锐角三角函数知识点总结与复习(22页).doc

-锐角三角函数知识点总结与复习-第 21 页锐角三角函数知识点总结与复习直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 对边邻边斜边ACB2、 如下图，在RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为(A可换成B)：定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) (倒数)余切(A为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001不存在不存在10 6、正弦、余弦的增减性： 当0°90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义 例1 在RtABC中，ACB90°，BC1，AB2，则下列结论正确的是 ( )Asin A Btan A CcosB Dtan B 分析 sinA，tan A，cos B故选D. 例2 在ABC中，C90°，cosA,则tan A等于 ； 分析 在RtABC中，设AC3k，AB5k，则BC4k，由定义可知tan A分析 在RtABC中，BC3，sin A故填例3（12·哈尔滨）在RtABC中，C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=.例4（2012内江）如图4所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ；CBA图4CBA图4D【解析】欲求sinA，需先寻找A所在的直角三角形，而图形中A所在的ABC并不是直角三角形，所以需要作高观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CDAB，于是有sinA例5 ( 2012宁波)，RtABC,C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为 ；【解析】cosB=，又AB=6BC=4例622题图（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30= ；（2）如图，已知tanA=，其中A为锐角，试求ctanA的值【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30。（2）由tanA=，为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值【解析】（1）设BC=1, =30AB=2由勾股定理得：AC=ctan30=(2) tanA=设BC=3 AC=4ctanA=例7（2012山东滨州）把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A不变B缩小为原来的C扩大为原来的3倍D不能确定【解析】因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变【答案】选A例8（2012湖南）观察下列等式sin30°= cos60°=sin45°= cos=45°=sin60°= cos30°=根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°a）=解析：根据可得出规律，即sin2a+sin2（90°a）=1，继而可得出答案答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°30°）=1；sin245°+sin2（90°45°）=1；sin260°+sin2（90°60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°a）=1故答案为：1点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪 组ABCDEFF【解析】对于，可由公式AB=BC×tanACB求出A、B两点间的距离；对于，可设AB的长为x，则BC=，BD=，BD-BC=CD，可解出AB对于，易知DEFDBA，则，可求出AB的长；对于无法求得，故有、三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 【解析】 要求tanAPD的值，只要将APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可【答案】作BMCD，DNAB垂足分别为M、N，则BM=DM=，易得：DN=，设PM=x，则PD=-x，由DNPBMP，得：，即，PN=x，由DN2+PN2=PD2，得：+x2=(-x)2，解得：x1=，x2=（舍去），tanAPD=2例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于 分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解解答：解：连接BDE、F分別是AB、AD的中点BD=2EF=4BC=5，CD=3BCD是直角三角形tanC= 例12（2011山东日照）在RtABC中，C=90°，把A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA=则下列关系式中不成立的是（）AtanAcotA=1BsinA=tanAcosA CcosA=cotAsinADtan2A+cot2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义，得A、tanAcotA=1，关系式成立；B、sinA=，tanAcosA=，关系式成立；C、cosA=，cotAsinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）21，关系式不成立故选D点评：本题考查了同角三角函数的关系（1）平方关系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanAcosA（3）正切之间的关系：tanAtanB=1例13（2011贵港）如图所示，在ABC中，C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tanCAD的值是 解答：解：AD是BC边上的中线，BD=4，CD=BD=4，在RtACD中，AC=2，tanCAD=2故选A例14（2011烟台）如果ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）A. ABC是直角三角形 B. ABC是等腰三角形C. ABC是等腰直角三角形D. ABC是锐角三角形解：sinA=cosB=，A=B=45°，ABC是等腰直角三角形故选C例15（2011四川）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）A、B、C、D、解答：故选D同步练习1（2011甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为 ABCCB解答：解：过C点作CDAB，垂足为D根据旋转性质可知，B=B在RtBCD中，tanB= CD：BD= ，tanB=tanB= 2 （2011甘肃兰州）点M（sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是 解：sin60°= ，cos60°= ，点M（，）点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P（m，-n），M关于x轴的对称点的坐标是（，）故选B3（2011广东）已知：45°A90°，则下列各式成立的是（）A、sinA=cosAB、sinAcosAC、sinAtanAD、sinAcosA解答：解：45°A90°，根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当A45°时，sinAcosA，故选：B4、（2011宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，C=90°，tanBAC=，则边BC的长为 cm解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tanBAC=，又AC=30cm，tanBAC=，则BC=ACtanBAC=30×=10cm故选C5、 （2011福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tanAFE的值为 解答：解：四边形ABCD是矩形，A=B=D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：EFC=B=90°，CF=BC=5，AFE+DFC=90°，DFC+FCD=90°，DCF=AFE，在RtDCF中，CF=5，CD=4，DF=3，tanAFE=tanDCF= = 6、（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是 【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1直角三角形ABF中，tanFAB=+1=tan67.5°.选B。7、（2012福州）如图15，已知ABC，AB=AC=1，A=36°，ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）解析：由已知条件，可知BDC、ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证BDCABC，则有，设BC=x，则DC=1-x，因此，解方程得，（不合题意，舍去），即AD=；又cosA=答案：8、（2012南京）如图，将45°的AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合.OB与尺上沿的交点B在尺上的读书恰为2厘米，若按相同的方式将37°的AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 厘米.（结果精确到0.1厘米，参考数据sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）解析：由于AOB=45°，B点读书为2厘米，则直尺的宽为2厘米，解直角三角形得点C的读数为2÷tan3702÷2.7厘米.答案：9、（2012·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中A=D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据1.414 ）（2） 求ACD的余弦值.ACBD【解答】（1）结AC，AB=BC=15千米，B=90°，BAC=ACB=45°，AC=15千米. 又D=90°，AD=12（千米）周长=AB+BC+CD+DA=30+3+1255（千米）.面积=SABC+SADC=×15×15+×12×3=+18157（平方千米）.（2）cosACD=.10、（2012甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角减至，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2 ，已知d1=4米，楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到0.01米。参考数据：tan40°=0.839，tan36°）第22题图d2解析：根据在RtACB中，AB=d1tan1=4tan40°，在RtADB中，AB=d2tan2=d2tan36°，即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度解：由题意可知可得，ACB=1，ADB=2在RtACB中，AB=d1tan1=4tan40°，在RtADB中，AB=d2tan2=d2tan36°，得4tan40°=d2tan36°，d2=4.616，d2-d10.62，答：楼梯占用地板的长度增加了0.62米11、（2012贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，CAB=54°，CBA=30°，求隧道AB的长（参考数据：sin54°0.81，cos54°0.59，tan54°1.38，1.73，精确到个位）解析：首先过点C作CDAB于D，然后在RtBCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在RtACD中，利用CAB的正切求得AD的长，继而求得答案答案：解：过点C作CDAB于DBC=200m，CBA=30°，在RtBCD中，CD=BC=100m，BD=BCcos30°=200×=100173（m），CAB=54°，在RtACD中，AD=74（m），AB=AD+BD=173+74=247（m）答：隧道AB的长为247m12、 （2011新疆建设兵团）如图，在ABC中，A90°（1）用尺规作图的方法，作出ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形AB1C1（保留作图痕迹）；（2）若AB3，BC5，求tanAB1C1 解答：解：（1）作CAB的平分线，在平分线上截取AB1AB，作C1AAB1，在AC1上截取AC1AC，如图所示即是所求（2）AB3，BC5，AC4，AB13，AC14，tanAB1C1 专题2 特殊角的三角函数值 例1（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=_【答案】1 例2（2012陕西）计算：【解析】原式【答案】 例3(2012广安)计算：cos45o+ ；解析： = 例4 计算|3|2cos 45°(1)0 解：原式32×12 例5 计算(1)2007cos 60° 解：原式3(1)312 例6 计算|(cos 60°tan 30°)0 解：原式1十231 例7 计算(3.14)0|1tan 60°|.解：原式811210. 例8（2012呼和浩特）计算：【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】例9（2011天水）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°= 分析：根据特殊角的三角函数值计算tanAtan（90°A）=1解答：解：原式=+1+=2故答案为2例10（2011莱芜）若a=3tan60°，则= 。解答：解：a=3tan60°=3，原式=故答案为：练习1、（2011浙江）计算：|1|（5）0+4cos45°. 【解】原式=1×21+4×=练习2、（2011浙江衢州）（1）计算：|2|（3）0+2cos45°；解答：解：（1）原式=，=；练习3、计算：201102sin45°；原式121；练习3、观察下列各式：sin 59°sin 28°；0cos1(是锐角)；tan 30°tan 60°tan 90°；tan 44°1其中成立的有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个练习3、C提示：sin 59°sin 28°成立，0cos1(是锐角)成立，tan 30°tan 60°tan 90°，tan 44°tan 45°，即tan 44°1 练习4、计算2sin 30°tan 60°tan 45° 练习5、如图28146所示，在ABC中，A30°，tanB，BC，则AB的长为 练习6、当xsin 60°时，代数式·的值是 练习7、已知cos 59°240.509，则sin 30°36 练习8、若A，B互余，且tan Atan B2，则tan2Atan2B 练习9、如图28147所示，在菱形ABCD中，AEBC于E，EC1，cosB，则这个菱形的面积是 .10已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D落在DC延长线上的点D处，则BAD的正弦值为 .11如图28148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 12在ABC中，B30°，tan C2，AB2，则BC 13设为锐角，且x23x2sin0的两根之差为则 14如图28149所示，在ABC中，C90°，点D在BC边上，BD4，ADBC， cosADC (1)求DC的长；(2)求sinB的值练习4、2 提示：2sin 30°tan 60°tan 45°2×12. 练习5、3 提示：过点C作CDAB，垂足为D，在RtBDC中，tan B，BD3CD，BC，CD2(3CD)2()2，CD1，BD3在RtADC中，tan A，AD，ABADBD3. 练习6、提示：·2x，原式2sin 60° 练习7、0.509提示：sin 30°36cos 59°24 练习8、6提示：A，B互余，tan A·tan B1，tan2Atan2B(tan Atan B)22tan A·tan B2226 练习9、提示：cos B，设BE5x，则AB13x，AE12xABBCBECE，13x5x1，x，则AE12x12×，BC5x15×1，S× 10提示:如图28155所示，根据题意得DD2DC，设正方形的边长为x，则ADx，DD2xADD90°，根据勾股定理得ADxADx，sinADD.ABDD，BADADD，sinBAD 1130°提示：如图28156所示，SABCDS矩形BEFC，且BCBC(底相同)， GCFCCFDC，GCDC，DGC90°，sin 30°，CDG30°，即这个平行四边形的一个最小内角为30° 12 1330°提示：x1·x22sin，x1x23，则(x1x2)2(x1x2)24x1x298sin()2，sin，30° 14解：(1)cosADC，设CD3x，则AD5x，AC4x，BCAD5xBDBCCD，5x3x4，x2，CD3x6 (2)AC4x8，BC5x10，AB，sin B 专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角。例1、（2012湖北襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为 m图5CDABOEAOBEDCF【解析】如下图，过点A作AFCD于F，则AFBD12m，FDAB1.6m再由OECF可知CAOE60°所以，在RtACF中，CF4，那么CDCFFD(41.6)m例2、（2012珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：）第24题图【解析】如图,根据题意,得COD90°, ACO45°, BCO30°, AB2,求CO.设CO为x米, 根据AOCO,列方程,解得即可.【答案】解:设CO为x米在RtBCO中,tan30°,则BO在RtACO中,AOCO,得方程2x解得x5.答: CO长大约是5米.例3、（2012江苏盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为450 ：如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300 .求小华的眼睛到地面的距离。（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）.【答案】设AC=BD=x，在RtACA1中，AA1C=450，AA1=x，在RtDBB1中，BB1=，又BB1-AA1=,即×-x=，解得：x=1.4（米）例4、（2012山西）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端AB的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端AB的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）【解析】解：过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90°，四边形ABFE为矩形AB=EF，AE=BF由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米2分在RtAEC中，C=60°，AE=100米CE=（米） 4分在RtBFD中，BDF=45°，BF=100DF=100（米）6分AB=EF=CD+DFCE=500+100600×1.7360057.67542.3（米） 8分答：岛屿两端AB的距离为542.3米 例5、（2012呼和浩特22）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为，在A处测得D点的仰角为。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。【答案】解：过点A作AMCD于M在RtBCD中，tan=CD=BC·tan=m tan在RtAMD中，tan=DM=AM·tan=m tanAB=CDDM=m(tantan)例6、（2012湖北随州，20）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（，结果精确到米）。解析：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米，可建立关于h1、h2的方程组，解这个方程组求得两山峰高度。答案：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意，有（米）（米）答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米。题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。2、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。 如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。例1、（2011山东省潍坊）轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 海里解答： BC=50×0.5=25海里；根据方位角知识得，BCD=30°，=75°30°；CB=BCD+ACD=30°+60°=90°；A=CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里例2、（2012年四川德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°°方向航行小时到达B处，那么tanABP=A. B.2 C. D. 【解析】如图6所示，根据题意可知APB=90°且AP=20, PB=60×=40. 所以tanABP=例3、（2012连云港）已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km。一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后到达C 处。现测得C处位于观测点北偏东79.8°方向。求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1km）.(参考数据：sin53.2°0.80，cos53.2°0.60，sin79.8°0.98，cos79.8°0.18，tan26.6°0.50，1.41，2.24)【解析】过点B作AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用RtABH和RtBCH求线段AH、CH的长，利用AHCH确定AC的长。【答案】BC=40×=10.在RtADB中，sinDAB=。所以AB=20.如图，过点B作BHAC，交AC的延长线于H。在RtAHB中，BAH=DACDAB=63.6°37°=26.6°，tanBAH=,0.5=2CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8，在RtAHB中， BH2CH2=BC 2，CH=所以AC=AHCH=82613.4k.例4、（2012四川攀枝花）如图6，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值）【答案】作CDAB于D，设BD=x，BCD=30°，CD=x，因为CAD=45°，AD=CD=x，AB=xx，依据题意，xx=0.5，x=，答：再航行小时，离渔船C的距离最近。例5、（第22题图）APCB°°（2012山东东营）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°，tan36.9°，sin67.5°，tan67.5°）【解析】过点P作PCAB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答【答案】过点P作PCAB，垂足为C，设PC=x海里在RtAPC中，tanA=，AC=在RtPCB中，tanB=，BC=ACBC=AB=21×5，解得.，（海里）向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里例6、（2012山东省青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）求教学楼AB的高度；学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.（参考数据：sin22°，cos22°，tan22° ）【答案】解：过点E作EMAB，垂足为M.设AB为x.RtABF中，AFB=45°，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+13在RtAEM中，AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22°= ，=，x=12.即教学楼的高12m.AME中，cos22°=，即之间的距离约为题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值，即是坡角的正切值应用举例：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。例1、(2012广安)如图2，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是 m图2解：tanBAC=，BAC=30°,sinBAC=, sinBAC=,AB=2BC=100m例2、小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD10米求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）来%&源#:中教网（第20题图）【解析】连结PA、PB，过点P作PMAD于点M；延长BC，交PM于点N则APM=45°，BPM=60°，NM=10米1分设PM=米在RtPMA中，AM=PM×tanAPM=tan45°（米）3分在RtPNB中，BN=PN×tanBPM=(10)tan60°(10)（米）5分来源:中国#教育%出版网由AM+BN=46米，得 +(10) 466分解得， ，点P到AD的距离为米（结果分母有理化为米也可）8分【答案】（结果分母有理化为米也可）例3、（2012湖北）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡 （第12题）ABC3018的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是 cm【解析】如图，过点B作BDAC于D，依题意可求得AD60cm，BD54cm；由斜坡BC的坡度i1：5，求得CD270cm，故ACCDAD27060210（cm）例4、（2012浙江省绍兴，19）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，按坡角BAC为32°.（1）求一楼与二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每少上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480，tan32°=0.6249.【解析】（1）在RtABC中，已知BAC=32°，斜边AB，根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度BC（2）先计算1级电梯的高，再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度【答案】解：（1）sinBAC=，BC=AB×sin32°×8.74米. （2）tan32°= 级高级宽 ，级高=级宽×tan32°×0.6249=0.156225，10秒钟电梯上升了20级，小明上升的高度为：20×0.156225米.例5、（2012浙江丽水，19）学校校园内有一小山坡，经测量，坡角ABC=30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3（即为CD与BC的长度之比），A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.【解析】：AD=AC-CD=6-2.答：开挖后小山坡下降的高度AD为（6-2）米.例6、（2012深圳）小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 米图3-1【解答】：如图31，根据坡角易求树的下半部分的高为2米，树的上半部分所在直角三角形的水平距离为米，由两个直