直线与平面垂直的判定(典型课程软件).ppt
2.3.1直线与平面垂直的判定,生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？,实例引入,旗杆与底面垂直,思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.,1.旗杆所在的直线始终与 影子所在的直线垂直.,2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线,如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，,记作 ,平面 的垂线,垂足,定义,直线与平面垂直,线面垂直的定义常这样使用,简记：线面垂直，则线线垂直,如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？,不一定,两条呢？,无数条呢？,问题,直线与平面垂直,除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？,准备一块三角形纸片,过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.,思考 (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？,BD,CD都在桌面内， ADCD,ADBD, BDCD=D， 直线AD所在的直线与桌面垂直,判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,直线与平面垂直判定定理,简记为：线线垂直 线面垂直,例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.,已知：a/b，a 求证: b ,证明：设m是内的任意一条直线,可作定理使用,如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？,底面四边形 对角线相互垂直,探究,随堂练习,线面垂直判定定理的应用,例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中， ABAC，DBDC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE， 求证：BC平面 AED.,图 1,证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点， AEBC，DEBC. 又AE DE =E，BC平面AED.,2.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC,证明：PA O 所在平面，,BCO 所在平面，PA BC， AB 为O 直径， ACBC， 又 PA ACA， BC平面 PAC，,又 AE平面 PAC，BCAE，,AEPC, PCBCC，AE平面 PBC.,例 3：如图 6，已知 PA O 所在平面，AB 为 O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AEPC 于 E，求证：AE平面 PBC. 图 6,V,A,B,C,提示：找AC中点D,连接VD,BD,2. 已知：正方体中，AC是面对角线，BD是与AC 异面的体对角线.求证：ACBD,正方体ABCD-ABCD DD正方形ABCD DDAC,证明：连接BD,AC、BD 为对角线ACBD,DDBD=D AC平面DDB 且BD面DDB ACBD,O,P,A,斜线,斜足,线面所成角 （锐角PAO）,射影,关键：过斜线上一点作平面的垂线,线面所成的角,斜线和平面所成的角,1、直线和平面垂直直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面所成的角是0,2、直线与平面所成的角的取值范围是： _,1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: A1C1与面BB1D1D所成的角。,A,D,C,B,45o,2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角,O,求直线和平面所成的角，当直线和平面斜交时， 常有以下步骤： 作作出或找到斜线与射影所成的角； 证论证所作或找到的角为所求的角； 算常用解三角形的方法求角； 结论说明斜线和平面所成的角值,图 5,1.如图 5，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， ABBC2， AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( ),A,答案：D,解析：如图22 ，连接 A1C1 ，则AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角,图 22,(1)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ） A有且只有一个 B可能存在也可能不存在 C有无数多个 D定不存在 (2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA平面ABCD，则在PAB、 PBC、PCD、PAD、 PAC及PBD中， 为直角三角形有_个,B,课堂练习,5,1直线与平面垂直的概念,（1）利用定义；,（2）利用判定定理,3数学思想方法：转化的思想,知识小结,2直线与平面垂直的判定,垂直与平面内任意一条直线,（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面,4直线与平面所成的角.,P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的射影,(2)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_；,(3)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_；,(4)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则,O 是ABC 的_；,(5)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的_,外心,垂心,内心,垂心,中,(4)如图 25，,图 25,P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PDPEPF.,PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影,分别是 OD、OE、OF.,ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC. O是 ABC 的内心,PO平面 ABC，,OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影,又PA PB，PA PC， PA 平面 PBC. 又BC平面 PBC， PA BC.OABC. 同理可证 OBAC.,O是 ABC 的垂心,(5)如图 26，,图 26,例 1：如图 ，在四面体 PABC 中，若 PA BC， PBAC，,求证：PCAB.,点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在,解(证)题中的作用,
