二面角的平面角求法综合课件.ppt

现在学习的是第1页，共39页二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习：复习：现在学习的是第2页，共39页(1)(1)定义法定义法直接在二面角的棱上取一点（直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角到平面角. .二面角的求法二面角的求法现在学习的是第3页，共39页(2)(2)三垂线法三垂线法利用三垂线定理或逆定利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角形求角理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小的大小. .现在学习的是第4页，共39页(3)(3)垂面法垂面法通过做二面角的棱的垂面通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角，两条交线所成的角即为平面角. .现在学习的是第5页，共39页ABDO( (4)4)射影面积法射影面积法若多边形的面积是若多边形的面积是S，它在一，它在一个平面上的射影图形面积是个平面上的射影图形面积是S，则二面角，则二面角 的大小为的大小为COS S SCE现在学习的是第6页，共39页2、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？探究准备：探究准备：答：相等或互补m互补互补相等相等m现在学习的是第7页，共39页1、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂直垂直圆所在的平面，圆所在的平面，C是圆上任一点，是圆上任一点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是2、已知、已知P为二面角为二面角 内一内一点，且点，且P到两个半平面的距离都等到两个半平面的距离都等于于P到棱的距离的一半，则这个二到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60二面角现在学习的是第8页，共39页例例1.如图，已知如图，已知P是二面角是二面角-AB-棱上一点，过棱上一点，过P分别在分别在、内引射线内引射线PM、PN，且，且MPN=60 BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。，求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a， DO=a， PC a ， PD a22又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角现在学习的是第9页，共39页例例2如图如图P为二面角为二面角内一点，内一点，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。 过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点PA PA PB PB 平面PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPO二面角现在学习的是第10页，共39页OABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例3如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABC的顶点的顶点P在底面在底面ABC上的射影是底面上的射影是底面RtABC斜边斜边AC的中点的中点O，若，若PB=AB=1，BC= ，求二面角，求二面角P-AB-C的正切值的正切值。2PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PE21OEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP二面角现在学习的是第11页，共39页练习练习1：已知已知RtABC在平面在平面内，斜边内，斜边AB在在30的二的二面角面角-AB-的棱的棱上，若上，若AC=5，BC=12，求点，求点C到平面到平面的距离的距离CO。ACBOD练习练习2：在平面四边形：在平面四边形ABCD中，中，AB=BC=2，AD=CD= , B=120；将三角形；将三角形ABC沿四边形沿四边形ABCD的对角线的对角线AC折起来，使折起来，使DB= ，求，求AB C所在所在平面与平面与ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。所在平面所成二面角的平面角的度数。157ABCBDO二面角现在学习的是第12页，共39页2探究一：试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD现在学习的是第13页，共39页分析分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图： SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD;于是SB= = a又BC= a ， SB=BC; E为SC的中点，BESC 又DESC 故SC平面BDE可得BDSC 又BDSA BD平面SAC CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = = a 在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ， CDE=900-SCA=600 解毕。22ABSA2222BCAB 222aa 3ACSA33议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？ 请各小组讨论交流一下。SECABD现在学习的是第14页，共39页探究二：试一试例二：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。 求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求要求：1、各人思考；2、小组讨论； 3、小组交流展示；4、总结。现在学习的是第15页，共39页A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB, 又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故DBA=600, P=ABP=300, DBP=900,即PBDB； 又因为是直棱柱，DD1 PB, PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 显然BD=AD=DD1, DBD1=450。即为所求. 解毕。解法一：解法一：现在学习的是第16页，共39页A1D1C1B1FADCBPE解法二：解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线； 因为是直棱柱，所以AA1 底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EFPB, AEF即为二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰APB, P=300， RtAPB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为2）又AF= 1, AEF=450，即为所求。思考思考：这种解法同解法一有什么异同？现在学习的是第17页，共39页解法三：解法三：法向量法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， ，0） F（-1， ，1） =（-2，0 ，1） =（1， ，-2）显然， 就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量 =(x0,y0,z0)。则 且 2x0+ 0y0-z0=0且x0+ y0-2z0=0令x0=1可得z0= 2 , y0= ,即 =（ 1， ，2）设所求二面角的平面角为，则COS = ,所以所求二面角大小为450解毕A1D1C1B1ABCDxyz3333F11DDuDDu221DDBFBD1uuFBuBD1u33现在学习的是第18页，共39页解法四：解法四：A1D1C1B1FCBDA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ， BFD1在底面上的射影三角形就是ABD,故由射影面积关系可得COS= ABDB1 （是所求二面角的平面角）以下求面积略。点评：这种解法叫做“射影面积法” 在选择和填空题中有时候用起来会很好现在学习的是第19页，共39页1111111,.ABCDABC DBACB例1、如图 在正方体中 求二面角 的平面角的正切值1D1C1B1ADCBAE111:,ACEB E BE解 取的中点 ，连接1111111111111,ABBCB EACBEACB EBBACB同理为二面角的平面角11111111111tan2arctan2BBBBACBBB EB EBB EBACB面二面角的平面角为第一步:作第二步:证(指出)第三步:求注:定义法求二面角.现在学习的是第20页，共39页00260 ,30 ,10?(0.1)CDABm例 、河堤斜面与水平面所成的二面角为堤面上有一条直道它与堤脚的水平线的夹角为沿这条直道从堤脚向上行走时人升高了多少精确到米CFDGEB0300000:,10 ,.,.,.,60 .13sin60sin30 sin60102.5 34.3( ).22:CDECEmEABEGGEGEFABFFGFGABEFGABGEFGEGEFCEm解 取上一点设过点 作直线所在的水平面的垂线垂足为则线段的长就是所求的高度在河堤斜面内 作垂足为并连结由三垂线定理的逆定理 可知因此就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角由此得答 沿直道行走104.3 .mm到时人升高约 三垂线法三垂线法现在学习的是第21页，共39页003,45 ,30 ,.AMNMNAPAPMNPAMMN例 、如图点 在锐二面角的棱上 在面 内引射线使与所成的角与面 所成的角大小为求二面角的大小:,;,;.,.PCMNCPBBCACPCBMN解 作垂足为过点 作 的垂线交 于连结、由三垂线定理可知即为二面角的平面角NMAPCB2232,2221,222.4PAaABa ACaaPBPCa BCABACaPCB设则 三垂线法三垂线法:9.6.2.:ACCD类型题 学案阅读要求与检测提示 证明BACDP现在学习的是第22页，共39页4,例 、自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线求证它们所成的角与这个二面角的平面角互补.aONMP:,OMNOM ONOMNPPM PN证明 过点 作面 和面 的垂线垂足分别为、设所确定的平面交棱于点连结00.90 ,180 .OMOMaaONaMONOMONaMPNOMPONPMPNMON 同理面即为二面角的平面角又则点点O在二面角内在二面角内垂面法垂面法现在学习的是第23页，共39页0120,10,.PaPPa变式： 为的二面角内一点到 和 的距离均为 求 到棱 的距离aPNMO():20 3:2sin3OPPMNMNPMNROPMPN另解 正弦定理法为四边形外接圆直径也即外接圆直径在中由正弦定理得现在学习的是第24页，共39页ABESCD5,.SAABC ABBC SAAB SBBC ESCDESCACDEBDC例 、已知平面是的中点交于求二面角的大小SCDB: ESCBESCSCBDEDESCDBBDE解为中点面面00,2 ,2 ,3060 . EDCEBDCSAABaSBBCa BCAB ABSBABCBCSCaSCADESCEDC由二面角的定义知即为二面角的大小设则为在面内的射影,则SC又 SAABCDBSADBABC又面面,DBSACDBAC DBDE面SCSAS现在学习的是第25页，共39页111111(1):1,256,3,2463cos,sin33ABDMDBABDMDBSMDBMDDBDBSSSSS射原法 解 设正方体边长为 则在中由可得利用射影面积公式ABCDA1B1C1D1M1111116,.ABCDABC D MAAMDBABCD例 、已知正方体是的中点 求平面与底面所成锐二面角平面角的正弦值ABCDA1B1C1D1MEN11111(2):,.,.,.1231,2223sin.3MBABEDEDMDB DABCDEMBMDBEABABCDMDBABCDDEAANDEDENMNMAABCDMNDEMNAMAANMNMAMNAMN法解 延长、交于点连结面面且面面面面过点 作交于连结面根据三垂线定理即为两平面夹角设正方体边长为 则现在学习的是第26页，共39页M例例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，侧面中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边是公共的斜边，且，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角，另一个侧面是正三角形，求二面角形，求二面角BACD的大小的大小.ABCD3N现在学习的是第27页，共39页 现在学习的是第28页，共39页PEDACBD1A1C1B1F例例2.正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为1，P是是AD的中点的中点,求二面角求二面角ABD1P的大小的大小.现在学习的是第29页，共39页例例3、(高考题高考题)ABC中，中，ABBC，SA 平面平面ABC，DE垂直平分垂直平分SC，又又SAAB，SBBC,（1）求证：）求证：SC 平面平面BDE, （2）求二面角求二面角EBDC的大小的大小?SABCED现在学习的是第30页，共39页SABCED现在学习的是第31页，共39页ABDCA1B1D1C1在在正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，求二面角求二面角D1ACD的大小？的大小？O现在学习的是第32页，共39页总一总总一总：求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什么问题？请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。现在学习的是第33页，共39页二面角的几种主要常用的求法：1 1、垂面法、垂面法。见例一和例二的解法一；2 2、三垂线法。、三垂线法。见例二的解法二；见例二的解法二；3 3、射影面积法。、射影面积法。见例二的解法三；4 4、法向量夹角法。、法向量夹角法。见例二的解法四。 其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。现在学习的是第34页，共39页 这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：1、合理建系合理建系。本着“左右对称左右对称 就地取材就地取材”的建系原则。2、视图取角视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。点点 评评现在学习的是第35页，共39页2试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：现在学习的是第36页，共39页规范训练一规范训练一1、（本小题为2007年山东高考试卷理科19题）如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，已知：DC=DC1=2AD=2AB,ADDC, AB/DC （）设E是DC的中点，求证：D1E /平面A1BD ；（）求二面角 A1-BD-C1余弦值。现在学习的是第37页，共39页规范训练二：规范训练二：2、（本小题为2008年山东高考理科试卷20题）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA 平面 ABCD , ABC =600 ， E、F分别是BC、PC 的中点（）证明：AEPD ；（）若 H为 PD上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角E-AF-C 的余弦值26现在学习的是第38页，共39页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第39页，共39页