全等三角形几种类型总结.pdf

第一讲全等三角形与角平分线全等三角形与角平分线中考要求板块板块全等三角形全等三角形的性质及判的性质及判定定考试要求考试要求A级要求级要求会识别全等三角形B级要求级要求C级要求级要求掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会运用全等三角形的性会用全等三角形的性质和判定解决简质和判定解决有关问题单问题知识点睛全等三角形的认识与性质全等图形：全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形：全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边、对应角分别相等如以下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE五边形ABCDE这里符号“表示全等，读作“全等于全等三角形：全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，则这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示：全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“全等三角形的性质：全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线判定三角形全等的根本思路：判定三角形全等的根本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型由全等可得到的相关定理：由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等(等角对等边) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有以下三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题中线中位线相关问题( (涉及中点的问题涉及中点的问题) )见到中线(中点)，我们可以联想的容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的根底，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点：难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重难点例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质【例【例1 1】在在AB、AC上各取一点上各取一点E、D，使，使AE AD，连接，连接BD、CE相交于相交于O再连结再连结AO、BC，假设假设12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由【稳固】如下图，【稳固】如下图，AB AD，BC DC，E、F在在AC上，上，AC与与BD相交于相交于P图中有几对全等三角图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由形？请一一找出来，并简述全等的理由板块二、三角形全等的判定与应用【例【例2 2】( (2008 年市高中阶段教育学校招生考试年市高中阶段教育学校招生考试 ) )如图，如图，ACDE，BCEF，AC DE求证：求证：AF BD【例【例3 3】( (2008 年市年市) )：如图，：如图，AD BC，AC BD，求证：，求证：C D【稳固】如图，【稳固】如图，AC、BD相交于相交于O点，且点，且AC BD，AB CD，求证：，求证：OAOD【例【例4 4】( (市市 2008 年初中升学考试年初中升学考试) )： 如图，如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，四点在同一条直线上，AB DC，BE CF，B C求证：求证：OA OD【例【例5 5】，如图，如图，AB AC，CE AB，BF AC，求证：，求证：BF CE【例【例6 6】E、F分别是正方形分别是正方形ABCD的的BC、CD边上的点，且边上的点，且BE CF求证：求证：AE BF【稳固】【稳固】E、F、G分别是正方形分别是正方形ABCD的的BC、CD、AB边上的点，边上的点，GE EF，GE EF求证：求证：BG CF BC【例【例7 7】在凸五边形中，在凸五边形中，B E，C D，BC DE，M为为CD中点求证：中点求证：AM CD板块三、截长补短类【例【例1 1】 如图，点如图，点M为正三角形为正三角形ABD的边的边AB所在直线上的任意一点所在直线上的任意一点( (点点B除外除外) )，作，作DMN 60，射线射线MN与与DBA外角的平分线交于点外角的平分线交于点N，DM与与MN有怎样的数量关系有怎样的数量关系 【稳固】如图，点【稳固】如图，点M为正方形为正方形ABCD的边的边AB上任意一点，上任意一点，MN DM且与且与ABC外角的平分线交于外角的平分线交于点点N，MD与与MN有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？【例【例2 2】 如图，如图，ADAB，CBAB，DM= =CM= =a，AD= =h，CB= =k，AMD= =75，BMC= =45，则则AB的长为的长为( () )A. .aB. .kC. .k hD. .h2【例【例3 3】 ：如图，：如图，ABCD是正方形，是正方形，FAD= =FAE. . 求证：求证：BE+ +DF= =AE. .【例【例4 4】 如下图，如下图，ABC是边长为是边长为1的正三角形，的正三角形，BDC是顶角为是顶角为120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D为顶点作为顶点作一个一个60的的MDN，点，点M、N分别在分别在AB、AC上，求上，求AMN的周长的周长【例【例5 5】 五边形五边形ABCDE中，中，AB= =AE，BC+ +DE= =CD，ABC+ +AED= =180，求证：，求证：AD平分平分CDE板块四、与角平分线有关的全等问题板块四、与角平分线有关的全等问题【例【例1 1】 如图，如图，ABC的周长是的周长是21，OB，OC分别平分分别平分ABC和和ACB，OD BC于于D，且且OD3，求求ABC的面积的面积AOBDC【例【例2 2】 在在ABC中，中，D为为BC边上的点，边上的点，BAD CAD，BD CD，求证：，求证：AB AC【例【例3 3】ABC中，中，AB AC，BE、CD分别是分别是ABC及及ACB平分线求证：平分线求证：CD BE【例【例4 4】ABC中，中，A 60，BD、CE分别平分分别平分ABC和和ACB，BD、CE交于点交于点O，试判断试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明【例【例5 5】 如图，如图，E是是AC上的一点，又上的一点，又12，3 4求证：求证：ED EB【例【例6 6】 ( (“希望杯竞赛试题“希望杯竞赛试题) )长方形长方形ABCD中，中，AB= =4，BC= =7，BAD的角平分线交的角平分线交BC于点于点E，EFED交交AB于于F，则，则EF=_=_【例【例7 7】 如下图，如下图，ABC中，中，AD平分平分BAC，E、F分别在分别在BD、AD上上DE CD，EF AC求求证：证：EFAB【稳固】如图，在【稳固】如图，在ABC中，中，AD交交BC于点于点D，点，点E是是BC中点，中点，EFAD交交CA的延长线于点的延长线于点F，交交AB于点于点G，假设，假设BG CF，求证：，求证：AD为为BAC的角平分线的角平分线【稳稳固固】在在ABC中中，AB AC，AD是是BAC的的平平分分线线P是是AD上上任任意意一一点点求求证证：AB AC PB PC【例【例8 8】 如图，在如图，在ABC中，中，B 2C，BAC的平分线的平分线AD交交BC与与D求证：求证：AB BD AC【例【例9 9】 如下图，在如下图，在ABC中，中，AC AB，M为为BC的中点，的中点，AD是是BAC的平分线，假设的平分线，假设CF AD1且交且交AD的延长线于的延长线于F，求证，求证MF AC AB2【稳固】【稳固】 如下图，如下图，AD是是ABC中中BAC的外角平分线，的外角平分线，求证求证DEABCD AD于于D，E是是BC的中点，的中点，1且且DE (AB AC)2【稳固】如下图，在【稳固】如下图，在ABC中，中，AD平分平分BAC，AD AB，CM AD于于M，求证，求证AB AC 2AM【例【例1010】如如图，图，ABC中，中，AB AC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，分别为两底角的外角平分线，AD BD于于D，AE CE于于E求证：求证：AD AE【稳固】【稳固】 ：AD和和BE分别是分别是ABC的的CAB和和CBA的外角平分线，的外角平分线，CD AD，CE BE，求证：，求证：1DEAB；DE AB BC CA2【例【例1111】在在ABC中，中，MB、NC分别是三角形的外角分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，的角平分线，AM BM，1AN CN垂足分别是垂足分别是M、N求证：求证：MNBC，MN AB AC BC2【稳固】【稳固】 在在ABC中，中，MB、NC分别是三角形的角分别是三角形的角ABC、ACB的角平分线，的角平分线，AM BM，AN CN1垂足分别是垂足分别是M、N求证：求证：MNBC，MN AB AC BC2【稳固】【稳固】( (市中考模拟题市中考模拟题) )如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC平分平分BAD，过，过C作作CE AB于E，并且，并且AE 1(AB AD)，则，则ABC ADC等于多少？等于多少？2【例【例1212】如如图，图，AD 180，BE平分平分ABC，CE平分平分BCD，点，点E在在AD上上 探讨线段探讨线段AB、CD和和BC之间的等量关系之间的等量关系 探讨线段探讨线段BE与与CE之间的位置关系之间的位置关系版块一、倍长中线1【例【例1 1】 ：ABC中，中，AM是中线求证：是中线求证：AM (AB AC)2【稳固】【稳固】( (2002 年市中考题年市中考题) )在在ABC中，中，AB 5,AC 9，则，则BC边上的中线边上的中线AD的长的取值围是什么？的长的取值围是什么？【例【例2 2】 如图，如图，ABC中，中，ABAC，AD是中线求证：是中线求证：DACDAB【例【例3 3】 如图，如图， 在在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，上一点， 延长延长BE交交AC于于F，AF EF，求证：求证：AC BE【例【例4 4】 ABC，B=C，D，E分别是分别是AB及及AC延长线上的一点，且延长线上的一点，且BD= =CE，连接，连接DE交底交底BC于于G，求证，求证GD= =GE【例【例5 5】AM为为ABC的中线，的中线，AMB，AMC的平分线分别交的平分线分别交AB于于E、交、交AC于于F求证：求证：BE CF EF【例【例6 6】 在在RtABC中，中，A 90，点，点D为为BC的中点，点的中点，点E、F分别为分别为AB、AC上的点，且上的点，且ED FD以线段以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？假设能，该三角形是锐角三角为边能否构成一个三角形？假设能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？形、直角三角形或钝角三角形？【稳固】如下图，在【稳固】如下图，在ABC中，中，D是是BC的中点，的中点，DM垂直于垂直于DN，如果，如果BM2CN2 DM2 DN2，1求证求证AD2AB2 AC24【例【例7 7】 ( (2008年省初中数学联赛复赛初二组年省初中数学联赛复赛初二组) )在在RtABC中，中，F是斜边是斜边AB的中点，的中点，D、E分别在分别在边边CA、CB上，满足上，满足DFE 90假设假设AD 3，BE 4，则线段，则线段DE的长度为的长度为_版块二、中位线的应用1【例【例8 8】AD是是ABC的中线，的中线，F是是AD的中点，的中点，BF的延长线交的延长线交AC于于E求证：求证：AE AC3【例【例9 9】 如下图，在如下图，在ABC中，中，AB AC，延长，延长AB到到D，使，使BD AB，E为为AB的中点，连接的中点，连接CE、CD，求证，求证CD 2EC【稳固】【稳固】ABC中，中，AB= =AC，BD为为AB的延长线，且的延长线，且BD= =AB，CE为为ABC的的AB边上的中线求边上的中线求证证CD= =2CE【例【例1010】：ABCD是凸四边形，且是凸四边形，且AC GNM1【例【例1111】在在ABC中，中，ACB90，AC BC，以以BC为底作等腰直角为底作等腰直角BCD，E是是CD的中点，的中点，2求证：求证：AE EB且且AE BE【例【例1212】如如图，图，在五边形在五边形ABCDE中，中，ABC AED90，BAC EAD，F为为CD的中点的中点求证：求证：BF EF【例【例1313】( (“祖祖冲冲之之杯杯数数学学竞竞赛赛试试题题，中中国国国国家家集集训训队队试试题题) )如如下下图图，P是是ABC的的一一点点，PAC PBC，过，过P作作PM AC于于M，PL BC于于L，D为为AB的中点，求证的中点，求证DM DL【例【例1414】( (全国数学联合竞赛试题全国数学联合竞赛试题) ) 如下图，如下图，在在ABC中，中，D为为AB的中点，的中点，分别延长分别延长CA、CB到点到点E、F，使，使DE DF过过E、F分别作直线分别作直线CA、CB的垂线，相交于点的垂线，相交于点P，设线段，设线段PA、PB的的中点分别为中点分别为M、N求证：求证：( (1) )DEM FDN；( (2) )PAE PBF【习题【习题 1 1】如图，】如图，AC BD，AD AC，BC BD，求证：，求证：AD BC【习题【习题 2 2】点】点M，N在等边三角形在等边三角形ABC的的AB边上运动，边上运动，BD= =DC，BDC= =120，MDN= =60，求，求证证MN= =MB+ +NC【习题【习题 3 3】在】在ABC中，中，AB 3AC，BAC的平分线交的平分线交BC于于D，过，过B作作BE AD，E为垂足，求为垂足，求证：证：AD DE【习题【习题 4 4】如图，在】如图，在ABC中，中，AB BD AC，BAC的平分线的平分线AD交交BC与与D求证：求证：B 2C【习题【习题 5 5】如图，在等腰】如图，在等腰ABC中，中，AB AC，D是是BC的中点，过的中点，过A作作AE DE，AF DF，且，且AE AF求证：求证：EDB FDC【习题【习题 6 6】如图，在】如图，在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，边上的中线，E是是AD上一点，且上一点，且BE AC，延长，延长BE交交AC于于F，AF与与EF相等吗？为什么？相等吗？为什么？【习题【习题 7 7】 如右以下图，如右以下图， 在在ABC中，中， 假设假设B 2C，AD BC，E为为BC边的中点边的中点 求证：求证：AB 2DE家庭作业