棱柱棱锥的概念和性质.ppt
棱柱、棱锥的概念和性质 要点梳理 1.棱柱、棱锥的定义,平行,平行,多边形,有一个公共顶,点,两个侧面的公共边,互相平行的面,侧面与底面的公共 顶点,各侧面的公共顶点,两个底面所在平面 的公垂线段,顶点到底面所在平面的 垂线段,多边形,2.棱柱、棱锥的性质,平行四边形,三角形,与底面全等的 多边形,与底面相似的多边形,3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 且在 ； （2）直棱柱的 与高相等，直棱柱的 及 过 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 ，正方 体的侧面和底面都是 ； （4）长方体的 等于同一个顶 点上三条棱长的 .,交于一点,该点,互相平分,侧棱长,侧面,不相邻两条侧棱,底面,正方形,正方形,一条对角线长的平方,平方和,若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所 成角分别为、，则 cos2+cos2+cos2= ； 若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别为、，则 cos2+cos2+cos2= .,1,2,4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 ，这样的棱锥叫做 . (2)性质： 侧面是 ，与底面所成二面角 均 ； 侧棱均 ，侧棱与底面所成的角均 ； 平行于底面的截面也是 ；纵截面是 ； 正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径.,正多边形,中心,正棱锥,全等的等腰三角形,相等,相等,相等,正多边形,等,腰三角形,5.体积公式 （1）柱体体积公式为V= ，其中 为底面面 积， 为高; （2）锥体体积公式为V= ，其中 为底面面 积， 为高. 6.侧面积与全面积 （1）棱柱的侧面积是各侧面 ，直棱柱的 侧面积是底面周长与 ；棱锥的侧面积是各 侧面 ，正棱锥的侧面积是底面周长与 . （2）全面积等于 与 之和，即S全= + .,Sh,h,S,S,h,面积之和,高之积,面积之和,斜,高积的一半,侧面积,S侧,S底,底面积,基础自测 1.以下命题中正确的是 （ ） A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面 都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面 体是棱锥 C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.长方体一定是正四棱柱,C,2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ ） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直 B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直 D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直,B,3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）,C,4.（2009陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以 该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 为 （ ） 解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个 正四棱锥的高为 ，所以,B,5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2 ，则一条侧 棱到与它相对的面之间的距离为 （ ） 解析 由体积公式V=Sh可得底面积为 若设底面三角形的边长为a，则有 所 以a=2 ，故侧棱到相对面的距离为,D,题型一 棱柱、棱锥的概念和性质 【例1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它 为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5 个命题中： 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等； 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等 或互补； 底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥； 底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥； 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上. 其中真命题为 （写出所有真命题的序号）.,思维启迪 结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行 判断. 解析 真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相 等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面 所成的角都相等； 假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰 四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不 都相等或互补.故是假命题； 假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接 圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个 四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；,假.理由同； 真.因为由知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的 各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上. 答案 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并 会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相 等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结 论.,探究提高,知能迁移1 设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 . 解析 命题符合平行六面体的定义,故命题是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题是错误的.,题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直 【例2】如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB=90,AB=2,BC=1, AA1= . （1）证明：A1C平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点 E，使DE平面AB1C1？证明你的结论. （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理.,思维启迪,证明 （1）ACB=90，BCAC. 三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BCCC1. ACCC1=C，BC平面ACC1A1. A1C平面ACC1A1，BCA1C. BCB1C1，B1C1A1C. 在RtABC中，AB=2，BC=1，AC= . AA1= ，四边形ACC1A1为正方形，A1CAC1. B1C1AC1=C1，A1C平面AB1C1. （2）当E为棱AB的中点时， DE平面AB1C1. 证明如下：,如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点, EFAB1. AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1， EF平面AB1C1.同理可证FD平面AB1C1. EFFD=F，平面EFD平面AB1C1. DE平面EFD，DE平面AB1C1. 探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与 性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确 把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊 梯形的使用等.,知能迁移2 如图所示，四棱锥P ABCD的底面是矩形，侧面PAD是 正三角形，且侧面PAD底面ABCD， E为侧棱PD的中点. （1）求证：PB平面EAC； （2）求证：AE平面PCD. 解 （1）连结BD与AC交于O，连结OE， O,E分别为BD，PD的中点， OEPB，且OE平面EAC，PB平 面EAC，PB平面EAC. （2）方法一 ABCD是矩形， CDAD.又平面PAD平面ABCD=AD， 平面ABCD平面PAD，,CD平面PAD. 又AE平面PAD，CDAE. 正三角形PAD中，E为PD的中点，AEPD. 又PDCD=D,AE平面PCD. 方法二 ABCD是矩形，CDAD. 又平面PAD平面ABCD=AD， 平面ABCD平面PAD， CD平面PAD. 又CD平面PDC,平面PDC平面PAD. 正三角形PAD中，E为PD的中点， AEPD. 又平面PDC平面PAD=PD. AE平面PCD.,题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥PABCD的 底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中 的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面 PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.,思维启迪,解 （1）侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC， 且两侧面交于PA，PA底面AC. 又BDAC，BDPC， 即PC与BD所成的角为90. （2）PA底面AC， PCA是PC与底面AC所成的角，PBA为PB与底 面AC所成的角. 在RtPAB中，PA=AB=a，AC= a， （3）BDAC,BDPA,BD平面PAC. 又MNBD，MN平面PAC. 平面PAC平面PMN.,设MNAC=Q，连结PQ， 则平面PAC平面PMN=PQ. 作OHPQ，垂足为H， 则OH平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AGPQ于G. 在RtPAQ中，PA=a,探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.,知能迁移3 如图，四棱锥PABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD为直角 梯形，且ABCD，BAD=90， PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BCPC； （2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值； （3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为ABCD， BAD=90，AD=DC=2， 所以ADC=90，且AC=2 . 取AB的中点E，连结CE，由题意 可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.,则ABC为等腰直角三角形， 所以ACBC. 又因为PA平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内 的射影，BC平面ABCD，由三垂线定理得BCPC. （2）解 由（1）可知，BCPC，BCAC， PCAC=C， 所以BC平面PAC. 又因为PC是PB在平面PAC内的射影， 所以CPB是PB与平面PAC所成的角. 又CB=2 ，PB2=PA2+AB2=20，,PB=2 ，sinCPB= 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 （3）解 由（2）可知，BC平面PAC，BC平面 PBC, 所以平面PBC平面PAC. 过A点在平面PAC内作AFPC于F， 所以AF平面PBC. 则AF的长即为点A到平面PBC的距离. 在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2 ，PC=2 ， 所以 ，即点A到平面PBC的距离为,题型四 棱柱、棱锥的体积和面积 【例4】（12分）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形， 其中BD是圆的直径， ABD=60,BDC=45,ADPBAD. （1）求线段PD的长； （2）若PC= 求三棱锥P-ABC的体积. 思维启迪 解答本题时求线段PD的长只需利用 ADP与BAD相似即可求出，而求三棱锥P ABC的体积需先证明PD平面ABC，即PD为三棱 锥的高即可求解.,解题示范 解 (1)BD是圆的直径,BAD=90. 又ADPBAD， (2)在RtBCD中，CD=BDcos 45= PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2 PDCD,又PDA=90=DAB PD底面ABCD 8分,4分,几何体的体积计算是一种常见的题型， 除了直接套用公式求体积的方法以外，还有一些常 用的方法：,10分,12分,探究提高,（1）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套 用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出 时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进 行计算求解，该方法特别适合于求三棱锥的体积. （2）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及 求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法.割 补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的（或复 杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几 何体，把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复 杂的几何体切割成简单的几何体.割与补是对立统一 的，是一个问题的两个方面.,知能迁移4 （2009海南、宁夏文，18）如图，在 三棱锥PABC中，PAB是等边三 角形，PAC=PBC=90. (1)证明：ABPC； (2)若PC=4，且平面PAC平面 PBC，求三棱锥PABC的体积. (1)证明 因为PAB是等边三角形，所以PB=PA. 因为PAC=PBC=90,PC=PC， 所以RtPBCRtPAC， 所以AC=BC. 如图，取AB中点D，连结PD、CD， 则PDAB,CDAB,又PDCD=D,所以AB平面PDC, 所以ABPC. (2)解 作BEPC,垂足为E，连结AE. 因为RtPBCRtPAC，所以AEPC,AE=BE. 由已知，平面PAC平面PBC，故AEB=90. 因为AEB=90，PEB=90,AE=BE,AB=PB, 所以RtAEBRtBEP, 所以AEB、PEB、CEB都是等腰直角三角形. 由已知PC=4，得AE=BE=2，AEB的面积S=2. 因为PC平面AEB. 所以三棱锥PABC的体积,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.要准确地理解棱柱、棱锥的概念和性质，充分利 用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加 以研究. 2.棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所 成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面 作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的 位置，以此沟通各种关系. 3.求棱柱的侧面积，如果有直截面存在，可利用公 式S侧=C直截面侧棱；如果无直截面存在，则需分 别求各侧面的面积，然后相加.,失误与防范 1.在解正棱锥的问题时，要注意利 用四个直角三角形，如图所示，O 为底面正多边形的中心，E为AB的 中点，四个直角三角形为RtVOA、 RtAEO、RtVEA和RtVOE，它们包含了棱锥 高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形 半径. 2.在求空间几何体的体积时，也常用到转化的思 想，将其转化为其他几何体的体积来求.,定时检测 一、选择题 1.下列命题中，成立的是 （ ） A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.四面体一定是三棱锥 C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定 是正棱锥 D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相 等的棱锥一定是正棱锥,解析 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形， 但这个多面体不是棱锥； B是正确的，三个面共顶点，另有三 边围成三角形是四面体也必定是个三 棱锥；C是错误的，如图所示，棱锥的 侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱 锥； D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆， 如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥. 答案 B,2.正棱锥的高缩小为原来的 ，底面外接圆半径扩 大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的（ ） 解析 设原棱锥高为h，底面面积为S，,B,3.如图，已知高为3的直三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形， 则三棱锥B1ABC的体积为 （ ） 解析 因为ABC是边长为1的正三角形，故面积 为 故三棱锥的体积为,A,4.若长方体的三条棱长之比为123，全面积为 88，则它的对角线长为 （ ） A.12 B.24 C. D. 解析 设长方体的三条棱长分别为k，2k，3k，则 由题意可知2（k2k+2k3k+3kk）=88，故k2=4. 于是，对角线长为,C,5.（2008四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边 长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 60的菱形,则该棱柱的体积等于 （ ） A. B. C. D. 解析 如图所示,由题意可得 AA1C1=AA1B1=60, AA1=A1B1=B1C1=A1C1=2. 所以过点A作AO平面A1B1C1, 则O在B1A1C1的平分线上. 过O作OEA1B1,连结A1O,AE,易证cosAA1E=cosAA1OcosOA1E， 答案 B,6.（2009辽宁理，11）正六棱锥PABCDEF中， G为PB的中点,则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC 体积之比为 （ ） A.11 B.12 C.21 D.32 解析 如图，设棱锥的高为h，,C,二、填空题 7.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2 , 则侧面与底面所成的二面角等于 . 解析 如图所示,设底面边长为a,则2a2=(2 )2， a=2 ，OM= .,8.设正三棱锥VABC底面边长为2 ,高为2,则侧 棱与底面所成角的大小为 . 解析 如图所示,由已知在正ABC 中,AB=2 ,O为ABC重心, AO=2,VO=2,且VOAO， VAO=45.,45,9.（2008江西理，16）如图（1）所示，一个正四 棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底 的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时， 水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒 置，水面也恰好过点P（如图（2）所示）.有下列 四个命题：,A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半； B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P； C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经 过点P； D.若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代 号） 解析 设正四棱柱底面边长为b，高为h1,正四棱锥高 为h2,则原题图（1）中水的体积为： 图（2）中水的体积为：b2h1-b2h2=b2（h1-h2），,对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截 面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好 经过P点，故B正确. 对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面 重合时，经计算得水的体积为 矛盾，故C不正确. 答案 B.D,三、解答题 10.（2009福建文，20）如图， 平行四边形ABCD中，DAB =60,AB=2,AD=4.将CBD 沿BD折起到EBD的位置， 使平面EBD平面ABD. (1)求证：ABDE. (2)求三棱锥EABD的侧面积. (1)证明 在ABD中，AB=2,AD=4, DAB=60,AB2+BD2=AD2,ABBD. 又平面EBD平面ABD， 平面EBD平面ABD=BD，AB平面ABD， AB平面EBD. DE平面EBD，ABDE. (2)解 由（1）知ABBD. CDAB，CDBD. 从而DEBD. 在RtDBE中，DB=2 ，DE=DC=AB=2，,又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE. BE=BC=AD=4， DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面 ABD，而AD平面ABD，EDAD, 综上，三棱锥EABD的侧面积S=8+2 .,11.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=3，AA1=4，M为AA1中点，P是BC上 一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M 的最短距离长为 ，设这条最短路线 与CC1的交点为N，求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC与NC的长； （3）此棱柱的表面积. 解 （1）正三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图是一个 长为9，宽为4的矩形，其对角线长为,（2）如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1 旋转120使其与侧面AA1C1C在同一 平面上，点P运动到点P1的位置，连 结MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧 面经过棱CC1到点M的最短路线. 设PC=x，即P1C=x， 在RtMAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29， 求得x=2，PC=P1C=2.,12.如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，AB=AA1，D是BC的中点. （1）求证：A1B平面AC1D； （2）求二面角CAC1D的大小. （1）证明 ABCA1B1C1是正三棱柱， D是BC的中点. 连结AC1与A1C相交于E点， 在A1BC中，D、E是中点， A1BDE， 又DE在平面AC1D内， A1B平面AC1D.,（2）解 作CFC1D于F，则CF平面AC1D，连结 EF，CEAC1, EFAC1， CEF就是二面角CAC1D的 平面角. 令CD=1，则CC1=2，,返回,
