高中数学 轨迹求法(12页).doc
-高中数学 轨迹求法-第 12 页一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时1三角形ABC中， ，且，则三角形ABC面积最大值为_.2、 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？3、一动点到轴距离比到点的距离小，则此动点的轨迹方程为 .1.4已知， ，动点满足.设动点的轨迹为.（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；5、已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹.（1）求曲线的方程；（2）求过点且与曲线相切的直线方程.6一条线段的长等于，两端点分别在轴和轴上滑动，在线段上且，则点的轨迹方程是（ ）A BC DB7已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5（）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（）记（）中的轨迹为C，过点M（2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程1、【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设点A的坐标为 ，由题意有： ，整理可得： ,结合三角形 的性质可得点C的轨迹方程为以 为圆心， 为半径的圆出去其与x轴的交点，据此可得三角形ABC面积的最大值为2、【解答】|PA|=代入得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.3、或【解析】设动点为，则由条件得，平方得，当时，；当时，所以动点的轨迹方程为或.4、（1），化简可得： ，轨迹是以为圆心，2为半径的圆（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为（1）点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆（2）直线l的方程为x2，或5x12y4605（1）（2），【解析】（1）设点.由及两点间的距离公式，得， 将式两边平方整理得.即所求曲线方程为.（2）由（1）得，表示圆心为，半径为的圆.（i）当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切；（ii） 当过点的直线的斜率存在时，设其方程为，即，由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即，解得，此时直线方程为，所以过点且与曲线相切的直线方程为， .7【解析】【试题分析】（1）运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求解： (1)由题意，得 化简，得即点的轨迹方程是轨迹是以为圆心，以为半径的圆(2)当直线的斜率不存在时，此时所截得的线段的长为，符合题意当直线的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到的距离，由题意，得，解得直线的方程为即.综上，直线的方程为，或.二、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支3 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？4：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。6、已知圆O：x + y = 16及点A(2, 0)，求过A且与圆O相切的诸圆圆心P的轨迹方程。7已知动点到定点和的距离之和为.(1)求动点轨迹的方程；(2)设，过点作直线，交椭圆于不同于的两点，直线， 的斜率分别为， ，求的值.8已知，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（ ）A BC DD1.解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2.【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。3解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周4.【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。6、解：如右图：过A且与圆O相切的圆，只能与圆O相内切，根据两圆相内切的性质：连心线必过其切点，设切点为M，则O、P、M共线， = + 。又因为A在圆P上， y = 。 + = = 4。 M故P的轨迹是以O、A为焦点，长轴长为 P = 4的椭圆。 O A x故 P的轨迹方程：+= 1。（）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆由，得故曲线的方程为 5分（）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得 7分设， ， ， 从而 11分当直线的斜率不存在时，得，得综上，恒有 12分考点：1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.3已知中， 的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点的轨迹方程是（ ）A. （） B. （）C. （） D. （）三、相关点法；若动点P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点P(x,y)而运动，且x, y可用x, y表示，则将P(x,y)代入已知曲线，求出P点的轨迹方程。此法也称代入法或转移法。1点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_(x2)2(y1)21【解析】设圆上任一点坐标为M(x0，y0)，则，PM的中点坐标为(x，y)，则解得代入中得(x2)2(y1)21.2已知圆及一点， 在圆上运动一周， 的中点形成轨迹.（1）求轨迹的方程；3如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点,且， (1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程； 2（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）转移法求动点轨迹,先设所求动点坐标及点坐标,再根据中点坐标公式得两者坐标关系,用动点坐标表示点坐标,最后代入圆方程,化简得轨迹的方程,（2）先根据点斜式写出直线的方程,再根据圆心到直线方程距离得三角形的高,利用垂径定理可得弦长,即三角形底边边长,最后根据三角形面积公式得结果.试题解析：（1）设，则，把代入得（2）直线： 圆心到直线的距离为 3（）；（）。【解析】试题分析：（）由题意P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；（）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度试题解析：（）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）由已知 xp=x,P在圆上， ，即C的方程为在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？4已知圆O： ，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段（在y轴上），M在直线上且 ，则动点M的轨迹方程是( )A. 4x2+16y2=1 B. 16x2+4y2=1 C. D. 5、已知圆O： ，从这个圆上一动点M向y轴作垂线段，垂足为N,且 ，则动点Q的轨迹方程是5、 6. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x2a，2y）【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系7、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 8已知圆及一点， 在圆上运动一周， 的中点形成轨迹.（1）求轨迹的方程；五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程1、 已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程【解析】：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=2，或t=1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是六、 用点差法求轨迹方程1. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得故所求的轨迹方程为：xy+ 4x = 0 (x0)。（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）七、引参消参法； 若题目出现当动点运动所受限制条件较多，不易直接建立x、y的某种联系，但且发现x、y同时受到另外一个变量t（如角度、斜率、截距等）的制约而将它们用t表示，然后通过消去变量t而得到所要求的动点的轨迹方程f(x, y)=0。例7、过点M(-2, 0)作直线L交双曲线xy = 1于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。解：设过M的直线方程为: y = k (x + 2) (k0，k1)，代入双曲线xy = 1得：（1 k）x4 kx 4 k1 = 0OAPB为平行四边形，则：x = x + x = ； yy = y + y = k (x + x) + 4k = 。 P 消去k得xy+ 4xp = 0 M O x当Lx轴时，P点坐标为（-4，0），也满足上述方程。而由k0，得x0。2、已知点P在直线x=2上移动，直线通过原点且和OP垂直，通过点A(1，0)及点P的直线m和直线相交于点Q，求点Q的轨迹方程.解 如图1所示，设OP所在直线的斜率为k，则点P的坐标为(2，2k).由，得直线的方程为x+ky=0. 易得直线m的方程为y=2k(x-1). 由于点Q(x，y)是直线和直线m的交点，所以将2OAmPXYl联立，消去k，得点Q的轨迹方程为(x1).
