对面积的曲面积分.ppt

第四节 对面积的曲面积分,概念的引入,对面积的曲面积分的定义,对面积的曲面积分的计算法,第一类曲面积分,引例: 设光滑曲面形构件有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 近似代替, 求和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,一、概念的引入,1. 定义,函数 f(x, y, z)在上,任意取定的点,并作和,如果当各小块曲面的直径,这和式的极限存在,则,的最大值,二、对面积的曲面积分的定义,第i 小块曲面的面积),作乘积,设曲面是光滑的,同时也表示,有界.,把 任意分成n小块,或,记为,即,如曲面是,曲面面积元素,被积函数,则积分号写成,积分曲面,称,极限为函数,对面积的曲面积分,第一类曲面积分.,闭曲面,2. 对面积的曲面积分的性质,3. 对面积的曲面积分的几何意义,表示空间曲面的面积.,表示以曲面为顶,它在坐标面的投影为底的曲顶柱体的体积.,4.对面积的曲面积分的物理意义,表示面密度为连续函数,的质量M:,其质心坐标为:,则,按照曲面的不同投影方向分为以下三类：,化为二重积分计算.,(1),三、对面积的曲面积分的计算法,则,则,(2),(3),2、确定投影域并写出,并算出曲面面积元素dS.,3、将曲面方程代入被积函数,计算面积的曲面积分的解题步骤：,1、应根据,化为二,曲面选好投影面.,曲面的显函数形式,重积分进行计算.,例,解,投影域:,所截得的部分.,故,二重积分的对称性,设分片光滑的,x的奇函数,x的偶函数,其中,则,曲面关于yOz面对称,解,依对称性知,例,抛物面,有,?,被积函数,为第一卦限部分曲面.,积分曲面,例,所围成的空间立体的表面.,解,投影域,例,所围成的空间立体的表面.,对称性,(左右两片投影相同),将投影域选在,分成左、右两片,对称性,计算,其中为球面,之位于平面,曲面的方程,在xOy面上的投影域,解,练习,上方的部分.,因曲面,于是,x3是x的奇函数，,x2y是y的奇函数.,关于yOz面及xOz面对称;,解,积分曲面,在xOy面上的投影域,练习,积分曲面,例,解,积分曲面方程,轮序对称,提示,即三个变量轮换位置方程不变.,具有,轮换对称性,中的变量x、y、z,