凸性的充分条件：设函数fx在开区间I 内具有二阶导数,（1）假如对任意 x I, 就曲线y=fx在 I内是下凸的.（2）假如对任意x I, 就y=fx在 I 内是上凸的.通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数.+16琴生不等式：设 1, 2, n R, 1+ 2+ n=1.（ 1）如 fx是 a,b上的凸函数,就x 1,x 2,x na,b有 fa 1x 1+a2x2+anxn a1fx 1+a 2fx 2+anfx n.二、方法与例题1极限的求法.例 1求以下极限：（1）.（ 2）.（ 3）.（ 4） 解 （1）=.（ 2）当 a>1 时,当 0<a<1 时,当 a=1 时,（ 3）由于而所以（ 4）1+1+|x|<1 .例 2求以下极限：（1）1+x1+x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）.（ 3）.解（ 1）1+x1+x 21+1+=（ 2）=（ 3）=2连续性的争论.例 3设 fx在 - ,+ 内有定义,且恒满意fx+1=2fx,又当x 0,1时,2fx=x1-x,试争论fx在 x=2 处的连续性. 解当 x 0,1时, 有 fx=x1-x2,在 fx+1=2fx中令 x+1=t ,就 x=t-1 ,当2x 1,2时,利用fx+1=2fx有 ft=2ft-1,由于t-1 0,1,再由 fx=x1-x22得 ft-1=t-12-t, 从而 t 1,2时, 有 ft=2t-1.2-t.同理,当x1,2时,2令x+1=t,就当t2,3时,有ft=2ft-1=4t-23-t.从而fx=所以,所以fx=fx=f2=0,所以 fx在 x=2 处连续.3利用导数的几何意义求曲线的切线方程. 解由于点 2,0不在曲线上,设切点坐标为x 0,y 0 ,就,切线的斜率为,所以切线方程为y-y 0=,即.又由于此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -切线过点 （ 2,0 ）,所以,所以 x0=1,所以所求的切线方程为y=-x-2,即 x+y-2=0.4导数的运算.cos2x例 5求以下函数的导数： （1）y=sin3x+1.（2）.（ 3）y=e.x（4）.（ 5） y=1-2xx>0 且 . 解（ 1）3cos3x+1.2（ 3）（ 4）（ 5）5用导数争论函数的单调性.例 6设 a>0,求函数 fx=-lnx+ax 0,+ 的单调区间.解 , 因 为x>0,a>0, 所 以222x +2a-4x+a>0.x +2a-4x+a+<0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 1）当 a>1 时,对全部x>0,有 x+2a-4x+a>0,即x>0,fx在0,+ 上单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2递增.（ 2）当 a=1 时,对 x 1, 有 x+2a-4x+a>0,即,所以 fx在（ 0, 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2内单调递增, 在（ 1,+）内递增, 又 fx在 x=1 处连续, 因此 fx在0,+ 内递增.（ 3）当 0<a<1 时,令,即 x 2+2a-4x+a2>0,解得 x<2-a-或 x>2-a+,因此, fx在0,2-a- 内单调递增,在2-a+,+ 内也单调递增,而当22-a-<x<2-a+时 , x +2a-4x+a2<0 , 即, 所 以fx在2-a-,2-a+ 内单调递减. 6利用导数证明不等式.例 7设,求证： sinx+tanx>2x.2 证 明 设fx=sinx+tanx-2x, 就=cosx+sec x-2 , 当时 ,（ 因 为0<cosx<1 ） , 所 以=cosx+sec 2x-2=cosx+. 又 fx在上连续, 所以 fx在上单调递增,所以当x 时, fx>f0=0,即 sinx+tanx>2x.7. 利用导数争论极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 8设 fx=alnx+bx2+x 在 x=1 和 x2=2 处都取得极值,试求a 与 b 的值,并指出这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时 fx在 x 1与 x2 处是取得极大值仍是微小值. 解由于fx在0,+ 上连续,可导,又fx在 x1=1, x2=2 处取得极值,所以,又+2bx+1,所以解得所以.所以当 x 0,1时,所以 fx在 0,1上递减.当 x 1,2时,所以 fx在1 ,2 上递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当 x 2,+ 时,所以 fx在2 , +）上递减.综上可知 fx在 x 1=1 处取得微小值,在x 2=2 处取得极大值.例 9设 x 0, ,y0,1,试求函数fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx的最小值. 解第一,当 x 0, ,y 0,1时,2fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx=1-yx2=1-yx,令 gx=,当时,由于 cosx>0,tanx>x,所以.当时,由于cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以.又由于 gx 在0, 上连续,所以gx 在0, 上单调递减.又由于 0<1-yx<x< ,所以 g1-yx>gx,即,又由于,所以当x 0, ,y 0,1时, fx,y>0.其次,当 x=0 时, fx,y=0.当 x= 时, fx,y=1-ysin1-y 0.当 y=1 时, fx,y=-sinx+sinx=0.当 y=1 时, fx,y=sinx 0.综上,当且仅当x=0 或 y=0 或 x=且 y=1 时, fx,y取最小值0.三、基础训练题1= .2已知,就 a-b= .3 .4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -5运算 .6如 fx是定义在 - ,+ 上的偶函数,且存在,就 .7 函 数fx在 - ,+ 上 可 导 , 且, 就 .8如曲线fx=x 4-x 在点 P 处的切线平行于直线3x-y=0 ,就点 P 坐标为 .9函数 fx=x-2sinx的单调递增区间是 .10函数的导数为 .11如曲线在点处的切线的斜率为,求实数a.012. 求 sin29的近似值.13设 0<b<a<, 求证：四、高考水平练习题1运算= .2运算 .323函数 fx=2x-6x +7 的单调递增区间是 . .4函数的导数是 .5 函 数fx在x0邻 域 内 可 导 , a,b为 实 常 数 , 如, 就 .x6函数 fx=e sinx+cosx,x的值域为 .27过抛物线x =2py 上一点 x 0,y 0 的切线方程为 .8当 x>0 时,比较大小：lnx+1 x.9. 函数 fx=x5-5x 4+5x3+1,x -1,2的最大值为 ,最小值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -10曲线 y=e -x x 0 在点 Mt,e -t 处的切线l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为St ,就 St 的最大值为 .2211如 x>0 ,求证： x -1lnx x-1.12函数 y=fx在区间 0,+ 内可导. 导函数是减函数, 且>0,x 0 0,+ .y=kx+m是曲线y=fx在点 x 0,fx0 处的切线方程,另设gx=kx+m ,（ 1 ）用 x0,fx0,表示 m.（ 2）证明：当x 0,+ 时, gx fx.（ 3）如关于 x 的不2等式 x +1 ax+b在0,+ 上恒成立, 其中 a,b 为实数, 求 b 的取值范畴及a,b 所满意的关系.13. 设各项为正的无穷数列x n 满意 lnx n+, 证明： x n 1n N+.五、联赛一试水平训练题1设 Mn=（十进制） n 位纯小数0.只取 0 或 1（ i=1,2,n-1 ）,an=1 ,Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中全部元素的和,就 .x 92如 1-2 绽开式的第3 项为 288,就 .3设 fx,gx分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x<0 时,且 g-3=0,就不等式fxgx<0的解集为 .4曲线与的交点处的切线夹角是 .5已知 a R+,函数 fx=x2eax 的单调递增区间为 .26已知在a,3-a 上有最大值,就a 的取值范畴是 .7当x 1,2时, fx=恒成立,就y=lga 2 -a+3 的最小值为 .x8 已 知fx=lne+aa>0, 如 对 任 意x ln3a,ln4a, 不 等 式-1|m-fx|+ln<0 恒成立,就实数m取值范畴是 .9. 已知函数fx=ln1+x-x,gx=xlnx,（1）求函数fx的最大值.（ 2）设 0<a<b,证明： 0<ga+gb-<b-aln2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -10.1设函数 fx=xlog2x+1-xlog21-x 0<x<1,求 fx的最小值.（2）设正数 p1,p 2 ,满意 p1+p2+p3+=1,求证： p1log 2p1+p2 log 2p2+log 2 -n.11. 如函数 gAx 的定义域A=a,b,且 gAx=, 其中 a,b 为任意的正实数,且a<b,（ 1）求 gAx 的最小值.2222（ 2）争论 gAx 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）如x 1I k=k,k+1,x2I k+1=k+1,k+2,证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、联赛二试水平训练题1证明以下不等式：（1）.（ 2）.2当 0<a bc d 时,求 fa,b,c,d=的最小值.yx3已知 x,y 0,1求证： x +y >1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载