概率论深刻复习知识点归纳.ppt
一、事件间关系和运算,第1章要点,二、事件运算满足的定律 事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A，B，C为事件，则有 交换律： 结合律： 分配律： 对偶律： 例1.3, 作业: 一、 3，二、 1，2,第1章要点,三、概率的性质 (1) P() = 0 (2) (有限可加性) 两两互不相容，则 (3) (逆事件的概率) 对任一事件A，有 (4) (单调性)若 P(A) P(B) ,且P(AB) = P(A) - P(B). (5) 对任意两个事件A,B有P(AB) = P(A)P(AB) (6)（加法公式）对于任意两事件A，B有 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) 例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6,第1章要点,四、古典概型与几何概型 古典概型概率计算公式： 作业：三、6，8,第1章要点,五、条件概率与乘法公式 若P(A)0 若P(B)0 例1.11，1.12；作业:一、12；二、4,7 ；三、12,第1章要点,六、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： 贝叶斯公式： 例1.16，1.17，作业：三、14，15,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An),第1章要点,七、事件的相互独立性 注意几对概念的区别： 互不相容与互逆 互不相容与相互独立 相互独立与两两相互独立 作业：一、8；二、8，9； 三、17，19,P(AB)= P(A)P(B),第1章要点,第2章要点,一、随机变量及其分布 1.随机变量的概念 2.分布函数： 定义：F(x)=PXx xR 性质：单调性，有界性，右连续性 利用分布函数求概率：即对任意实数a, b, 有 例2.2，2.4，2.5 ，三1，2，4,第2章要点,二、离散型随机变量 1.离散型随机变量的分布律 分布律的概念； 分布律的性质： 分布律与分布函数的关系： 2.常用离散型分布 二项分布：XB(n, p), 00 例2.6，2.7 作业：一、2，3；三、6，7，9,第2章要点,三、连续型随机变量 1.连续型随机变量及其分布 定义： F(x)与f(x)关系： f(x) 性质： 由f(x) 计算概率： 例2.9 ，2.11 作业：三、10，11,第2章要点,三、连续型随机变量 2.常用连续型随机变量 均匀分布 XU(a, b), 指数分布：XExp(), 0, 正态分布：XN(, 2), 0 作业：一、5，6，7，8，11,第2章要点,四、随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布 分布函数法: 先求分布函数，再求密度函数. 例2.6，作业：三、16，17，18,第3章要点,一、 二维随机变量及联合分布函数 联合分布函数的定义： 二、二维离散型随机变量及其联合分布律 联合分布律定义： 性质：,第3章要点,三、二维连续型随机变量及其联合概率密度 定义： 利用概率密度求概率：随机变量落在区域G内的概率,四、 二维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关系 设二维随机变量(X,Y)具有分布函数F(x，y),第3章要点,五、边缘分布律与联合分布律的关系 设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为 PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则,第3章要点,六、联合概率密度与边缘概率密度的关系 二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则 例3.5，3.8，3.10，作业 三、7，,第3章要点,七、二维随机变量相互独立的充要条件 2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,第3章要点,在平面上几乎处处成立。,作业： 三、15，18（1）,第3章要点,八、二维连续型随机变量函数的分布 1.和的分布 正态分布的性质 定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为n个任意常数，则 作业:二、2；三、17,第3章要点,八、二维连续型随机变量函数的分布 （最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互独立的n个随机变量，若Y=max(X1, X2, , Xn), Z=min(X1, X2, , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布 若Xi同分布，则 作业： 三、19,第3章要点,第4章要点,一、随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望,第4章要点,一、随机变量的数学期望 数学期望的性质 (1) 设c是常数，则有E(c) = c (2) E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c (3) E(X + Y) = E(X) + E(Y) (4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X)E(Y),第4章要点,二、随机变量的方差 定义式： 计算式： 性质： (1) 设c是常数，则D(c) = 0； (2) D(cX) = c2D(X)，D(X + c) = D(X)； (3) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2EX E(X)Y E(Y) 特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)；,分布,参数,数学期望,方差,0-1分布,二项分布 B(n,p),泊松分布 P(),均匀分布 U(a,b),指数分布 Exp(),正态分布 N(,2),三、重要分布的期望和方差,第4章要点,四、协方差及相关系数 定义式： 计算式： 性质: (1) (2) (3) a，b为常数； (4) (5) 当随机变量X与Y相互独立时,有Cov(X,Y)= 0,第4章要点,例4.13,4.15,例4.18例4.19, 作业:一、3,4，二、1,2,6,8,10 三、2，5，7，9，18，20,第4章要点,第4章要点,三、矩的概念 k阶原点矩 k阶中心矩 k+l 阶混合矩 k+l 阶混合中心矩,一、契比谢夫(Chebyshev)不等式 【定理5.1】 设随机变量X的数学期望E(X)及方差D(X)都存在，则对于任意正数，有不等式 即 成立,.,第5章要点,第5章要点,二、大数定律： 三、中心极限定理: 当n充分大时， 例5.1 例5.5 例5.6 作业:一、1,2,3 二、6，7 三、6,9,独立同分布的中心极限定理,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,辛钦大数定律,第6章要点,一、统计量的概念及常用统计量 二、抽样分布：统计三大分布2分布，t分布，F分布 三、分位数的概念： 标准正态分布，2分布，t分布，F分布的分位数 作业：一、1，2，4，7，二、1，2，3、三、1，2,第7章要点,一、参数的点估计 1 矩估计：三步法： 求总体矩； 样本矩代替总体矩； 求出矩估计量（矩估计值） 2 最大似然估计法： 二步法： 求（对数）似然函数； 求（对数）似然函数的最大值点 例7.2,7.3,7.5,7.6 作业：一、4,8,12,13,三、3，5,6,8,第7章要点,二、估计量的评价标准 1.无偏性 2.有效性 3.相合性 作业:二、2,6 三、7,8,9 三、区间估计 正态总体均值与方差的区间估计 例7.10,7.11,7.12 作业:三、12, 14,15,一、假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率： P弃真 = P拒绝了H0 | H0为真 = P检验统计量的值落入拒绝域 | H0为真 犯第二类错误的概率： P存伪 = P接受了H0 | H0为假 = P检验统计量的值未落入拒绝域 | H0为假 = 例8.6,8.7 作业:一、3,4 二、3,4,7,三、5, 8,第8章要点,第8章要点,二、单正态总体N(, 2)的均值的假设检验,三、单正态总体N(, 2)的方差2的假设检验,
