数值计算方法(三次样条插值).ppt
4.4 三次样条插值,前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。,4.4.1 分段插值,分段线性插值,分段线性插值,分段线性插值,缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在,分段三次Hermite插值,上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。,分段三次Hermite插值,分段三次Hermite插值算法,例题,例题,4.4.2 三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,三次样条插值,例题,例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件,解 做差商表(P111),由于是等距离节点,由第二类边界条件得,解方程得 将Mi代入式4.4.14)得,由于,故,45 曲线拟合的最小二乘法,插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.,4.5.1 最佳平方逼近,定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:,容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.,内积的性质,函数的欧几里得范数,定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.,函数的欧几里得范数性质,线性相关的函数系,定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使,成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.,线性相关的函数系的判定,定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式,不难证明 在R上线性无关. 定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .,最佳平方逼近,定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关. 记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足,则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且 其中 是法方程 唯一的一组解.,令 则误差为,特例,取 则法方程为 其中,例题,例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式. 解 设 由于,故法方程为 解得,平方误差为,4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法,曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.,在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.,设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令,记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即,达到极小值,这里 是a,b上的权函数. 类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数 极值必要条件有,用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为,其中,由于向量组 是线性无关, 故式(4.5.14)的系数行列式,故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解 其平方误差为,特例,例题,例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.,解 由式(4.5.16)可得 解方程组得 所以拟合二次函数为,平方误差为,例4.5.3 地球温室效应问题 下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高,解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1 (P119),从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系 为决定参数,将上式改写成,记 则有 这是已知数据相应地变为如下表所示,由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得 解方程组得:,相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为 就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求,以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年),4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解,设矛盾方程组 这里mn,记,则上式可简记为Ax=b. 矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足,引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵.,定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,则 (1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解; (2)设x* 是法方程组 的解,则x* 是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解.,定理4.5.2指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组 的最小二乘解.,
