2022年高等数学考研知识点总结 2.docx

精品_精品资料_一、考试要求第六讲一元函数微积分的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、懂得（明白）函数的极值概念,把握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法,把握函数最大值和最小值的求法及其应用.2、会用导数判定函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点,会求水平、铅直和斜渐近线, 会描画函数的图形.3、明白曲率和曲率半径的概念,会运算曲率和曲率半径（* ）4、把握用定积分表达和运算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力、质心等）及函数的平均值.（数三、四只要求面积、旋转体的体积及简洁的经济应用）二、 导数的应用主要涉及如下几个方面1、求曲线的切线及法线方程2、判定函数的单调性、凹凸性3、讨论函数的极值和最值4、证明恒等式（不等式）5、求渐进线方程6、函数作图7、方程根的确定1、求曲线的切线与法线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、切线方程2、法线方程yy 0yy 0f x 0 1xx 0 xx 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：如f x 0 f0 ,切线方程为 x 0 yf x 0 ,法线方程为xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x 0 ,切线方程为x x 0,法线方程为y f x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 1、设f x 是可导的偶函数,它在 x0 的某邻域内满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2f e3 f 12sin x2 xo x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求曲线 yf x 在点 1 , f 1 处的切线方程及法线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、（ 021）已知曲线 yf x 与 yarctan0xt 2edt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 0 ,0 处的切线相同,写出此切线方程,并求极限limn2nf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点函数的单调性与极值定理 ：设 fx在a,b上连续,在 a,b 内可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 假如在 a,b 内 f 假如在 a,b 内 f x x 0 ,就函数 y=fx 在a,b上单调增加.0 ,就函数 y=fx 在a,b上单调削减 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理： 1 取极值的必要条件 设f x 在x 0 达到极大或微小值,并且在x 0 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_某个邻域内可微,就f ' x 0 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 两个充分条件：（1） 假如存在0 使得if x在 x 0, x0 中有定义.（ ii ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f ' x 0,x x 0, x 0 ; （iii）f ' x 0,x x 0 ,x 0 ; 就函数f x在 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的达到微小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似 ： f x在 x 0的达到极大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 假如存在0 使得if x在 x 0, x0 中有定义.（ ii ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f ' x 0 0 ;（iii）f ' ' x 0 0;就函数f x 在 x 0的达到极大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似 ： f x在 x 0的达到微小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 函数的最大值、最小值4 函数图形的凹凸性和拐点 1）凹凸性的定义,性质和判别方法（见第六章）. 2）拐点的定义：连续曲线上凹凸的分界点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）求法：如f ' ' x 0 0 或f ' ' x 0 不存在但f x 在 x0连续 ,就当f ' ' x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相反时, x 0 ,f x 0 是曲线的 yf x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_拐点.当f ' ' x 在x 0 的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相同时, x 0 ,f x 0 不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是曲线的 yf x 的拐点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、已知 f x 0 , limf x 0 ,就当 x>0 时, fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x（A） 单调递减大于零（B） 单调递增大于零（C） 单调递减小于零（D） 单调递增小于零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、设函数 ft满意 tft>0t0 ,就函数 Fx=的单调削减区间为xf 211dt x0 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5、设 fx在 x=0 的某邻域内连续,且lim21 ,就 x=0 处 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(A) 取得极大值B 取得微小值C 不行导D 可导且f 0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、（ 031）设 fx在, 内连续,其导函数的图形如下列图,就fx有A一个微小值点和两个极大值点B两个微小值点和一个极大值点C两个微小值点和两个极大值点D三个微小值点和一个极大值点yOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、已知 fx满意 f x f x 2x ,且 f 00 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(A) f0是 fx 的极大值B f0是 fx的微小值C 0,f0是曲线 y=fx 的拐点 D f0不是极值, 0,f0不是拐点例 8、（ 0512,11 分） 如图,曲线 C 的方程为 y=fx,点（ 3, 2）是它的一个拐点,直线 l 1 与l 2 分别是曲线 C 在点（ 0,0）,（3,2）处的切线,其交点为（ 2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4）.设函数 fx具有三阶连续导数,运算定积分2 xx f0 x dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、设 fx满意 xf x 3x f x 1e, 且 f x 连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2(1) 如 fx在 x=c（ c 0）处有极值,证明它是微小值.(2) 如 fx在 x=0 处有极值,它是微小值仍是极大值？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10、试求f x 2 xx0x,的极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2例 11、求函数 fx= 2t的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t edt0x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12、（ 102）求函数2fxx1te t dt 的单调区间与极值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、利用导数证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13、求证：当 x0 时,ln 1x arctanx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14、 99 1 试证：当 x>0 时, x 21 ln x x1 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15、 99 4 证明：当 0xxx时 , 有 sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 16、（ 0412）设 ea22be,证明 lnb2lna4 ba e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此题也可设帮助函数为 x ln 2 xln 2 a4 xa, ea2e 2xe 2 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2lnb242lnx b ex, exbe ,再用单调性进行证明即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、函数作图 渐近线 作图步骤 ： y=fx(1) 确定定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 求 f x , f x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 求单调区间、凹凸区间.极值、拐点.(4) 求渐近线.(5) 描点作图.曲线的渐近线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ）假如limxf x C （常数）,就 yC 是曲线 yf x 的一条水平渐近线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ）假如limf x,就 xx 0 是曲线 yf x 的一条垂直渐近线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 ）假如xx 0flimx x xa （常数） ,且lim xf x ax b （常数） ,就 yaxb 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 yf x 的一条斜渐近线.注 上述极限都可以换为单边极限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17、运用导数的学问作函数 y1 x6 ex的图形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18、（ 0034）求函数 y近线. x1 e 2arctan的单调区间和极值及该函数图形的渐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 19 （ 07 数 1-2） 曲线 yln 1xe 的渐近线的条数 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x（ A）0.（B）1.（ C）2.（D） 3.5 求曲线的曲率,曲率半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 y=fx:kyx, 或曲线 t ,kt t t t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲率半径231y1Ry t 2t 23 t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 20（092）如 f x K不变号,且曲线yf x 在点 1,1 上的曲率圆为 x 2y 22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x 在区间 1, 2 内（ ）（ A）有极值点,无零点 .（B）无极值点,有零点 .（ C）有极值点,有零点 .（D）无极值点,无零点 .【答案】 应选 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【详解】 由题意可知,f x是一个凸函数,即f x 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| y |1且在点 1,1 处的曲率3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 f11 ,由此可得, f12 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在1, 2 上, f x f110 ,即f x单调削减,没有极值点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由拉格朗日中值定理f 2f 1f1 ,1, 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以选（ B）.f 20 ,而 f110,由零点定理知,在 1, 2 内f x有零点,故应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、定积分的应用(1) 平面图形的面积：b1) y=fx与 x 轴 axb 所围图形的面积fa x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2) axb, f x yg x , Sb f xag x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3,0(2) 空间立体的体积：1rr , S22r db可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1) 已知平行截面面积的立体体积VA x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2) 旋转体的体积V xbb22f x dx ,V yaa y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3数一 二平面曲线的弧长：xx t 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1) l :,t22yy t , lx t y t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2, l(4) 数一 旋转体的侧面积：d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x b0 , axb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S侧2af x1f x dx1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 函数在区间的平均值（数三,四）：ybaaf x dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) （数一） 定积分的物理应用 （变力作功、 引力、压力） ：用微元法分析, 其基本步骤为：第一步,建立坐标系,选定积分变量,并确定其变化区间.其次步,在 a,b内任取小区间 x,x+dx,设想产生该整体量 Q的某物理量是不变的, 求出 Q 的近似值 dQf x dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三步,运算 Qbf x dx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1利用定积分求面积与体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 21、设在区间 a,b上函数 f1 x 0 , f x 0, f x 0 , 令 S1bf x dx ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AS1S22S 3BS2S1S 3CS3S1S2DS2S3S1S2f b ba , S3 f a f b ba , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.例 22、设 fx,gx在区间 a,b上连续,且 gx<fx<mm为常数,就曲线 y=gx,y=fx,x=a 及 x=b 所围平面图形绕直线y=m 旋转而成的旋转体体积为b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2mfab x g xf xg x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 2 mfab xg x f xg x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C mfab xg x f x g x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D mfa xg x f x g x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 23、已知曲线 y3 x x0 上点 A 作切线,使该切线与曲线及 x 轴所围成的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面图形的面积为 3/4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）求 A 的坐标.（2） ）求阴影部分分别绕 x 轴与直线 x=2 旋转一周所的旋转体的体积.例 24、已知点 A 与 B 的直角坐标为 1,0,0与0,1,1, 线段 AB 绕 z轴旋转一周所成的旋转曲面为 S,求由 S 及两平面 z=0,z=1 所围成的立体体积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 25 设平面图形A由 x 2y 22 x与yx所确定, 求图形 A 绕直线 x=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_旋转一周所得旋转体的体积.yAo12x2 旋转体表面积运算（数一,二）例 26设有曲线 yx1 ,过原点作其切线,求由此曲线、切线及x 轴围可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积 .3 函数平均值运算（数三）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 27 函数 y1bx在区间 121x21,3 上的平均值为232x2231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ybaaydx3 / 22dx121 / 21x 23 sin316tdt.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 物理及经济应用例 28、（ 031）某建筑工程打的基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功 . 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进的下的深度成正比（比例系数为 k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进的下 a m. 依据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r0<r<1. 问(1) 汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进的下多深？(2) 如击打次数不限,汽锤至多能将桩打进的下多深？（注： m表示长度单位米 .）【分析 】 此题属变力做功问题,可用定积分进行运算,而击打次数不限, 相当于求数列的极限 .【详解 】 1 设第 n 次击打后,桩被打进的下 x n ,第 n 次击打时,汽锤所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作的功为W n1, 2,3, . 由题设,当桩被打进的下的深度为x 时,土层对桩的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n阻力的大小为 kx ,所以x 1k2k2W 1k x d xx1a,022x 2k22k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_W 2kxdxx 1 x 22x 1 x 22a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由W 2rW 1 可得222x 2ara可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即x 2W 31r a 2 .x 3kxdxx 2k x 2322x 2 k x 2321r a 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由W 3rW 2rW 1 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 31222,r ara可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2从而x31rra ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即汽锤击打 3 次后,可将桩打进的下1rr2 am .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x（ 2） 由归纳法,设 n1rr 2r n 1 a ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_W n 1x n 1x nkkxdx2k2 x n 122x n n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= x n 121rr a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于W n 1rW n2rW n 1rW 1 ,故得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2xn 11rn 12r ar n a 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而xn 11于是lim xn1n 1n1rrraa.1r1a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即如击打次数不限,汽锤至多能将桩打进的下1am.1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 29、 某百货商场出售空调器时总利润Lx的变化率为x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L x 250 x0.问40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1) 售出 40 台空调器的总利润.2) 售出 60 台时,前 30 台与后 30 台的平均利润各为多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_40解 1）L 40 25002前 30 台平均利润为x dx409980可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_130300 250x dx4052498可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后 30 台平均利润为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1603030 250x dx4072488可编辑资料 - - - 欢迎下载