基本不等式(优质课).ppt

第三章不等式,1.熟练掌握基本不等式并会证明. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.,问题导学,题型探究,归纳总结,学习目标,该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,问题导学1：,a,b,1、正方形ABCD的面积 S=,、四个直角三角形的 面积和 S =,、S与S有怎样的不等关系？,SS,那么它们有相等的情况吗？,(ab),猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(ab),思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,适用范围：,a,bR,替换后得到：,即：,即：,问题一,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,分析法,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式定义,适用范围：,a0,b0,观察下图，你能得到不等式,的几何解释吗？,问题导学2：,当且仅当a=b时取等号.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,比较重要不等式和基本不等式：,题型一基本不等式与最值,二、题型探究,一正,二定,三相等,二定 凑项：使和成定值,一正,三相等,解x2，x20，,二定 凑项：使积成定值,一正,三相等,即x4，y12时，上式取等号. 故当x4，y12时，(xy)min16.,“1”的代换,反思与感悟,在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.,口诀：一正、二定、三相等,f(x)的最小值为12.,解x<3，x3<0.,f(x)的最大值为1.,题型二基本不等式在实际问题中的应用 例2(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy100，篱笆的长为2(xy) m.,等号当且仅当xy时成立，此时xy10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.,(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.,当且仅当xy，即xy9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.,利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.,反思与感悟,练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解设水池底面一边的长度为x m，,又设水池总造价为y元，根据题意，,答水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元.,归纳总结基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是 ； (2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 ； (3)等号成立的条件是否满足.,正数,定值,定值,大家来找茬：错在哪里？,不满足“一正”,不满足“二定”,不满足“三相等”,三、归纳总结：,2. 利用基本不等式求最值,1. 两个不等式,口诀：一正、二定、三相等,