2022年高二数学人教版必修五《正余弦定理知识点归纳考点分析及例题讲解》教案.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案正余弦定理考点分析及例题讲解考点回忆：1. 直角三角形中各元素间的关系：如图,在ABC中, C 90°, ABc, AC b, BC a.（ 1）三边之间的关系：a2 b2 c2.（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：A B 90°.（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos Ba ,cos A sin Bcb , tan A a .cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 2斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29 ,在 ABC中, A、B、C为其内角, a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边.（ 1）三角形内角和：AB C .（ 2）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_asin Aabbsin Bcc sin C2 R .（ R 为外接圆半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 正弦定理：sinAsinB sinC 2R的常见变形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) sinA sinB sinC a b c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc(2) sina b c 2R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AsinBsinCsinA sinB sinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) a2Rsin_ A, b 2Rsin_ B, c 2Rsin_ C.(4) sinA a ,sinB b , sinC c .2R2R2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 三角形面积公式：S1absinC212bcsinA12casinB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2c22bccos Acos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余弦定理的公式：b ac222222c ba2accosB或2ba cosCcos B.cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2c2a 2a22bcc2b2b22aca2c22ab6. （ 1）两类正弦定懂得三角形的问题：1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角,求其他边角.（ 2）两类余弦定懂得三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.7. 判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.8. 解题中利用ABC 中 ABC,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： sin ABsin C,cos ABcos C,tan ABtan C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin ABcos C ,cos ABsin C , tan ABcot C .2222229. 解三角形的问题一般可分为下面两种情形：如给出的三角形是直角三角形,就称为解直角三角形.如给出的三角形是斜三角形,就称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 ABC的三边为a、 b、c,对应的三个角为A、B、C.（ 1）角与角关系：A+B+C= .（ 2）边与边关系：a + b >c, b + c >a, c + a >b, a b <c, b c <a, c a >b.（ 3）边与角关系：典例解析题型 1：正弦定理例 1、在 ABC中,已知BC12, A 60°, B 45°,就 AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案例 2在 ABC中, sin A sin C,就 ABC是 A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2：余弦定理例 1、在 ABC中,角A、 B、C 所对的边分别为a、 b、c,如 A3 ,a3, b1,就 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等于 A 1B 2C.3 1D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bca2222c11 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由余弦定理得cos A,2bc2,2×1× c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c2 2 c, c 2 或 c 1 舍 巩固练习：1、在 ABC中,2221 如 a b c 0,就 C .222(2) 如 c a b ab,就 C .222(3) 如 c a b 2ab,就 C .4 在 ABC中,已知a 1, b 2, C60°,就c 等于 A.3B 3C.5D 52222、在 ABC中,如 b a c ac,就 B 等于 A60°B45°或 135°C120°D30°题型 3：正弦、余弦定理求角度例 1、2022 ·湖南·文5 在锐角 ABC 中, 角 A、B 所对的边长分别为a,b. 如 2asinB=3 b,就角 A 等于 .1.3、在 ABC中,已知b 3,c 33, A30°,就角C等于 A30°B120°C60° D 150°可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案2. 4、在 ABC中,角 A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知 cos 2 C 1.4(1) 求 sinC 的值.(2) 当 a 2,2sinA sinC 时,求 b 及 c 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 解1 cos 2 C 1 2sin2C110,0< C<, sinC. 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 当 a 2,2sinA sinC 时,由正弦定理asinc,得 c 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_216222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 cos 2 C 2cos2abcosC,C 1 4及 0< C< ,得cos C±4 . 由余弦定理c a b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 b2±6b 12 0 b>0 ,解得 b6或 26,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b6,c4b 26,或c4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2：三角形面积例 1、在 ABC中, a 10, b 8, C30°,就 ABC的面积 S.例 2、在 ABC中, A60°, b 1, S ABC3,就 ABC外接圆的面积是 例 3、在 ABC中,如 A120°, AB 5,BC 7,求 ABC的面积题型 3：正、余弦定理判定三角形外形二、判定三角形的外形：给出三角形中的三角关系式,判定此三角形的外形22例 1、在 ABC中,已知a tan B b tan A,试判定 ABC的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 、在ABC 中,已知2 sinA cos Bsin C ,那么ABC 肯定是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 直角三角形B等腰三角形C 等腰直角三角形D正三角形1、在 ABC中, acos A bcos B ccosC,试判定三角形的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解由余弦定理知b2 c2 a2a2 c2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosAcosC,cosB2bca2 b2 c2,2ab,2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入已知条件得b2 c2 a2a2c2 b2c2 a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a· b·2bc c·2ac 0,2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通分得 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 c2 a2 b2 0,22 24绽开整理得 a b c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a b ± c ,即 a b c 或 b a c .依据勾股定理知ABC是直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、在 ABC中,sin 2A2c b a,b,c 分别为角A,B,C 的对应边 ,就 ABC的外形为 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A正三角形B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形答 案 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析sin2A1cosA22c b,2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb2c2 a2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos A c2bc. a b c ,符合勾股定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 ABC为直角三角形3、已知 a、b、c 为 ABC的三边长, 如满意 a b c a b c ab,就 C的大小为 A60°B90°C120°D150°解析 a b c a bc ab,222 a b c ab,a2 b2c21即2ab 2,1 cos C 2, C120°.5、在 ABC中,如 2cosBsinA sinC,就 ABC的外形肯定是A 等 腰 直 角 三 角 形B 直 角 三 角 形C 等 腰 三 角 形D等边三角形解析 2cosBsinA sinC sin A B , sinAcos B cos AsinB0,即 sin A B0, AB.6、在 ABC中,已知sinA sinB sinC 3 5 7,就这个三角形的最小外角为 A30°B60°C90°D120°解析 a b c sinA sinB sinC 3 5 7,32 52 721可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨设 a 3, b 5, c7, C 为最大内角,就cosC C120°.最小外角为60°.2×3×5 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_27、 ABC的三边分别为a, b,c 且满意 b ac, 2ba c,就此三角形是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案8、在 ABC中,角 A, B, C所对的边长分别为a, b, c,如 C120°, c2a,就 Aa>bBa<bCa bDa 与 b 的大小关系不能确定答案A22222解析在 ABC中,由余弦定理得,c a b 2abcos 120 ° a b ab.222 c2a, 2a a b ab. a2 b2ab>0, a2>b2, a>b.9、假如将直角三角形的三边增加同样的长度,就新三角形的外形是A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度确定2222解析： 设直角三角形三边长为a, b, c,且 a b c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就 ax b x c x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2 b22x2 2 ab x c2 2cx x2 2 a b c x x2>0, cx 所对的最大角变为锐角10、在 ABC中, sinA sinB,就 ABC是A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、在 ABC中,如cosA cosB cosC,就 ABC是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形答案B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAsinBsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCA解析由正弦定理知：cos coscos, tanAtanB tanC, A B C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_312、在 ABC中, sinA 4,a 10,就边长c 的取值范畴是 15A.2 ,B 10 , C 0,1040D. 0, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c解析 sinaC sin403, c A40403 sinC. 0<c 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13、在 ABC中, a 2bcosC,就这个三角形肯定是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析由 a 2bcosC 得, sinA 2sinBcosC, sin B C 2sinBcos C, sinBcosCcosBsinC 2sinBcosC, sin B C 0, B C.14、在 ABC中,已知 bc ca ab 4 5 6,就 sinAsinB sinC 等于A6 54B7 5 3C3 57D45 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15、已知三角形面积为1,外接圆面积为 ,就这个三角形的三边之积为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 2C.答案A12D 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解析设三角形外接圆半径为R,就由 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 R1,由 S1absinC2abc4R abc4 11, abc 1.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16、在 ABC中,已知a 32, cos C, S ABC 43,就 b . 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析cosC122, sinC,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 absinC 43, b 23.217、在 ABC中,角 A, B,C 的对边分别为a, b, c,已知 A60°, a3, b1,就 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ .解析由正弦定理absin,得31, sin B1, 故 B30° 或 150°.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a>b,AsinBsin 60 °sinB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 A>B, B30°,故C90°, 由勾股定理得c 2.18、在单位圆上有三点A,B,C,设 ABC三边长分别为a,b,c,就ab2csinA2sinBsinC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab c19、在 ABC中,A60°,a 63,b 12,S ABC 183,就sinA sinB sinc . ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b c解析sinA sinB sinaC sin6312.A 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 S ABC 2absinC1×6 3×12sinC 183,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 sinC ,ca 12, c 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sinCsinAAa ccos BsinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20、在 ABC中,求证：b ccos Aasin.bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB证明由于在 ABC中, sin sin sin 2R,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以左边2RsinA 2RsinCcosB2RsinB 2RsinCcosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB C sinCcos BsinBcosCsinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CA C sinCcossinAcos sin右边A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AAa ccos BsinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以等式成立,即b ccos sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22、在 ABC中, B60°,最大边与最小边之比为3 1 2,就最大角为 A45°B60°C75°D90°可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinCsin 120° A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A解析设 C 为最大角,就A为最小角,就A C120°,sinsinA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sin 120 ° cosAcos 120 °sinA313 131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinA 2tanA 22 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanA 1, A45°, C75°.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23、在 ABC中, a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,如a2,C求 ABC的面积 S.,cos4B 25,25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解cos B 2cos2 B32 1 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4故 B 为锐角, sinB .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 sinA sin BC sin34 B 7210 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得casinC10,sinA7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111048可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 S ABC 2acsinB 2×2×× . 757可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
