2022年高二人教版必修系列教案基本不等式.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_授课类型： 新授课【教学目标】课题 :§ 3.4 基本不等式第 1 课时abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学问与技能：学会推导并把握基本不等式,懂得这个基本不等式的几何意义,并把握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. 2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式.3情态与价值：通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的爱好【教学重点】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用数形结合的思想懂得不等式,并从不同角度探究不等式【教学难点】abab 的证明过程.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本不等式ab【教学过程】1. 课题导入基本不等式abab等号成立条件2ab的几何背景：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标,会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热忱好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？老师引导同学从面积 的关系去找相等关系或不等关系.2. 讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形.设直角三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2.这样, 4 个直角三角形的面积的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和是 2ab,正方形的面积为a 2b 2 .由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就得到了一个不等式：a 2b22 ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有a 2b 22ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2得到结论：一般的,假如a ,bR, 那么 a 2b 22ab当且仅当 ab时取"" 号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3摸索证明：你能给出它的证明吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：由于a 2b22abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当ab时, ab 20,当ab时, ab20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, ab 20 ,即 a22b2ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 1）从几何图形的面积关系熟悉基本不等式abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,假如a>0,b>0, 我们用分别代替a、b ,可得 ab2ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通常我们把上式写作：abab a>0,b>02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证abab 2abab12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只要证a+b2要证（ 2）,只要证a+b-0（3）要证（ 3）,只要证（-） 2（ 4）明显,（ 4）是成立的.当且仅当a=b 时,（ 4）中的等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）懂得基本不等式abab的几何意义2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探究： 课本第 110 页的“探究”在右图中, AB 是圆的直径,点C 是 AB 上的一点, AC=a,BC=b.过点 C作垂直于ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB的弦 DE,连接 AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式何说明吗？2易证 t A D t DB,那么 D A·B即Dab .ab的几2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个圆的半径为ab ,明显,它大于或等于CD,即 ab 22ab ,其中当且仅当点C 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心重合,即a b 时,等号成立.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此：基本不等式评述： 1. 假如把ab几何意义是“ 半径不小于半弦”2ab 看作是正数a、b 的等差中项,ab 看作是正数a、b 的等比中项,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在数学中,我们称ab 为 a、b 的算术平均数,称ab 为 a、b 的几何平均数 . 本2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_节定理仍可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 补充例题 例 1已知 x、y 都是正数,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) y xx2.y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22333 32 （ x y）（ x y ）（ x y ） x y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：在运用定理：ab2ab 时,留意条件a、b 均为正数,结合不等式的性质 把可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_握好每条性质成立的条件 ,进行变形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： x, y 都是正数x 0,yy 0,x20, y2 0,x3 0, y3 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0xy(1) x yy2xxyyx 2 即xyy 2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x y 2xy 0x2 y2 20x2 y23 3 2x3 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ x y）（ x2 y2 ）（ x3 y3） 2xy ·2x 2 y 2 · 2x3 y3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3y322333 3即（ x y）（ x y ）（ x y ） x y .3. 随堂练习1. 已知 a、b、c 都是正数,求证（ a b）（ b c）（ c a） abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：对于此类题目,挑选定理：果.解： a, b, c 都是正数 a b 2 ab 0 b c2 bc 0 c a2 ac 0abab 2（ a 0, b 0）敏捷变形,可求得结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ a b）（ bc）（ c a） 2ab · 2bc · 2ac abc即（ a b）（ b c）（c a） abc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 课时小结本节课,我们学习了重要不等式a2 b22ab.两正数a、 b 的算术平均数（ab ）, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_几何平均数 （ab ）及它们的关系 （ab ab ）. 它们成立的条件不同,前者只要求a、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 都是实数,而后者要求a、b 都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具 下一节我们将学习它们的应用. 我们仍可以用它们下面的等价变形来解决问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题： aba 2b22, ab（ab2） .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 评判设计课本第 113 页习题 A 组的第 1 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【板书设计】【授后记】第周第课时授课时间： 20年月日（星期）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_授课类型： 新授课【教学目标】课题 :§ 3.4 基本不等式第 2 课时abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学问与技能： 进一步把握基本不等式能够解决一些简洁的实际问题abab 2.会应用此不等式求某些函数的最值.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2过程与方法：通过两个例题的讨论,进一步把握基本不等式理求某些函数的最大、最小值.ab,并会用此定2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3情态与价值：引发同学学习和使用数学学问的爱好,进展创新精神,培育实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.【教学重点】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本不等式ab【教学难点】 利用基本不等式【教学过程】1. 课题导入ab的应用2abab 求最大值、最小值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1重要不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a ,bR, 那么 a 2b 22ab当且仅当 ab时取""号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab2基本不等式：假如a,b 是正数,那么2ab 当且仅当 ab时取""号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们称ab 为a, b 的算术平均数,称2ab为a, b 的几何平均数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 22ab和 ab 2ab 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数,而后者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要求 a,b 都是正数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2. 讲授新课例 1（ 1）用篱笆围成一个面积为100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（ 2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少.解：（ 1）设矩形菜园的长为x m ,宽为 y m ,就 xy=100,篱笆的长为2（x+y ） m.由xyxy ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得xy2100 ,2 xy40.等号当且仅当x=y 时成立, 此时 x=y=10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm,就长为（ 36 2x）m,其中0 x1 ,其2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112 x362x36 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积 S x（ 36 2x）· 2x（36 2x）22228可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当2x36 2x,即 x9 时菜园面积最大,即菜园长9m,宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为 y m ,就 2x+y=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym2 .由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxy189 ,可得xy81可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22当且仅当x=y,即 x=y=9 时,等号成立.因此,这个矩形的长、宽都为9m 时,菜园的面积最大,最大面积是81m 2归纳： 1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即如a, bR ,且 a bM, M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2为定值,就ab M4,等号当且仅当a b 时成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即如a,b R ,且 ab P,P 为定值,就a b 2P ,等号当且仅当a b 时成立 .例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为 3m ,假如池底每1m2的造价为150 元,池壁每1m2 的造价为120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？分析： 此题第一需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为l 元,依据题意,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l240000720x1600x1600可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2400002400007207202x240x297600可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1600 ,即xx40时,l 有最小值 2976000.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当水池的底面是边长为40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元评述 ：此题既是不等式性质在实际中的应用,应留意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用,应留意不等式性质的适用条件.归纳： 用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行：(1) 先懂得题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2) 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3) 在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4) 正确写出答案 .3. 随堂练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 已知 x0,当 x 取什么值时,x 2课本第113 页的练习1、2、3、481 的值最小 .最小值是多少 .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺当解决了函数的一些最值问题. 在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在详细求解时,应留意考查以下三个条件：1 函数的解析式中,各项均为正数.2 函数的解析式中,含变数的各项的和或积必需有一个为定值.3 函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件：一正二定三取 等.5. 评判设计课本第 113 页习题 A 组的第 2、 4 题【板书设计】【授后记】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第周第课时授课时间： 20年月日（星期）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_授课类型： 习题课【教学目标】课题 :§ 3.4 基本不等式第 3 课时abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学问与技能： 进一步把握基本不等式abab 2.会用此不等式证明不等式, 会应用此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式求某些函数的最值, 能够解决一些简洁的实际问题.2过程与方法：通过例题的讨论,进一步把握基本不等式某些函数的最大、最小值.abab,并会用此定理求2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3情态与价值：引发同学学习和使用数学学问的爱好,进展创新精神,培育实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.【教学重点】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把握基本不等式【教学难点】abab,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用此不等式求函数的最大、最小值.【教学过程】1. 课题导入1基本不等式：假如a,b是正数,那么ab2abab当且仅当 ab时取"" 号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2用基本不等式2. 讲授新课ab求最大（小）值的步骤.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）利用基本不等式证明不等式例 1已知 m>0,求证 246mm24 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维切入 由于 m>0,所以可把 24 和 6m 分别看作基本不等式中的a 和 b,直接利用基本不m等式. 证明 由于m>0, ,由基本不等式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_246m2246m224621224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm当且仅当24 = 6m ,即 m=2时,取等号.m规律技巧总结留意： m>0这一前提条件和3. 随堂练习 1246m =144 为定值的前提条件.m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维拓展1已知 a,b,c,d都是正数,求证abcd acbd 4 abcd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维拓展2求证a 2b 2 c2d 2 acbd 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2求证 :4a7 .a3 思维切入 由于不等式左边含有字母a, 右边无字母 , 直接使用基本不等式, 无法约掉字母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, 而左边4aa34aa333 . 这样变形后 , 在用基本不等式即可得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 证明 434a3a3a3324g a a3332437可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当4=a-3 即 a=5 时, 等号成立 .a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 利用不等式求最值例 3 1如 x>0, 求f x4x9的最小值 ;x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 x<0, 求f x4x9的最大值 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维切入 此题 1x>0和 4x9=36 两个前提条件;2中 x<0, 可以用 -x>0 来转化 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1由于 x>0由基本不等式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x4 x924x923612, 当且仅当4x93即 x=时 ,9f x4 x取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx最小值 12.x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由于x<0,所以-x>0,由基本不等式得:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x4 x9 4 x9 24 x 9 23612 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx所以f x12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当4x93即 x=-时,f x4x9取得最大 -12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x规律技巧总结利用基本不等式求最值时, 个项必需为正数, 如为负数 , 就添负号变正 .随堂练习 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维拓展1求f x4x9x>5 的最小值 .x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 思维拓展2如 x>0,y>0, 且 281 , 求 xy 的最小值 .xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 课时小结用基本不等式abab证明不等式和求函数的最大、最小值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 评判设计证明：a 2b222 a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x1,就 x 为何值时x1有最小值,最小值为几？x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【板书设计】【授后记】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载