2022年高等数学教案偏导数.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -§8 2偏导数一、偏导数的定义及其运算法对于二元函数 z fx y 假如只有自变量x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是 x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数z fx y对于 x 的偏导数定义设函数 z fx y在点x0 y0的某一邻域内有定义当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量x 时 相应的函数有增量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如极限fx0x y0fx0 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limx0f x0x, y0 xf x0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在 就称此极限为函数z fx y在点x0 y0处对 x 的偏导数 记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zx x0x y y0fx x0x yy0zx x x0y y0或 f xx0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：fx x0, y0 limx 0f x0x, y0xf x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的 函数 z fx y在点x0 y0处对 y 的偏导数定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limy0f x0, y0yfyx0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y y0记作z x x y0fyx x0y y0zy x x0y y0或 fyx0 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导函数 假如函数 z fx y在区域 D 内每一点 x y处对 x 的偏导数都存在那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 z fx y对自变量 x 的偏导函数 记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zfzx 或xxfxx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导函数的定义式fxx, ylimx0f xx, yxf x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的 可定义函数 z fx y对 y 的偏导函数记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z fzy 或yyf y x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导函数的定义式fy x, ylimy 0f x, yyf yx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求f时只要把 y 临时看作常量而对x 求导数求xf时只要把 x 临时看作常y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量而对 y 求导数争论以下求偏导数的方法是否正确？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x0 , y0fxx, y x x0y y0f yx0 , y0 f y x, y x x0y y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x0 , y0 df x, y0 dxx x0fy x0, y0 df x0 , y y ydy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导数的概念仍可推广到二元以上的函数例如三元函数 u fx y z在点x y z处对 x的偏导数定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x, y, zlimx0f xx, y, zxf x, y, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中x y z是函数u fx y z的定义域的内点它们的求法也仍然是一元函数的微分法问题例 1 求 z x23xyy2 在点12处的偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解z2x3y xz3x2 y yz x 12 13 28xy 2z x 13 12 27yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 求 z x2sin 2y 的偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解z2xsin 2y xz2x2 cos2y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 设 zx y x0,x1 求证xzyx1ln xz2z y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证zyxy 1xzx y ln x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xz1z yxln xyx yxy 1y1ln xx y ln xx yx y2z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 求 rx2y2z2 的偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解rxxrxx2y2z2ryyyx2y2z2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 已知抱负气体的状态方程为pV=RTR 为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证p V证由于 pVT1TpRTpRTVVV 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_VRTVRpTpTpVTVRpR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以pVTVTpRTR V V 2pRRT1pV可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数 z fx y在点x0 y0的偏导数的几何意义fxx0 y0 fx y0x 是截线 zfx y0在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率fyx0 y0fx0 y y 是截线 z fx0 y在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续 例如xyx2y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, yx2y20x2y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点0 0有 fx000 fy0 00但函数在点 0 0并不连续提示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, 0f x0, 00f 0, y0d f x, 00f y0, 0d f0,y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdy当点 Px y沿 x 轴趋于点 0 0时 有limf x, ylimf x, 0lim 00x, y0,0x0x022当点 Px y沿直线 ykx 趋于点 0 0时有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limxylimkx2k2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x, yy0,0 xykxx0 xk x1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此limf x, y 不存在故函数 fx y在0 0处不连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,y0,0类似的 可定义函数 z fx y对 y 的偏导函数记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zfzy 或yyf y x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导函数的定义式二 高阶偏导数fy x, ylimy0f x, yyf yx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 z fx y在区域 D 内具有偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zfxx, y xzf y x, y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么在 D 内 fxx y、fyx y都是 x y 的函数 假如这两个函数的偏导数也存在就称它们是函数 z fx y的二偏导数 根据对变量求导次序的为同有以下四个二阶偏导数假如函数 z fx y在区域 D 内的偏导数 fxx y、fyx y也具有偏导数 就它们的偏导数称为函数zfx y的二阶偏导数根据对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2zzf x, yz2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x xx2xxy xx yf xyx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 2zz2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyyxf yx x, yy y2f yyx, yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中z2 z ,z2z称为混合偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yxx yf xy x yxyy xf yxx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z2 zz2 zz2 zz2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x xx2y xx yxyy xy yy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 6 设 z x3y23xy3xy1 求2 z 、3z 、z 和2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x3y xx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解z3x2 y2 x3y3yz2x3 y y9xy2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2z6xy2 x22z2z6y2 x3322z22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6xy9 y1x y6x y9 y1y x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由例 6 观看到的问题2 z2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y xx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理假如函数 z fx y的两个二阶混合偏导数z 及2 z在区域 D 内连续 那么在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似的可定义二元以上函数的高阶偏导数y xxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 验证函数 zlnx2y2 满意方程zz022x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 由于 zlnx2y21 ln x22y2 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zxxx2y2zyyx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2zx2y2 x 2xy2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 x2y22x2y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 z x2y2 y 2 yx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2x2y2 2x2y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此2 zx22 zx2y2x2y2 y22y2 x22x0y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8证明函数u1 满意方程2urx22u2uy2z20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 r证u xx2y21rr 2xz21xxr 2rr 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2u1x2r 3同理2u y23xrr 4x13y2r3r 513x2r 3r 52u1z2r 33z2 r 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此2u2ux2y233 x2y2r 3r 52u1z2r 3z2 3r 33x21r 5 r 33r 2r 503 y21r 5 r 33z2 r 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示2u x2x xr 3r 3xxr 6r 3r 3x3r 2r xr 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
