高中数学——变化的快慢与变化率(4页).doc

-高中数学变化的快慢与变化率-第 4 页变化的快慢与变化率【教学目标】理解平均变化率的概念，会求具体函数的平均变化率，理解平均变化率的实际意义感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义.【教学重点】理解平均变化率的概念与计算.【教学难点】理解平均变化率的概念及实际意义.【教学过程】问题1：物体从某一时刻开始运动，设表示此物体经过时间走过的路程，显然是时间的函数，表示为.在运动过程中，测得如下数据：025101315069203244物体在02s和1013s这两段时间内，哪一段时间运动得快？【分析】比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画.在02s内，平均速度为： ，在1013s内，平均速度为：，显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段时间运动得快些.用一段时间内物体的平均速度来刻画物体运动的快慢 从时间到时，物体的路程从变为，这段时间内的平均速度为： ，函数变化量记作：，自变量变化量记作：， 则.问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间从到和从到体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 【答】从到，体温从下降到；从到，体温从下降到.从到，体温相对时间的平均变化率为；从到，体温相对时间的平均变化率为； 体温变化率为负数，说明体温在下降，绝对值越大，体温下降得越快，所以从到体温下降比从到体温下降要快.二、抽象概括：平均变化率 1、定义：对于一般的函数来说，当自变量从变为时，函数值从变为，它的平均变化率为：.2、自变量的改变量；函数值的改变量； 3、；为后面的瞬时变化率作结构铺垫；4、可正也可负，还可以为0.【意义】用平均变化率来刻画函数值在区间上的变化的快慢.【练习】课本 练习1三、瞬时变化率 1、引例：例1、【从平均速度到瞬时速度】一个小球从高空自由下落，其走过的路程（单位：米）与时间（单位：秒）的函数关系为；其中为重力加速度.估计小球在这个时刻的瞬时速度.【解】当时间从变到时，根据平均速度公式，求从到这段时间内小球的平均速度：，有时它可以用来近视表示时的瞬时速度，为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如到这段时间内的平均速度，用它来近视表示时的瞬时速度.当时，平均速度趋于，因此，可以认为小球在时的瞬时速度为，由上面的表可以看出，瞬时速度为的物理意义是：如果小球保持这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动. 例2、【估计合金棒的线密度】一根质量分布不均匀的合金棒，长为，（单位：米）表示这段棒的长，（单位：千克）表示这段棒的质量，它们满足的关系为：.估计该合金棒在处的线密度.【解】从到，这段合金棒的平均线密度为： ，它可以近似表示处合金棒的线密度，从到，这段合金棒的平均线密度为： ，它可以近似表示处合金棒的线密度. 如果合金棒的长度进一步缩短，合金棒的线密度就会更接近合金棒在处的线密度. 当时，平均线密度趋于，因此，可以认为合金棒在时的线密度为，由上面的表可以看出，线密度为的物理意义是：如果有长的这种线密度的合金棒，其质量将为.2、抽象概括对于一般的函数来说，当自变量从变为的过程中，若设，则函数的平均变化率为：.当时，平均变化率趋于函数在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某点处的变化的快慢.【备注】1、有时也会利用平均变化率去估计瞬时变化率；瞬时变化率为后面的导数的定义做了一个铺垫.2、从平均变化率到瞬时变化率中含有极限的思想.3、平均变化率与瞬时变化率刻画函数变化的快慢的不同点：在区间上的变化的快慢；在某点处的变化的快慢. 【练习】课本 练习2四、小结： 1、平均变化率与瞬时变化率的定义及计算； 2、平均变化率与瞬时变化率的区别与联系； 联系：都是刻画函数变化的快慢，瞬时变化率是由平均变化率演变而来的，有时也会利用平均变化率去估计瞬时变化率； 区别：平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢；瞬时变化率刻画函数在某点处的变化的快慢. 3、极限思想. 4、对于不同实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义.     作业：课本 习题 2、3， 1