数学最小二乘法的应用举例.ppt

,第八章,*第十节,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 yf (x) .,需要解决两个问题:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,最小二乘法,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f (x) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方,法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式 ., 它们大体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b,令,满足:,使,得,解此线性方程组 即得 a, b,称为法方程组,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀,具的厚度, 得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解: 通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,列表计算:,故可设经验公式为,(P67 例1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,得法方程组,解得,故所求经验公式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏差平方和为,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏差平方和为,例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据:,其中 表示从实验开始算起的时间,y 表示时刻 反应,物的量.,试根据上述数据定出经验公式,(P70例2),解:,由化学反应速度的理论知, 经验公式应取,其中k , m 为待定常数.,对其取对数得,(线性函数),(书中取的是常用对数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此 a , b 应满足法方程组:,经计算得,解得:,所求经验公式为,其均方误差为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,观测数据:,用最小二乘法确定a, b,通过计算确定某些经验公式类型的方法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 (习题8 -10 ) P72 1 , 2,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,