数值分析A_作业3_2011210287_李国轩_13-11-2013(4页).doc

-数值分析A_作业3_2011210287_李国轩_13-11-2013-第 4 页数值分析A-第3次作业李国轩，机研113，2011210287，13.11.201311. 用列主元消去法求解解：由已知可得到增广矩阵为消去运算第一步。选为第一次消去的主元，交换第1，2行，得到同时可以得到做消去运算可以得到消去运算第二步。此时，选主元为，再交换第2，3行，同时有做消去运算可以得到回代运算。通过回代可以得到解为12. 设 ，经过一步Gauss消去得到，其中试证明：(1) 若A对称正定，则A2也对称正定。(2) 若A严格对角占优，则A2也严格对角占优。（1）证明：由已知，A对称，则，如对A进行一步高斯消去，有因此有同时有可见有，因此A2的对称性成立。A对称正定，因此有,若对A2进行n-1步高斯消元运算，它变为下面的形式于是A2的各顺序主子式，因此A2是正定的。综上所述，A2是对称正定矩阵。原题得证。（2）证明：由已知，A严格对角占优，于是有而同时那么因此可见A2也是严格的对角占优阵。13. 用平方根法解解：矩阵A是对称正定矩阵，且有，。因此于是，其中于是可以容易得到又，且其中于是可以容易得到16. 求下面两个方程组的解，并利用条件数估计 ，与实际的 比较。解：通过高斯消元法解两个方程，第一个方程对应的增广矩阵为高斯消元，得到求得第二个方程对应的增广矩阵为类似进行高斯消元，得到求得由于同时而，于是而由求得的方程可知实际的18. 给出定理3.2和定理3.3的证明。证明：（1）由已知的条件同时根据条件数的定义可知（2）A为正交矩阵，则，同时根据条件数的定义（3）U为正交矩阵，于是，又有，因此由矩阵相似的定义可知，与相似，根据矩阵相似的性质，它们具有相同的特征值另一方面于是，原题得证。（4）由定义，同时。而于是此外，如果A对称则，至此，原定理3.2整个得证。证明：由已知于是左侧得证。于是右侧得证，因此原题得证。