曲线积分与曲面积分习题答案.pdf
第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第三节第三节 Green Green 公式及其应用公式及其应用1利用 Green 公式，计算下列曲线积分：22(1)xy dy x ydx，其中L为正向圆周x y 9；L22解：由 Green 公式，得22223xy dy x ydx (x y )dxdy 2dr dr LD002381，2其中D为x y 9。(2)(e y)dx (xe 2y)dy，其中L为以O(0,0), A(1,2)及B(1,0)为顶点的三角形负向边界；L22yy解：由 Green 公式，得yyyy(e y)dx(xe 2y)dy (e e 1)dxdy dxdy 1。 LDD22*(3) x ydx xy dy，其中L为x y 6x的上半圆周从点A(6,0)到点O(0,0)及x y 3x的上半圆L2222周从点O(0,0)到点B(3,0)连成的弧AOB；uu u r解：连直线段 AB，使 L 与BA围成的区域为 D，由 Green 公式，得x ydx xy dy (y x )dxdy LD2222uuu rBAx ydx xy dy 2d0226cos3cosr3dr 0152415435643 cosd3 304442264*(4)Lydx xdy22，其中L为正向圆周x (y 1) 4.22x yx2 y2PQ222解：因为，(x, y) (0,0)。作足够小的圆周l:x y r,取逆时针方向，记L与l围成222yx(x y )的闭区域为D，由 Green 公式，得ydx xdy 0，故22 x yLlydx xdyydx xdyydx xdy 22222蜒? x yx yrLll20r sinr cosd 2r222222计算下列对坐标的曲线积分：ex(12cos y)dx 2exsin ydy，其中L为曲线y sin x上由点A(,0)到点O(0,0)的一段弧；L解：P ex(12cos y),Q 2exsin y，Py 2exsin y Qx，故积分与路径无关，取A(,0)经 x 轴到点O(0,0)的一条路径， 从而原式=ex(12cos y)dx2exsin ydy AO0exdx e1。*3设函数f (u)具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L，有Lf (xy)(ydx xdy) 0.证证 明明 ：PyQx f (xy) xyf (xy)， 记L围 成 的 闭 区 域 为D,由GreenLf (xy)(ydx xdy) 0dxdy 0.D第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分1填空题：(1) 设为球面x2 y2 z21，则dS 4；(2) 面密度(x, y,z) 3的光滑曲面的质量M 3dS .2计算下列对面积的曲面积分：(1)(2x y 2z)dS，其中为平面x y z 1在第一卦限的部分；解：Dxy(x, y)| x y 1,x 0, y 0，z 1 x y，dS 3dxdy原式=(2x y2(1 x y) 3dxdy 311xD0dx0(2 y)dyxy31315 30(2 x2x2)dx 6(2) zdS，其中为z 12(x2 y2) (z 1)的部分；解：D| x2 y2xy(x, y) 2(r,)|0 r 2,0 2，公 式 ， 得dS 1 x2 y2dxdy原式 *(3)解： 2121222232(x y ) 1 x y dxdy dr1r dr0022Dxy2203(r21)1 1r2dr23/220(1r )2 1r2dr22(6 3 1)15dS，其中为x y z 1,x 0, y 0,z 0围成四面体的整个边界.2(1 x y)1234， 其中1: z 1 x y,Dxy:x y 1,dS 3dxdy，2:x 0,Dyz: y z 1,dS dzdy，: y 0,Dzx: x z 1,dS dxdz，34:z 0,Dxy:x y 1,dS dxdy。原式1dS(1 x y)22343dxdydydzdxdzdxdy(1 y)2D(1 x)2D(1 x y)2(1 x y)2DDxyyzzxxy11x001dydy(1 x y)20(1 y)2 ( 3 1)dx1y0dz 1xdxdz0(1 x)201111 y11 ( 3 1)()dx2dy201 x02(1 y) ( 3 1)ln2332第七节第七节 Stokes Stokes 公式公式 * *环流量与旋度环流量与旋度1利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：23(1)x y dx dy zdz，为xOy面内圆周x y a逆时针方向；222解：取为平面z 0的下侧被围成的部分，D 为在xOy面上的投影区域。 由 Stokes 公式，得dydzdzdxdxdy原式=xx2y3(2)(y z )dx (z x )dy (x y )dz，为平面x y z 1在第一卦限部分三角形的边界， 从x轴正y13x2y2dxdy 3x2y2dxdy a6z8Dz222222向看去是逆时针方向；r111,)。 由 Stokes 公式，得解：取为平面z 0的上侧被围成的部分，的单位法向量n (333cos原式=xy2 z2 cosyz2 x21cos3dS zxx2 y2y2 z213yz2 x213dSzx2 y244(x y z)dS dS 233第十一章第十一章综合练习题综合练习题1填空题：x2y21，其周长为a，则(2xy 3x2 4y2)ds (1)已知L为椭圆L43 12a；(2)已知L为直线x 1上从点(1,2)到点(1,3)的直线段，则L5sin xtan ydx x3dy 1；(3)设L是以点(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形正向边界，则(4)曲线积分xyL2dx 2xydy 0；xyF(x, y)(ydx xdy)与路径无关，则可微函数F(x, y)应满足条件xF yF；L*(5)设为平面x y z 1在第一卦限的部分，取上侧，则222222(y z )dydz 2(z x )dzdx3(x y )dxdy 0 .2求下列曲线积分：22222(1)x ds，其中为球面x y z a被平面x y z 0所截得的圆周；解：在的方程中，由于 x, y, z 循环对称，故x2dS y2dS z2dS，于是a211232222x dS (x y z )dS a dS g2a a33332*(2)xdy ydxL4x2 y2，其中L是以(1,0)为圆心，2为半径的正向圆周；y24x2PQ222l :4x y 解：，。作足够小的椭圆，取顺时针方向，由格林公式，(x, y) (0,0)222yx(4x y )得Llxdy ydx 0。224x y2所以2xdy ydxxdy ydxxdy ydx 蜒L4x2 y2l4x2 y2? l2022d*3在过点O(0,0)和A(,0)的曲线族y asin x(a 0)中，求一条曲线L，使该曲线从O到A积分L(1 y3)dx (2x y)dy的值最小.解：令I(a) I(a) (1 y )dx(2x y)dy，则L2343331a sin x(2xasin x)acosxdx 4aa。03所以I(a) 4(a 1) 0所以得驻点a 1。又I(1)8 0，故I(a)在a 1取得最小值，从而L为y sin x(0 x )。*4 设 曲 线 积 分2xydx y(x)dy与 路 径 无 关 ,其 中具 有 连 续 的 导 数 ,且(0) 0, 计 算L(1,1)(0,0)xy2dx y(x)dy.PQ 2xy， y(x)，由于积分xy2dx y(x)dy与路径无关，yxLPQ22，即2xy y(x)，从而(x) x c。 由(0) 0，知c 0，所以(x) x。 于是yx解：所以(1)(1,1)(0,0)xy2dx y(x)dy ydy 011。25 计算下列曲面积分：222x y1介于z 0与z 2之间的部分；，其中为圆柱面x dS解：在的方程中，由于 x 与 y 循环对称，故22x dS ydS，于是2x dS 1122(x y )dS dS 222，其中为下半球面z 1 x2 y2的上侧；*(2)xdydz (z 1)2dxdyx2 y2 z2解：设平面和:1z 0,(x, y)D (x, y)| x2 y21，取下侧。1围成的下半球体为。由格林公式得：xdydz(z 1)2dxdyx2 y2 z2xdydz(z 1) dxdy121 (32z)dydxdyDxdydz(z 1)2dxdyxdydz(z 1) dxdy22 22drdr00210 1rzdz 2近三年考研真题近三年考研真题2222（2013 年）1. 设L1: x y 1,L2: x y 2,L3: x22y2 2,L4:2x2 y2 2为四条逆时针方向的平面曲线，y3x3记Ii(y)dx(2x)dy(i 1,2,3,4)，则maxI1,I2,I3,I4（）63Li（A）I1 (B)I2 (C)I3（D）I4（2012 年）2. 设(x, y,z)| x y z 1,x 0,y 0,z 0，则y ds 2（2011 年）3. 设 L 是柱面方程x y 1与平面z x y的交线，从z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则22y2曲线积分xzdx xdydz 2L（2011 年）4. 已知 L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周x y 2x到点（2，0） ，再沿圆周x y 4到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分J 3x ydx(x x2y)dy。L222223近三年考研真题解析近三年考研真题解析（2013 年）1. 解析： 由格林公式：y3x3y22Ii(y)dx(2x)dy (1 x )dxdy632LiDiy2D1 D4，在D4内1 x 0，因此I1 I4。22y2y2y222I2(1 x )dxdy (1 x )dxdy(1 x )dxdy222D2D4D2D42y2 0，因此I2 I4。而在在D4外1 x 22可得I3 I4。 （利用极坐标分别计算出I3和I4）（2012 年）2. 解析： 由曲面积分的计算公式可知：y2ds y21(1)2(1)2dxdy 3y2dxdy，DD其中D (x, y)| x 0, y 0,x y 1，11y1故原式=30dy0y2dx 3y2(1 y)dy 03。12（2011 年）3. 解析：由斯托克斯公式得：y2xzdx xdydz 2Lydydz xdzdxdxdy(1 x y)dxdy(1 x y)dxdyDxyd2(cossin)d0021（2011 年）4. 解析： 设圆x y 2x为C1,圆x y 4为C2，所补的直线L1为x 0(0 y 2)，由格林公式得：原式2222LL13x2ydx(x3 x2y)dy 3x2ydx(x3 x2y)dyL10(3x213x2)dxdy (2y)dy D211SC1SC4 44222
