大学高等数学函数.ppt
高等数学,微积分,姓 名：张智勇 地 点：四教西305室 E-mail : ,自我介绍,课程名称：微积分 学 分：4 学分 学 时：64 学时（1周-16周）,课程介绍,课程内容：1. 函数、极限与连续 2. 导数与微分 3. 中值定理与导数应用 4. 不定积分 5. 定积分及其应用,1. 期末总评成绩的计算 期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。 平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。 2. 考勤 不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。 3. 作业 要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹 潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取 消该次成绩。 4. 答疑 时间： 地点：四教西305,考核及要求,课程特点与学习方法,方法: 1. 课前预习 2.重点听讲 3. 简记笔记 4. 整理咀嚼 5. 后作练习 6. 答疑,特点：1. 课堂大 2. 时间长 3. 进度快,第一章 函 数,函数的概念及基本特性预备知识,1、数的扩张：,3、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,半开区间：,4、邻域,记作,去心邻域：,定义域：数集D叫做这个函数的定义域,值 域：函数值全体组成的数集, 即,函数概念,大体分为以下几种： a)偶次方根号 b)分式的分母 c)对数的真数 d)三角函数（正切余切）和反三角函数， e)以上情况的复合等,(1)、函数的定义域 1.数学角度：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值, 这种定义域称为函数的自然定义域.,2.实际应用 时间，高度，热度等等,几个特殊的函数举例,(2) 符号函数,可以证明：对于任何实数 x, 下列关系成立:,(3) 取整函数,阶梯曲线,设 x 为任一实数, 不超过x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作 x. 即 y = x = n, n x < n + 1, n = 0, 1, 2, ,可以证明：对于任何实数x, 有不等式 x x < x + 1.,其定义域为D( f )(,+), 值域为Z( f )Z.,（4）分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,注意：,(1) 分段函数的定义域是其各段定义域的并集；,(2) 分段函数在其整个定义域上是一个函数, 而不 是几个函数.,1、函数的奇偶性,偶函数,二.函数的基本特性,例 判断下列函数的奇偶性：,2、函数的周期性,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期或基本周期）.,说明：,（1）周期函数的图形在每一个周期长度的区间上有相同的形状；,（2）并非每个周期函数都有基本周期.,例如，函数 f(x) = C是周期函数，但它没有基本周期；,例：设函数 f (x) 是周期为T 的周期函数，试求函 数 f (ax+b) 的周期，其中a，b为常数，且 a 0.,3、函数的单调性,有界,无界,4、函数的有界性,设 f (x)在集合D内有定义, 若存在正数M, 使得对每一个 , 都有 成立, 则称函数 f (x)在D内有界, 或称 f ( x)是D内的有界函数; 否则, 称 f (x)在D内无界,或称 f (x)是D内的无界函数.,设 f (x)在集合D内有定义, 若存在数A(或B), 使得对每一个 , 都有 (或 )成立, 则称函数 f (x)在D内有上界(或有下界), 也称函数 f (x)是D内有上界(或有下界)的函数.,例如, 函数 y = sin x在(,+)内有界, 而函数 y = x2在 (,+)内有下界但无上界,故 y = x2 在 (,+)内是无界函数.不过 y = x2 在1,1上是有界函数.,结论： 函数 f (x)在D内有界的充要条件是函数 f (x)在D内既有上界又有下界;,复合函数与反函数,一、复合函数,例 讨论下列各组函数可否复合成复合函数, 若可以, 求出复合函数及其定义域.,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数复合构成.,2、函数值以及函数表达式的求法,例 设 , 求 .,解：,例 设 , 求 .,二、 反函数,设函数 f (x) 的定义域为D( f )，值域为Z( f )，若对每一个yZ( f ) ，都有唯一确定的xD( f )与之对应且满足y = f (x)，则x是定义在Z( f )上以y为自变量的函数， 记作 x = f 1( y )， y Z( f ) ， 并称其为反函数. 习惯上记作,说明.(1)原函数与反函数的图形关于直线y = x 对称；,(2)函数y = f ( x )具有反函数充要条件它是一一对应的； 严格单调函数必有反函数.反函数是相互的且具有唯一性.,(3) 定义域、值域相反对应法则互逆.,(4) 反函数的求法,三、函数的运算,的下列运算：,函数的和（差）,函数的积,函数的商,1.常值函数(constant functions ),基本初等函数与初等函数,一、基本初等函数,2.幂函数(power functions ),幂函数,3. 指数函数(exponential function),正弦函数,四、三角函数与反三角函数,1. 三角函数,余弦函数,正切函数,余切函数,2. 反三角函数,四、初等函数,常值函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.,2.分段函数一定不是初等函数吗？,解答,不一定,1.初等函数的结构分析,
