矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件.ppt

矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件,主讲：刘媛媛,我们知道，矩阵的乘法不满足交换律， 即在一般的情况下，ABBA,这就是说矩阵 乘法AB=BA成立是有条件的。比如，对于n 阶矩阵A,B中任意一个为n阶单位矩E时，矩 阵乘法A=A总是成立的。当A,B为一般 的n阶矩阵时，矩阵乘法AB=BA成立的条件 时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩 阵乘法AB=BA成立的两个充要条件和一个充 分条件。,一 两个充要条件,定理1 若A,B都是n阶可逆矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是 证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取逆矩阵，得,充分性 由已知条件，得,存在且唯一。,由矩阵运算性质，有,于是,又,两端取逆矩阵，即得AB=BA.,定理2 设A,B都是n阶矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是,证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取它们的转置，得,(2),又,故,充分性 又矩阵运算性质,及已知条件,即得,两端分别取它们的转置，,得AB=BA,二 一个充分条件,定理3 若A,B都是n阶可逆矩阵，并且满足关系式,（3）,其中I为n阶单位矩阵， 为任意实数，则AB=BA.,证 当 =0时，（3）式变为A=AB，从而有 结论显然成立。 当 为任意非零实数时，因为已知A,B可逆，所以A- I也是可逆的，由（3）式，得. (4) 根据矩阵运算性质,由（3),（4）两式.可得,又 故 根据上述定理2，知AB=BA. 综上所述，对于任意的实数 ,定理3的结论总是 成立的。,