概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布.ppt
2.4 连续型随机变量及其概率密度,2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数,2.4. 常见的连续型随机变量,2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数,定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f(x) 使得,其中 F(x) 是它的分布函数,则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度,分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义,p.d.f. f ( x )的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数,在 f ( x ) 的连续点处，,对于连续型随机变量，还要指出两点：,（1）F(x)是连续函数;,（2）PX=a=0（a为任意实数）.,因此，对于连续型随机变量，有,例1 设随机变量 具有概率密度函数 试确定常数A， 以及 的分布函数.,解:由,知A=3，即,而 的分布函数为,AB 的距离为X , 求X 的分布函数，概率密度函数 f (x).,当 时,使EF 与AB间的距离为x,于是,2.4.2.1 均匀分布,(a ,b)上的均匀分布,记作,2.4.2 常见的连续型随机变量,若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间,其中,X 的分布函数为,即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,若随机变量在区间(a,b)内等可能的取值，则,应用场合:,例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.,解 由题设知随机误差 X 等可能地取得区间 上的任一值，则,所以,2.4.2.2 指数分布,若X 的密度函数为,则称X 服从参数为的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,对于任意的 0 < a < b,应用场合:,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似,若 X (),则,所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,例4,令：B= 等待时间为10-20分钟 ,例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生 故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布, 求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 (2) 求设备已经无故障运行小时的情况下，再 无故障运行 10 小时的概率.,解 (1),即,1. 定义 若X的概率密度为,分布函数为：,其中,(0)为常数，则称X服从参数为,的正态分布或高斯（Gauss）分布。记作 X N（,2）,2.4.2.3 正态分布,f (x) 的性质：,(1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x),在 x = 时, f (x) 取得最大值,或对于任意的x 0有,P-xX = PX+x,显然， x离越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的区间，X 落在离越远的区间内， 概率越小。,(2),(3),曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,(4) 拐点：(，f(); 水平渐近线：ox 轴。,(5),f(x)的两个参数：,(6) 固定，改变值，曲线 f(x)形状不变，仅沿x轴平移。可见确定曲线 f(x)的位置 。,(7) 固定, 改变值, 则愈小时, f(x)图形的形状愈陡峭, X 落在附近的概率越大。, 位置参数, 形状参数,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度。,应用场合:,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的 影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布.,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差； 人的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：, 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布, 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的, 正态分布可以作为许多分布的近似分布,正态分布的重要性:,标准正态分布 XN(0,1),即当= 0，=1时的正态分布。,密度函数：,分布函数：,3.,4.,1.,2.,设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解:,例6,求 P ( X < 0 ).,解1:,解二 图解法,0.2,由图,例 3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,在一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间的可能性很小,由3 原理知，,当,0,=1.645,=2.575,= -1.645,= -2.575,标准正态分布的上 分位数z,1. 已知XN(3,22),且 PXC=PXC 则C=（ ),2. 设XN(，42),YN(，52), 记 p1=PX-4，p2=PY+5则( ) 对任意实数，都有p1=p2 对任意实数，都有p1p2,3,课堂练习,f(x),x,0,P(X),P(X),设XN(，2),则随的增大， 概率P|X-|< （ ） 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定,设 X N（10，0.0004),（2.5）=0.9938， 则X落在区间（9.95，10.05）内的概率为( ). 设X N（2，2),且P2<X<4=0.3, 则 PX<0 =( ).,0.9876,0.2,设测量的误差 XN(7.5,100)(单 位：米),问要进行多少次独立测 量,才能使至少有一次误差的绝对 值不超过10米的概率大于0.9 ?,解:,设A表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝 对值不超过10米,所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,课堂练习,
