勾股定理的证明比较全的证明方法.ppt

关于勾股定理的证明比较全的证明方法现在学习的是第1页，共12页 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法出现关于勾股定理的新证法1 1传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德的证法任总统茄菲尔德的证法3 3刘徽的证法刘徽的证法勾股定理的证明勾股定理的证明5 5其他证法其他证法现在学习的是第2页，共12页 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理有什么它与勾股定理有什么关系吗？关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：成的：一个直角三角形以及分别以它的每一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形边为一边向外所作的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理个图形验证了勾股定理 现在学习的是第3页，共12页 关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前是欧几里得（公元前300年左右）所著的年左右）所著的几何原本几何原本第一卷中第一卷中的命题的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和正方形之和”其证明是用面积来进行的其证明是用面积来进行的传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在已知：如图，以在RtABC中，中，ACB=90，分别以，分别以a、b、c为边为边向外作正方形向外作正方形 求证：求证：a2 +b2=c2现在学习的是第4页，共12页 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即平行线等高（即平行线AK和和BH间的距离），间的距离）， S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADC ABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG ， 也就是也就是 a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法证明：从证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形（如图），作的三边向外各作一个正方形（如图），作CNDE交交AB于于M，那么正方形那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB返回由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行线即平行线AD和和CN间的距离间的距离)，现在学习的是第5页，共12页 我国对勾股定理的证明采取的是割补法，我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的勾勾股圆方图注股圆方图注在这篇短文中，赵爽画了一在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的张他所谓的“弦图弦图”，其中每一个直角三角，其中每一个直角三角形称为形称为“朱实朱实”，中间的一个正方形称为，中间的一个正方形称为“中黄实中黄实”，以弦为边的大正方形叫，以弦为边的大正方形叫“弦弦实实”，所以，如果以，所以，如果以a、b、c分别表示勾、分别表示勾、股、弦之长，股、弦之长，那么：那么： 赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法224()2abcba 得：得： c2 =a2+ b2返回现在学习的是第6页，共12页 刘徽在刘徽在九章算术九章算术中对勾股定理的证明：勾自中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方形为朱方，正方形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使，使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁，裁下下HGF，移至，移至IEF，是为，是为“出入相出入相补，各从其类补，各从其类”，其余不动，则形成弦方，其余不动，则形成弦方正方形正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽的证法刘徽的证法返回现在学习的是第7页，共12页学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：的事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是是5呀呀”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直如果两条直角边分别为角边分别为5和和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中先生，你能说出其中的道理吗？的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理现在学习的是第8页，共12页美国第二十任总美国第二十任总统伽菲尔德统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回现在学习的是第9页，共12页向常春的证明方法向常春的证明方法2111()()222ABCDSabbabaab 梯梯形形22211()22111222EBCAECDABCDSSScab bcabb 四四边边形形梯梯形形2221111122222aabcabb 222:abc 从从而而得得到到 注注:这一方法是向常春于这一方法是向常春于1994年年3月月20日构想发现的新法日构想发现的新法abcba-bADCBEc现在学习的是第10页，共12页 我们用拼图的方法来说明勾我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的股定理是正确的试试 一一 试试证明证明:上面的大正方形的面积为：上面的大正方形的面积为： 下面大的正方形的面积为：下面大的正方形的面积为： 从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即2142cab22142abab222222114422cabcbabcab现在学习的是第11页，共12页感谢大家观看感谢大家观看9/2/2022现在学习的是第12页，共12页