实对称矩阵的对角化.ppt

第三节,实对称矩阵的对角化,2,并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.,为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。,3,定义,两个n维向量,向量的内积具有如下基本特性：,证略.,一、向量的内积, 正交和长度,4,向量长度的性质:,由定义可知,定义,例1,证,5,二、正交向量组和正交矩阵,定义,显然零向量与任何向量都正交。,n维基本单位向量组 是两两正交的。,显然有,6,例2,解,即得所求向量为,7,定义,则称之为正交向量组。,定理,正交向量组必线性无关。,证,8,施密特正交化方法,证略。,9,例3,解,用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：,10,例4,解,将向量组,标准正交化.,11,再单位化,12,例5,解,它的基础解系为,再正交化，,13,定义,正交矩阵,正交矩阵的性质：,证,14,Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交向量组,证明,定理,15,是单位正交向量组,16,Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,(3) Q的行向量是两两正交的单位向量.,(4) Q的列向量是两两正交的单位向量.,17,例6 判别下列矩阵是否为正交矩阵,解,(1),不是正交矩阵,18,(2),所以它是正交矩阵,19,练习,验证矩阵,是正交矩阵.,P 每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。,20,实对称矩阵的特征值都是实数.,三、实对称矩阵的相似对角化,定理,并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.,证,证略.,实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.,定理,只证两个特征向量的情况.,21,定理,证略.,具体计算步骤如下：,(1) 求出实对称矩阵A的全部特征值；,(2) 若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；,若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；,(3) 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P。,22,例7,解,再单位化,23,于是所求正交阵为,使,24,例8,解,特征向量,25,特征向量,26,再单位化,拼起来得,使,27,解,例9 设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为,(1) 求属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵A.,矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有,由于实对称,即解齐次线性方程组,其系数矩阵为,28,属于特征值3的特征向量为,(2),所以,29,备选例题,30,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,31,解之得基础解系,解之得基础解系,32,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,33,34,35,36,于是得正交阵,37,38,