坐标表象与动量表象.ppt
关于坐标表象与动量表象现在学习的是第1页，共18页1 坐标表象与动量表象坐标表象与动量表象表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。坐标表象的波函数坐标表象的波函数, x t给出给出t时刻到粒子处于时刻到粒子处于2, x tdxxxdx之间的几率之间的几率, x t满足满足Schrodinger222,2ix tV x tx ttm x 对对 不显含时间不显含时间t，则，则 可以分离变量可以分离变量x与与t,V x t, x t /,iEtx tex现在学习的是第2页，共18页设上述定态方程的解为设上述定态方程的解为 ,1,2,.nnxEn并设并设 是正交归一的，即是正交归一的，即 nx *nmmndxxx则含时则含时Schrodinger方程的一般解为方程的一般解为 /,niE tnnnx tC exCn为迭加常数，由初始条件决定。为迭加常数，由初始条件决定。若若 ,0 x tx则则 *nnCdxxx动量表象动量表象动量算符动量算符pix 其相应的本征态为其相应的本征态为P,本征函数为本征函数为 /12ipxpxe现在学习的是第3页，共18页构成正交完备集，体系的波函数构成正交完备集，体系的波函数可以用可以用 展开，即展开，即 px, x t px ,px tdpp tx两边同乘两边同乘 * pdxx *,pppdxx txdx dpp txx *,ppdpp tdxxdpp tppp t *,pp tdxx tx,x tp t与有一一对应的关系,x tp t若是归一的，则是归一的。给出给出t时刻粒子的动量在时刻粒子的动量在之间的几率，或之间的几率，或是粒子是粒子的动量的几率密度。的动量的几率密度。2, p tdpppdp2, p t现在学习的是第4页，共18页, p t满足的方程满足的方程222,2ix tV x tx ttm x 两边同乘两边同乘 *pdxx 22*2,2ppdxx ix tdxxV x tx ttm x 2,2pppip tp tdp Vtp ttm“P”表象中的运动方程表象中的运动方程特例：当特例：当V不显含时间不显含时间t时时 /,iEtp tep现在学习的是第5页，共18页例例1 1 在在P P表象中计算一维谐振子的定态能量和波函数表象中计算一维谐振子的定态能量和波函数解解22pHVximp22222222222222222222222222220212212222122122pmxmpmmppmmm ppmm mm pmmpm p20421m定态方程定态方程22222122mpm p22Em0211122nnm22Em22211212nmmn现在学习的是第6页，共18页2 本征值为分立的力学量表象本征值为分立的力学量表象1. 1. 力学量力学量F F表象的波函数：表象的波函数：设力学量设力学量 取本征值取本征值 , ,相应的本征函数为相应的本征函数为 ，即，即若若 满足正交归一性，则满足正交归一性，则 构成完备系。构成完备系。nnFnfnnnnFf“x”x”表象波函数表象波函数 可表示为可表示为：, x t ( ),tnnnx tCx *,nnCtdxxx t同样，由同样，由 归一，得到归一，得到 ， 表示表示t t时刻粒子力学量时刻粒子力学量 取值为取值为 的几率，的几率， 作为变量作为变量 的函数，即的函数，即 表象中的波函数。表象中的波函数。, x t 21nnCt 2nCtFnfnf nCtF考虑到波函数可以看成函数空间中的矢量，可以用矩考虑到波函数可以看成函数空间中的矢量，可以用矩阵表示方法来表示阵表示方法来表示F F表象中的波函数表象中的波函数 12nC tCttCt现在学习的是第7页，共18页波函数归一化：波函数归一化： 是是 的厄米共轭矩阵的厄米共轭矩阵 t t 1tt2. 任一算符任一算符 在在F表象中的表示：表象中的表示：Q mmmmmmmmmmmmQxG xQaba Qb*:mmnmmnmmmmnmmnmmmnmmnmdxaQdxbdxa QbQ ab 1112111212222212.mmnnnmmmQQQabQQQabQQQabQ AB|算符算符 在在F表象中为一方阵表象中为一方阵Q现在学习的是第8页，共18页3.算符算符 在自身表象中在自身表象中F*mnmnnmnFdxFfnnnFf*mnnnndxFfdx 120011ff 基：基：100 ;1 其本征函数在自身表象中其本征函数在自身表象中即对角的即对角的现在学习的是第9页，共18页4. 波函数的内积：波函数的内积：“x”中内积：中内积：“F”*nnnndxxxxaxb *111nnnnnndxxxdxab*1111111*122,nnnnnnnnnnnnnnFFna bdxa bba baab 1122;FFabab现在学习的是第10页，共18页5. “F”中的中的Schrodinger方程方程 ( ),tnnnnnnix tHx ttiaxHatxt *:tmnmnndxxiadxxxt nmnnmnnntmmnnniaa HtiaHatitHtt *tnmnnadxx Hx 111211212221;nnnnHHHaHHtaHHH同样，对定态同样，对定态Schrodinger方程，方程，V不显含不显含t，则，则 /iEtte该方程有非零解该方程有非零解现在学习的是第11页，共18页6. 平均值：平均值：*,Qdxx t Qx tQ说明：对三维运动，要选择三个相互对易的力学量完全集，如说明：对三维运动，要选择三个相互对易的力学量完全集，如 的的共同本征函数完备集作为共同本征函数完备集作为 表象的基。如设表象的基。如设 的本征值都是分的本征值都是分离的，分别为离的，分别为 其量子数分别为其量子数分别为 ，它们的共同本征函数记为，它们的共同本征函数记为 ，则可选定一排序方法，并依次记为，则可选定一排序方法，并依次记为1，2， 如记如记 ，则，则 得到得到 表象中相应的表示。表象中相应的表示。,A B CA B C, ,A B C,nlmab c, ,n l mnlm1 112 2212,n l mn l mUU,nnx ta UA B C求：李子的定态能量和波函数。已知t=0的波函数为求任意t时刻的波函数, x t 1231,02,2xUxUxUx例：例： 设Q表象的基为 ，某粒子的Hamiltonian H在Q表象中的矩阵为 123,Ux Ux Ux0200012021HE现在学习的是第12页，共18页解解：HE00200012021aaEbEbcc 200det0120021 22140231 本征函数本征函数1: 3000220022abc 03012201aabbcc 101121现在学习的是第13页，共18页2:0000120021abc 2000200bcbcbcbcbc2100 3:1000220022abc 0022012201aabcbbcc 301121 123213231212xUxUxxUxUxUx现在学习的是第14页，共18页一般解一般解/,niE tnnnx tCe 31232123,022ccx tUxUxc UxUU 1313123112312222ccccUxUUcUUU21312313202112222112222cccccccc32/2322,22iE tiE tx tee23323/10222 1101222201iE tiE tiE tiE tiE teeeee 现在学习的是第15页，共18页3 表象变换表象变换本节讨论本征值为分立的力学量表象之间的波函数变换与算符变换，为方便计，我们考虑本节讨论本征值为分立的力学量表象之间的波函数变换与算符变换，为方便计，我们考虑一维的情况，但这并不失一般性。一维的情况，但这并不失一般性。设表象“A”中 12Aaa其基为n算符 *mnmLdxx L xx则在“B”中，波函数和算符L如何表示？现有另一表象“B”，基为n显然，任意波函数,nnnnnnx tab*:mnmnnmnmnndxadxbb 记*mnmnSdx 则mnnmnS ab或BASS S矩阵的性质：矩阵的性质：S S是幺正的是幺正的现在学习的是第16页，共18页2. 左矢及内积左矢及内积 ：左矢左矢*dx | 如：动量本征函数的正交归一：如：动量本征函数的正交归一： *|ppdxxxpppppp*|mnmnmndxm n 3. 完备性完备性 ：,nnnx tC现在学习的是第17页，共18页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第18页，共18页
