2022年高等代数北大版第章习题参考答案2.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第七章 线性变换1 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是：1） 在线性空间V 中, A,其中V 是一固定的向量.323.2） 在线性空间V 中, A其中V 是一固定的向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33） 在 P中, A x1, x2, x3 x2 , xx , x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14） 在 P3 中, A x1 , x2 , x3 2x1x2 , x2x3 , x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5） 在 P x 中, Af xf x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6） 在 P x 中, A f xf x 0 , 其中 x0P 是一固定的数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7） 把复数域上看作复数域上的线性空间,A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n8） 在 Pn 中, AX=BXC其中 B,CP nn 是两个固定的矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1当0 时,是;当0 时,不是.2当0 时,是;当0 时 ,不是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3不是 .例如当1,0,0 , k2 时, k A 2,0,0 , A k4,0,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A kk A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4是.因取x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A = A x1= 2x1y1 , x22 y1x2y2 , x3y2 , x2y3 y2x3y3 , x1y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 2x1x2 , x2x3 , x1 2 y1y2 , y2y3 , y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A k= A+ A,A kx1 , kx2 , kx3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2kx1 2kx1=k A kx2 , kx2 kx2 , kx2 ,kx3 , kx1 kx3 , kx1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 A 是 P 3 上的线性变换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 是.因任取f xP x , g xP x ,并令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u xf xg x 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A fxg x = A u x= u x1 =f x1g x1 =Af x + A g x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再令 v xkf x 就 A kf xA v xv x1kf x1k A f x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 A 为P x 上的线性变换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6是.因任取f xP x, g xP x 就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A fxg x =f x0 g x0A fxA g x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A kf xkf x0 k A f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7不是,例如取a=1,k=I ,就 Aka=-i , k Aa=i, Akak Aa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8是,因任取二矩阵X , YP n n , 就 A XY B XY CBXCBYCA X +A Y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ak X =BkX k BXC k A X ,故 A 是 P nn 上的线性变换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.在几何空间中,取直角坐标系oxy, 以 A 表示将空间绕ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换 ,以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转90 度的变换 ,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转90 度的变换,证明： A 4 =B 4 =C 4 =E,ABBA,A 2 B 2 =B 2 A 2 ,并检验 AB 2 =A 2 B 2 是否成立. 解 任取一向量a=x,y,z ,就有1) 由于Aa=x,-z,y,A 2 a=x,-y,-z , A 3 a=x,z,-y,A 4 a=x,y,z ,234Ba=z,y,-x,Ba=-x,y,-z , Ba=-z,y,x,Ba=x,y,z ,234Ca=-y,x,z,Ca=-x,-y,z , Ca=y,-x,z,Ca=x,y,z ,所以 A 4 =B 4 =C 4 =E .2由于 ABa=Az,y,-x=z,x,y , BA a=Bx,-z,y=y,-z,-x ,所以 ABBA.3由于 A 2 B 2 a= A 2 -x,y,-z=-x,-y,z , B 2 A 2 a= B 2 x,-y,-z=-x,-y,z ,所 以 A 2 B 2 =B 2 A 2 .2224由于 AB a=AB AB a_= AB z,x,y=y,z,x , ABa=-x,-y,z ,'所以 AB 2A 2 B 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.在 Px 中, Af xf x, Bf xxf x ,证明 : AB-BA=E .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 任取f xPx , 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB-BA f x =ABf x -BAf x =A xf x -Bf ' x =f xxf ; x - xf ' x =f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以AB-BA=E .4.设 A,B 是线性变换,假如AB-BA=E ,证明： A k B-BA k = k A k 1k>1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 采纳数学归纳法.当k=2 时A 2 B-BA 2 =A 2 B-ABA+ABA-BA 2 =AAB-BA+AB-BAA=AE+EA=2a,结论成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归纳假设 km 时结论成立,即A m B-BA m = m A m1 .就当 km1 时,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 1mAB-BA1=Am 1mmB-ABA+ABA-BAm 1mmmm=AAB-BA+AB-BAA=AE+ m A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 1 A= m1 A m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 km1 时结论成立 .故对一切 k1 结论成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.证明：可逆变换是双射.证 设 A 是可逆变换,它的逆变换为A1 .如 ab,就必有AaAb,不然设 Aa=Ab,两边左乘A1 ,有 a=b,这与条件冲突.其次,对任一向量b,必有 a 使 Aa=b,事实上 ,令 A1 b=a 即可.因此 ,A 是一个双射.6.设1 ,2 ,n 是线性空间V 的一组基, A 是 V 上的线性变换. 证明： A 是可逆变换当且仅当 A1 ,A2 ,An 线性无关.证 因 A1 ,2 ,n = A1 ,A2 ,An =1 ,2 ,n A,故 A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆, 而矩阵 A 可逆的充要条件是A1 ,A2 ,An 线性无关,故 A 可逆的充要条件是A1 ,A2 ,An 线性无关 .7.求以下线性变换在所指定基下的矩阵:1第 1 题 4中变换 A 在基1 =1,0,0,2 =0,1,0,3 =0,0,1 下的矩阵.2) o;1 ,2 是平面上始终角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影 ,B 是平面上的向量对2 的垂直投影,求A,B,AB 在基1 ,2 下的矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3) 在空间 Px n 中,设变换A 为f xf x1f x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_试求 A 在基i = x x1 xi1 1i.I=1,2,n-1下的矩阵A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axaxaxax4) 六个函数1 =ecos bx ,2 =esin bx ,3 = x ecos bx ,4 = x esin bx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121=xe ax cosbx ,2e ax11=2x 2 sin bx ,的全部实数线性组合构成实数域上一个六维线性空可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间,求微分变换D 在基i i=1,2,6 下的矩阵.中线性变换A 在基101=0,1,1 下的矩阵是110,35已知 P1 =-1,1,1,2 =1,0,-1,3121求 A 在基1 =1,0,0,2 =0,1,0,3 =0,0,1 下的矩阵.6) 在 P 3 中, A 定义如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A15,0,3A20,1,6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3其中5,1,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11,0,220,1,1,33,1,0求在基1 =1,0,0,2 =0,1,0,3 =0,0,1 下的矩阵.7) 同上,求 A 在1 ,2 ,3 下的矩阵.解 1A1 =2,0,1=21 +3 , A2 =-1,1,0=-1 +2 , A3 =0,1,0=2 ,210,3 下的矩阵为011.100故在基1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12）取1 =（ 1,0）,2 =（ 0, 1）,就 A1 =2111 +2 , A2 =2211+2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11故 A 在基1,2 下的矩阵为A=22.112200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 B1=0,B2 =2 ,所以 B 在基1,2 下的矩阵为B=0,另外,（AB ） 2 =A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（B2） =A12 = 211 +2 ,201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 AB 在基1 ,2 下的矩阵为AB =2.012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）由于01,1x,2xx2.1 ,n 1xx1) x n n1.2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 A0110 ,A1 x1x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_An 1 x1 xn x n1.3xx1) xn n1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx=1 xn n1.3 x1 x n2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=n 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 A 在基0 ,1 ,0101n 1 下的矩阵为A=.10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4）由于D1 =a1 -b2 ,D2 =b1 -a2 ,6 ,D3 =1 +a3 -b4 ,D4 =2 +b3 +a4 ,D5 =3 +a5 -b6 ,D6 =4 +b5 +a6 ,ab1000ba010000ab10所以 D 在给定基下的矩阵为D=0.00ba0100000000abba110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5）由于 1 ,2 ,3 =1,2 ,3 1101,所以11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111 ,2 ,3 =1 ,2 ,3 011011=1 ,2 ,3 X ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 A 在基1,2 ,3 下的矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10101011101B=X1 AX=1111121111011101112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=220.302学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1036）由于 1 ,2 ,3 =1,2 ,3 011,210103所以 A1 ,2 ,3 =A1 ,2 ,3 011,210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5但已知 A1 ,2 ,3 =1 ,2 ,3 030511,69可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_505故 A1 ,2 ,3 =1,2 ,3 0113691030111210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_133505777261=1 ,2 ,3 01177736921177752020777.777271824777452=1 ,2 ,3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_107）由于 1 ,2 ,3 =1 ,2 ,3 0121311 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10所以 A1 ,2 ,3 =1 ,2 ,3 01213505110110369可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_235=1 ,2 ,3 101.110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 28 在Pab中 定 义 线 性 变 换A 1 X =cdabX,A 2 X =Xcd,A 2 X =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abaXcdcb, 求 A 1 , A 2 , A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵.d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 因 A 1 E 11 =a E 11 +cE 12 , A 1 E 12 =a E 12 +c E 22 , A 1 E 21 =bE 11 +dE 21 , A 1 E 22 = bE 21 +d E 22 ,a0b00a0bc0d00c0d故 A 1 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为A 1 =.又因 A 2 E 11 =a E 11 +b E 12 , A 2 E 12 = cE 11 +dE 12 ,ac00bd0000ac00bdA 2 E 21 = aE 21 +bE 22 , A 2 E 22 = cE 21 +d E 22 ,故 A 2 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为A 2 =.2又因 A 3 E 11 = aE 11 +abE 12 +acE 21 +bcE 22 ,2A 3 E 12 = acE 11 +adE 12 +cE 21 +cdE 22 ,2A 3 E 21 = abE 11 +bE 12 +adE 21 +bdE 22 ,2A 3 E 22= bcE 11 +bdE 12 +cdE 21 +dE 22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 A 3 在基 E 11 , E 12 , E 21 , E 22 下的矩阵为A3a2acabadacc 2bccdabbcb2bd.adcdbdd 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基1 ,2 ,3 下的矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11A=a21a31a12 a22 a32a13a23,a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1) 求 A 在基3 ,2 ,1 下的矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2) 求 A 在基1 , k 2 ,3 下的矩阵,其中且.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3) 求 A 在基12 ,2 ,3 下的矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1因 A3 = a333 +a 232a131 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2 = a323a222a12A1= a313a212a1111 ,a33a 32a313 ,2 ,1 下的矩阵为B3a 23a13a 22a12a 21a11.故 A 在基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 因 A= a+ a21 ka,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111 12k313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ak2 = ka121 + a22 k2 + ka323 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A= aa23+ k+ a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3131k2333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 A 在1, k 2 ,3 下的矩阵为B2a11 a 21k a 31ka12a22 ka32a13a 23.k a 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3因 A12 =a11a12 13 + a21a22a11a12 2 +a31a32 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2 = a12 12 +a22a12 2 + a323 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3 = a13 12 +a23a13 2 + a333 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 A 基12 ,2 ,3 下的矩阵为B3a21a11 a 22a 31a12 a11 a32a12a12 a 22a32a12a13 a 23a33a13.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 110. 设 A 是线性空间V 上的线性变换,假如Ak0,但 A=0,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1,A,A k 1 k >0 线性无关.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 设有线性关系l 1l 2 Al k A0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用 A k 1 作用于上式 ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1l1An=0 因 A0 对一切 nk 均成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 31 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 A k 10,所以 l10 ,于是有可编辑资料 -