二元函数的连续性 (3)课件.ppt

关于二元函数的连续性 (3)现在学习的是第1页，共27页一、二元函数的连续性概念 连续性的定义.D 0,0,0(;)PU PD 若只要, 就有0|( )()|,(1)f Pf P 则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 0P下, 也称 f 在点 连续. 0P若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 2RD 定义1 设 f 为定义在点集上的二元函数, 0P现在学习的是第2页，共27页由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 0P0P00lim( )().(2)PPP Df Pf P 0P f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 0P如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元0P函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或 0P称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5 0()f P0P是 f 的可去间断点. 时,现在学习的是第3页，共27页给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数改为222, ( ,)( ,)|,0 ,( ,),( ,)(0, 0),1xyx yx yymx xxyf x ymx ym上，这时由于2( ,)(0,0)lim( ,)(0,0),1x yymxmf x yfm 其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 ymx现在学习的是第4页，共27页22, ( , )(0,0),( , )(0)0,( , )(0,0),xx yf x yxyx y 在坐标原点的连续性22( cos , sin )(cos )0,f rrrr( , )(0,0)lim( , )0(0,0),x yf x yf因此 此时 f 在原点连因此 f 在原点沿着直线 是连续的ymx例1 讨论函数 解 由于当 20r 且且时时, ,现在学习的是第5页，共27页( , )(0,0)2,lim( , )x yf x y 时时续; 而当 不存在， 此时f 在原点间断 全增量与偏增量 00000(,)( ,),P xyP x yDxxxyyy 、设0000(,)( ,)(,)zf xyf x yf xy 称称0000(,)(,)f xx yyf xy 量形式来描述连续性, 即当为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 0P现在学习的是第6页，共27页(,)(0,0)( ,)lim0 xyx yDz 时, f 在点 连续. 0P00,xy 或或如果在全增量中取 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和. 现在学习的是第7页，共27页若一个偏增量的极限为零, 如 000lim(,)0,xxf xy0yy 0( ,)f x y则表示当固定 时, 作为 x 的函数, 它 在 x0 连续. 同理, 000lim(,)0,yyf xy若若 则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 连续时, 00(,)xy0( ,)f x y0(,)f xy在 x0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数固定 时， 0(,)f xy在 y0 连续. 0 xx现在学习的是第8页，共27页10,( ,)00 xyf x yxy ，在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 2R( , )Df x yxy 上上分分别别对对和和对对都都连续试证在下列条件之一满足时， ( , )f x yD在在上上处处连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 0,L 12( ,),( ,),x yx yD 恒有恒有使得对任何 现在学习的是第9页，共27页1212( ,)( ,);f x yf x yL yy (ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y) 是一致的, 即 00,0,0 (,xx 只只与与有有关关0),|,( , ),yxxx yD 而而与与无无关关当当且且时时 对对一一切切0( , )(, ).yf x yf xy 恒恒有有(iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明). 证(i)0000(,).( ,),xyDf x yx 因因在在连连续续 故故任任给给1010,|,xx 当当时时 有有0, 现在学习的是第10页，共27页000( ,)(,)2;f x yf xy 又当 02|2,yyL 时时 满满足足00( , )( ,)|2.f x yf x yL yy 12min, 令令则则当当000( , )(,)( , )( ,)f x yf xyf x yf x y 000( ,)(,)22,f x yf xy ( , )x yD 且且00|,|xxyy,时 又有时 又有现在学习的是第11页，共27页.D在上处处连续在上处处连续0000(,).(,),fxyxyf即即在在连连续续 由由的的任任意意性性 便便知知(ii)0000(,).(, ),0,xyDf xyy 因因在在连连续续 故故1010,|,yy 当当时时 有有000|(, )(,)|2;f xyf xy 又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的, 故 20, 使使02|,( , ),yyx yD 当当且且时时 有有0|( , )(, )|2.f x yf xy 现在学习的是第12页，共27页1200min,|,|xxyy 令令则则当当( , ),x yD 且时 又有且时 又有000( , )(,)( , )(, )f x yf xyf x yf xy000(, )(,)22,f xyf xy 这就证得 .fD在在上上处处处处连连续续 连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性现在学习的是第13页，共27页复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习. 定理16.7 (复合函数的连续性) 设函数( ,)ux y 和 义, 并在点 Q0 连续, 其中 000000(,),(,).uxyvxy 则复合函数 ( ,)( ,),( ,)g x yfx yx y 在点 P0 也 连续. 证 由 f 在点 Q0 连续可知：0,0, 使得当 ( ,)vx y 在点 的某邻域内有定义, 并在 000(,)P xy点 连续; f (u, v) 在点 000(,)Q u v0P的某邻域内有定现在学习的是第14页，共27页00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |uuvv 时, 有又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 0,0, 使得当00|,|xxyy时, 有000|( , )(,)|,uuu vuv 000|( , )(,)|.vvu vuv 0000|( ,)(,)|( , )(,)|.g x yg xyf u vf uv 00|,|xxyy 综合起来, 当 时, 便有所以 ( ( ,),( ,)fx yx y 在点 连续. 000(,)P xy现在学习的是第15页，共27页二、有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元 函数 f 在有界闭域2RD 上连续, 则 f 在 D上有界, 且能取得最大值与最小值. |()|,1, 2,.(3)nf Pnn 证 先证明 f 在 D 上有界. 倘若不然, 则 +N ,n 存 ,nPD 使得 在 现在学习的是第16页，共27页nPD nP于是得到一个有界点列 , 且能使中有无 穷多个不同的点. 由聚点定理的推论,nP 存在收敛 knP0limknkPP 0.PD 子列,设. 因 D 是闭域, 从而 又因 f 在 D上连续, 当然在点 也连续, 于是有0P0lim()().knkf Pf P 这与不等式 (3) 矛盾，所以 f 是 D上的有界函数. 下面证明 f 在 D 上能取到最大、小值. 为此设 inf(),sup().mf DMf DQD ()f QM 可证必有一点, 使(同理可证存在 现在学习的是第17页，共27页QD ()f Qm PD , 使). 如若不然, 对任意, 都 有()0Mf P . 考察 D 上的正值连续函数 1( ),( )F PMf P 由前面的证明知道, F 在 D上有界. 又因 f 不能在 D 上达到上确界 M, 所以存在收敛点列nPD , 使 lim()nnf PM lim()nnF P . 于是有, 这导致与 F 在 D 上有界的结论相矛盾, 从而证得 f 在 D 上能取 到最大值.现在学习的是第18页，共27页定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域 2RD 0, 上连续, 则 f 在 D 上一致连续. 即存 0, (,)P Q 在只依赖于 的 使得对一切满足证 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的 理来证明. 这里我们采用后一种证法. 方法, 运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定 倘若 f 在 D 上连续而不一致连续, 则存在某00, 0, 1,1, 2,n n 对于任意小的例如 , 总有 ,P QD |()()|.f Pf Q 必有 的点现在学习的是第19页，共27页nnPQD 、(,)1nnP Qn 相应的 , 虽然, 但是 0|()()|.nnf Pf Q 由于 D 为有界闭域, 因此存在收敛子列,knnPP 0limknkPPDnQknP并设 . 再在中取出与下 标相同的子列,knQ 则因0(,)10,kknnkPQnk 有0limlimkknnkkQPP . 最后, 由f在 P0 连续, 得 现在学习的是第20页，共27页00lim |()()|()()|0.kknnkf Pf Qf Pf Q 0|()()|0kknnf Pf Q 这与相矛盾, 所以 f 在 D 上一致连续. 定理16.10(介值性定理) 设函数f在区域2RD 上连续, 若P1 , P2 为 D 中任意两点, 且12()(),f Pf P 则对任何满足不等式12()()(4)f Pf P 证 作辅助函数0PD 0().f P 的实数 , 必存在点, 使得 现在学习的是第21页，共27页( )( ),.F Pf PPD 易见 F 仍在 D 上连续, 且由(4)式知道1()0,F P 2()0.F P 0PD 0()0.F P 下面证明必存在, 使 1P2PDxyO图 16 -18 现在学习的是第22页，共27页由于 D 为区域, 我们可以用有限段都在 D 中的折线 连结 P1 和 P2 (如图 16-18). 若有某一个连接点所对应的函数值为 0, 则定理得 证. 否则从一端开始逐段检查, 必定存在某直线段, 使得 F 在它两端的函数值异号. 不失一般性, 设连结P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直线段含于 D, 其方程为 121121(),01.(),xxt xxtyyt yy 现在学习的是第23页，共27页在此直线段上, F 变为关于 t 的复合函数：121121( )(),(), 01.G tF xt xxyt yyt 由于 G 为 0, 1 上的一元连续函数, 且 12()(0)0(1)(),F PGGF P 因此由一元函数根的存在定理, 在 (0, 1) 内存在一点 0,t0( )0G t 使得. 记0102101021(),(),xxtxxyytyy 则有000(,)P xyD , 使得000()( )0,().F PG tf P 即即现在学习的是第24页，共27页有连通性的. 界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理 中所考察的点集 D 只能假设是一区域, 这是为了保 证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具 续函数, 则 f (D) 必定是一个区间 (有限或无限). 注2 由定理16. 10 又可知道, 若 f 为区域 D 上的连例3 ( , ) , , f x ya bc d设设在在上上连连续续, , 又又有有函函数数序序( ) , ,kxa b 列列在在上上一一致致收收敛敛 且且注1 定理16. 8 与 16. 9 中的有界闭域 D 可以改为有 现在学习的是第25页，共27页( ), , ,1, 2,.kcxdxa bk ( )( ,( ) , .kkFxf xxa b 试试证证在在上上也也一一致致收收敛敛证 由定理16. 9 知道 , , fa bc d 在在上上一一致致连连续续. .0,0, , , , ,xa by yc d 于于是是, ,当当且且|,yy 时时 总总有有|( ,)( ,)|.f x yf x y , ,0,ka bKn mK 又又在在上上一一致致收收敛敛 故故当当, , ,|( )( )|;nmxa bxx 时时 对对一一切切有有故故又又有有|( )( )|( ,( )( ,( )|.nmnmFxFxf xxf xx 现在学习的是第26页，共27页感谢大家观看现在学习的是第27页，共27页