复变函数柯西定律.ppt

学习要点,熟练掌握高阶导数公式,熟练掌握柯西积分公式,第三章 复变函数的积分,3.2 柯西公式,一、柯西积分公式,1. 问题的提出,1) 被积函数在C上连续，积分I必然存在；,因此，I的值只与f(z)在z0点附近的值有关。,根据闭路变形原理知, 得,现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。,2. 柯西公式,定理1 (柯西公式),C是D的正向边界，我们称它为柯西公式。,证明：,证毕,2、公式给出了解析函数的一个积分表达式.,3、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,注解,(这是解析函数的又一特征),1、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。,例1 求下列积分,例2,例1 求下列积分,解,由柯西积分公式,解,例2,由闭路复合定理, 得,例3,例4,练习,计算下列积分,定理2,二、高阶导数公式,根据导数的定义,要证明,从柯西积分公式得,证明：,再利用以上方法求极限,证毕,至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证,例5,例6,高阶导数公式提供了计算某些复变函数 沿闭路积分的一种方法.,解,例5,根据复合闭路定理,解,由柯西定理得,由柯西积分公式得,例6,三、一些结论,1. 柯西不等式,柯西不等式,注：解析函数的导数模的估计与区域的大小 有关；,2. 刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数.,3. 莫勒拉定理,整函数：在整个复平面解析的函数,2. 刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数.,证明：,由柯西不等式,小结,它表述了: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示。,柯西积分公式是复积分理论中的重要公式,并且解析区域内每一点的所有的导数也可通过积分公式计算。,若函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数，并且各阶导数均是D内的解析函数,所以函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异,注意区分解析函数的导数与实函数的导数的不同,练习,答案,