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逐差法的原理与应用 湖北省恩施高中陈恩谱 【论文摘要】 逐差法作为物理实验中常用的一种数据处理方法，在高中大部分资料里并没有被深入阐释，从而导致 学生理解和应用困难；本文从逐差法的适用条件、操作过程和应用实例、误差分析等多个角度对逐差法进 行了深入细致的分析，有望突破这一难点。 【关键词】 逐差法等差数列纸带法悬挂法伏安法实验误差 高中物理中，在用纸带法测量加速度时，很多资料介绍了逐差法，但是从考试和练习情况来看，学生 对逐差法掌握得并不好，究其原因，实际上是大部分学生对逐差法的操作过程不理解不熟悉所致；而很多 资料中，出现了在测量弹簧劲度系数、测量定值电阻、测量磁感应强度等问题中逐差法的应用的题目，更 是对学生提出了深入理解、灵活迁移的要求。因此，从根本上把逐差法的适用条件、操作过程、减小误差 等诸方面搞清楚，是完全必要的。我们通过对比研究已知的逐差法适用题型，并对逐差法进行理论分析， 从而得到了本篇文章研究的结果，现发出来与大家分享，同时欢迎大家的批评指正。 一、逐差法的适用条件等差数列求公差 从理论上讲，一个物理量（因变量）随另一个物理量（自变量）成线性规律变化时，如果自变量的变 化采用等差递增方式，则理论上讲，因变量也应该是等差递增的，也就是说因变量数列应该是一个等差数 列；但由于实验测量时误差的不可避免，实际测量得到的因变量的数列并不是严格的等差数列，在有的情 况下，为了得到理论上需要的公差，就需要采用一种计算操作，实现多次测量求平均值的目标，从而求得 误差较小的公差值。这时，我们往往采用所谓的“逐差法”。 二、逐差法求公差的操作过程 设一个物理量b 随另一个物理量a 理论上讲成线性规律变化，实验时让a 等差递增，从而得到一个b 的数列 i b，理论上讲，该数列是公差确定的等差数列，即 dbbbbbbbb. 45342312 则理论上讲，就应该有dnmbb nm)( ，比如dbb3 14 、dbb3 25 、dbb3 36 。但实际 上，实验测量不可避免的存在误差，因此实验计算的结果是 114 3dbb 225 3dbb 336 3dbb 我们就可以通过将这几个 i d取平均值，从而计算出实验测得的该数列的公差 )( 3 1 321 dddd 最后可以得到 33 )()( ) 333 ( 3 1 123456362514 bbbbbbbbbbbb d 上述求公差的计算方法，就叫做逐差法。 如果数据不是偶数个，则通常采用去掉中间一个值或者最小的值的方式，将数据变成偶数个，然后进 行如上计算操作，进而得出实验公差值，比如实验测量数据有七个数据（ 7654321 bbbbbbb、） ， 如果去掉 4 b，则有 115 4dbb、 226 4dbb、 337 4dbb，得 43 )()( ) 444 ( 3 1 123567372615 bbbbbbbbbbbb d 如果去掉 1 b，则有 125 3dbb、 236 3dbb、 347 3dbb，得 33 )()( ) 333 ( 3 1 234567473625 bbbbbbbbbbbb d 三、高中物理中逐差法的应用示例 1、纸带法测物体的加速度 【例 1】 （2015 全国卷 ，22）某同学用图（a）所示的实验装置测量物块与斜面之间的动摩擦因数。 已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz，物块下滑过程中所得到的纸带的一部分如图（b）所示，图中标 出了五个连续点之间的距离。 （1）物块下滑时的加速度am/s2，打 C 点时物块的速度vm/s 解析 物块沿斜面下滑是匀加速直线运动，理论上讲有 2 aTxxxxxxx ABBCBCCDCDDE ， 因此满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有 2 1 22TaxxxBCDE ， 2 2 22TaxxxABCD 两式联立，得 2 21 22 )()( 2T xxxxaa a ABBCCDDE ，代入 T 0.02 s，解得加速度a3.25 m/s2。 打 C 点时物块的速度vC xBD 2T 1.79 m/s。 2、悬挂法测弹簧的劲度系数 【例 2】某同学用悬挂法测弹簧的劲度系数。 （1）将弹簧竖直悬挂在铁架台上，将刻度尺竖直固定在弹簧一侧。 （2）弹簧自然悬挂，待弹簧静止 时，长度记为L0；弹簧下端挂上砝码盘时，长度 记为 Lx；在砝码盘中每次增加 10 g 砝码，弹簧长度依次记为L1至 L6。数据如下表： 代表符号L0 LxL1L2L3L4L5L6 数值（ cm）25.3527.3529.3531.3033.4035.3537.4039.30 （3）弹簧的劲度系数为N/m。 （结果保留两位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2） 解析 只挂砝码盘时，由平衡条件，有0 00 gmkx，即0)( 00 gmLLk x ；再加砝码个数为n 时，由平衡条件，有0)( 0g mnmgkx，即0)()( 00 gmnmgLLk n ，联立得 k nmg LL xn ， 由此可知， Ln随 n 应该是均匀增加，是一个等差数列，满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有 136 3 xLL， 225 3 xLL， 314 3 xLL 则每增加一个砝码，弹簧长度的平均增加量为 cm2 33 )()( 3 123456321 LLLLLLxxx x 则弹簧的劲度系数为N/m9.4 x mg x F k。 3、伏安法测定值电阻 【例 3】(2016 浙江理综， 22)某同学用伏安法测量导体的电阻，现有量程为3 V、内阻约为3 k的 电压表和量程为0.6 A、内阻约为0.1 的电流表。采用分压电路接线，图7是实 物的部分连线图，待测电阻为图8 中的 R1，其阻值约为 5 。 (1)测 R1阻值的最优连接方式为导线连接_(填 a 或 b)、导线连接 _(填 c 或 d)。 (2)正确接线测得实验数据如表，用作图法求得R1的阻值为 _。 U/V0.400.801.201.602.002.40 I/A0.090.190.270.350.440.53 解析 (1)ad； (2)原题要求用作图法求R1的阻值，本题还可以用逐差法求解，从考场操作角度来讲，逐差法其实还 简单一些。 由欧姆定律 1 R U I可知，当电阻R1两端电压U 按等差数列均匀变化时，通过R1的电流 I 也应是按等 差数列均匀变化的，则按逐差法操作程序，有 136 3 III， 225 3 III， 114 3 III 则 R1两端电压U 每增加 0.4V ，通过 R1的电流 I 的平均增加量为 A08555.0 33 )()( 3 123456321 IIIIIIIII I 则 R1的阻值为68.4 1 I U R。 4、伏安法测电源内阻 【例 4】(2014 福建理综， 19(2)某研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组 的电动势和内阻，实验原理如图甲所示，其中，虚线框内为用灵敏电流计G 改装 的电流表 A， V 为标准电压表，E 为待测电池组，S 为开关， R 为滑动变阻器，R0 是标称值为4.0 的定值电阻。 某次试验的数据如下表所示：该小组借鉴 “ 研究匀变速直线运动” 试验中计算 加速度的方法（逐差法），计算出电池组的内阻r =( 保留两位小数)；为减小偶 然误差，逐差法在数据处理方面体现出的主要优点是。 测量次数12345678 电压表 V 读数 U/V5.265.165.044.944.834.714.594.46 改装表 A 读数 I/mA20406080100120140160 解析 （3）将电源 E 和 R0打包作为等效电源（rE ,） ，则有EE， 0 Rrr，由r IEU可 知，当通过等效电源的电流I 按等差数列均匀增加时，等效电源两端的路端电压U 也应该时按等差数列均 匀减小，则由逐差法的操作程序，有 115 4 UUU， 226 4 UUU， 337 4 UUU， 448 4 UUU 则通过等效电源的电流I 每增加 20mA 时，等效电源两端的路端电压U 也的变化量平均值为 V113.0 44 )()( 4 123456784321 UUUUUUUUUUUU U 则等效电源内阻为66.5 I U r，则66.1r。 用逐差法的优点可以减小实验误差。 四、逐差法在减小实验误差中的作用 下面以纸带法测量加速度为例，说明逐差法对减小实验误差的 意义。 如右图所示，为了减小测量误差，测量AB、 BC、CD.各段长 度时，并不是逐段分别测量，而是将刻度尺零刻度线对齐A 点后， 一次性将 AB、AC、AD.读完，也就是图中的d1、d2、d3. 从逐差法的最终计算式 33 2 33 )( 33 )()( ) 333 ( 3 1 36336123456362514 dddddxxxxxxxxxxxx x 可以看出，逐差法利用的实际是前后两大段纸带的长度，设每个di测量的平均误差为 d，则按误差 理论，逐差法得到的x的误差为 39 3dd 。 如果采用逐段相减的方法，即 121 xxx， 232 xxx， 343 xxx， 454 xxx， 565 xxx x1x2x3x4x5x6 则最终的计算式为 55 )( 5 )( 5 1 15615616 54321 ddddddxx xxxxxx 按误差理论，这种算法得到的x的误差为 5 3 d ，显然，后一种算法引起的误差要大一些。 所以，逐差法可以起到减小实验误差的作用。 在这里要顺便说一下的是，很多资料在谈及逐差法的优点时，说逐差法能够利用每一组数据，也就是 如下理解： 逐差法 33 )()( ) 333 ( 3 1 123456362514 xxxxxxxxxxxx x 逐段法 5 )( 5 1 16 54321 xx xxxxxx 以为逐差法用到了更多的数据，数据越多，偏大偏小的概率越接近相等，从而相加可以更好的消除误 差。这其实是一种错误的理解，其错在两点： 其一， 不知道实际测量应该是从起点一次性将各点数据读出， 其二，若真是逐段分别测量，按上述算法，恰恰是逐差法误差更大 逐差法误差为d d 3 2 9 6 ，逐段 法误差为d d 3 2 5 2 ，2014 年福建高考题第23 题第（ 3）问，当年给的参考答案就犯了这样的错误。 【参考文献】 1熊志权 . 物理原来不能这样考M . 成都：西南交通大学出版社，2012 说明：本文收录于陈恩谱老师物理原来可以这样学2019 年 6 月第三次修订版。