基本函数定律与高阶导数.ppt

一、基本导数公式 二、高阶导数,第三节 基本函数公式与高阶导数,一、基本函数公式,基本初等函数公式,基本求导法则,()线性法则: 为常数;,其中 表示复合函数fu(x)对x求导, 表示函数f(u)对u求导,然后代入u=u(x).,()链式法则:,()商法则:,()积法则:,()反函数法则: 其中y=f(x)为 的反函数.,二、高阶导数,一般地,如果函数y=f(x)的导函数 在点x处可导,则称导函数 在点x的导数为函数f(x)的二阶导数,记为,或,或,或,类似的,定义y=f(x)的二阶导数 的导数为三阶导数,记为,或,或,或,如果函数y=f(x)的n1阶导数存在且可导,则称y的n1阶导数的导数为y=f(x)的n阶导数,记为,或,或,或,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.如果函数y=f(x)的n阶导数存在,则称y=f(x)为n阶导数.,n阶导数(n=1,2,)在点x0处的值记为,或,或,或,例3.16 设y=(asin x+bcos x)ex,其中a,b为常数.试证:,证 因为,所以,例3.17 求下列函数的n阶导数:,(1)y=ax (a0,a1); (2)y=sin x; (3)y=ln(1+x).,解 (1),一般地,有,y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n, n=1,2,特别地,a=e时,有,(ex)(n)=ex,n=1,2,一般地,有,一般地,有,其中,按规定 0！=1.,