高中数学导数压轴题专题拔高训练 (二)(27页).doc

-高中数学导数压轴题专题拔高训练 (二)-第 27 页高中数学导数压轴题专题拔高训练一选择题（共15小题）1已知可导函数f（x）（xR）满足f（x）f（x），则当a0时，f（a）和eaf（0）大小关系为（）Af（a）eaf（0）Bf（a）eaf（0）Cf（a）=eaf（0）Df（a）eaf（0）考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设函数f（x）=e2x，则导函数f（x）=2e2x，显然满足f'（x）f（x），由f（a）=e2a，eaf（0）=ea，比较得出结论解答：解：由题意知，可设函数f（x）=e2x，则导函数f（x）=2e2x，显然满足f'（x）f（x），f（a）=e2a，eaf（0）=ea，当a0时，显然 e2aea ，即f（a）eaf（0），故选 B点评：本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法2已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间1，2上是减函数，那么b+c（）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：压轴题分析：先对函数f（x）求导，然后令导数在1，2小于等于0即可求出b+c的关系，得到答案解答：解：由f（x）在1，2上是减函数，知f（x）=3x2+2bx+c0，x1，2，则15+2b+2c0b+c故选B点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减3对任意的实数a，b，记若F（x）=maxf（x），g（x）（xR），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x0）与函数y=g（x）的图象如图所示 则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）Ay=F（x）为奇函数By=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（1）Cy=F（x）的最小值为2且最大值为2Dy=F（x）在（3，0）上不是单调函数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否解答：解：f（x）*g（x）=maxf（x），g（x），f（x）*g（x）=maxf（x），g（x）的定义域为R，f（x）*g（x）=maxf（x），g（x），画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（0）；故B不正确y=F（x）的没有最小值和最大值为，故C不正确y=F（x）在（3，0）上不为单调函数；故D正确故选D点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题4已知函数f（x）=x3+ax2bx+1（a、bR）在区间1，3上是减函数，则a+b的最小值是（）ABC2D3考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：求出f（x），因为函数在区间1，3上是减函数得到f（1）和f（3）都小于0分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可解出a的取值范围得到a的最小值，把a的最小值当然即可求出b的最小值，求出a+b的值即可解答：解：f（x）=x2+2axb，因为函数f（x）在区间1，3上是减函数即在区间1，3上，f（x）0，得到f（1）0，且f（3）0，代入得12ab0，且9+6ab0，由得2a+b1，由得b6a9，设u=2a+b1，v=b6a9，假设a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（6a+b）=（2m6n）a+（m+n）b，对照系数得：2m6n=1，m+n=1，解得：m=，n=，a+b=u+v2，则a+b的最小值是2故选C点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用不等式的范围求未知数的最值，是一道综合题5定义在R上的可导函数f（x），当x（1，+）时，f（x）+f（x）xf（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）AcabBbcaCacbDcba考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用分析：根据x（1，+）时，f（x）+f（x）xf（x），可得g（x）=在（1，+）上单调增，由于，即可求得结论解答：解：x（1，+）时，f（x）+f（x）xf（x）f（x）（x1）f（x）00g（x）=在（1，+）上单调增g（）g（2）g（3）cab故选A点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键6设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）Af（a）eaf（0）Bf（a）eaf（0）CD考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算菁优网版权所有专题：压轴题；导数的概念及应用分析：根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f（x）f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）f（0），在对选项进行判断；解答：解：f（x）是定义在R上的可导函数，可以令f（x）=，f（x）=，f（x）f（x），ex0，f（x）0，f（x）为增函数，正数a0，f（a）f（0），=f（0），f（a）eaf（0），故选B点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性，此题要根据已知选项令特殊函数，是一道好题；7若函数f（x）=x3+a|x21|，aR，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（）A1个B2个C3个D5个考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：先令a=0，即可排除A，再将函数化为分段函数，并分段求其导函数，得f（x），最后利用分类讨论，通过画导函数f（x）的图象判断函数f（x）的单调区间的个数，排除法得正确判断解答：解：依题意：（1）当a=0时，f（x）=x3，在（，+）上为增函数，有一个单调区间 当a0时，f（x）=x3+a|x21|aRf（x）=f（x）=（2）当0a时，0，0，导函数的图象如图1：（其中m为图象与x轴交点的横坐标）x（，0时，f（x）0，x（0，m）时，f（x）0，xm，+）时，f（x）0，f（x）在x（，0时，单调递增，x（0，m）时，单调递减，xm，+）时，单调递增，有3个单调区间 （3）当a3时，1，1，导函数的图象如图2：（其中n为x1时图象与x轴交点的横坐标）x（，n时，f（x）0，x（n，1时，f（x）0，x（1，0）时，f（x）0，x0，1）时，f（x）0，x1，+）时，f（x）0函数f（x）在x（，n时，单调递增，x（n，1时，单调递减，x（1，0）时，单调递增，x0，1）时，单调递减，x1，+）时，单调递增，有5个单调区间 由排除A、C、D，故选B点评：本题考查了含绝对值函数的单调区间的判断方法，利用导数研究三次函数单调区间的方法，函数与其导函数图象间的关系，排除法解选择题8已知函数，那么下面结论正确的是（）Af（x）在0，x0上是减函数Bf（x）在x0，上是减函数Cx0，f（x）f（x0）Dx0，f（x）f（x0）考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由函数的解析式f（x）=sinxx可求其导数f（x）=cosx，又余弦函数在0，上单调递减，判断导数在x0，上的正负，再根据导数跟单调性的关系判断函数的单调性解答：解：f（x）=sinxxf（x）=cosxcosx0=，x00，又余弦函数y=cosx在区间0，上单调递减 当xx0时，cosxcosx0 即cosx当xx0时，f（x）=cosx0 f（x）=sinxx在x0，上是减函数故选B点评：利用导数判断函数的单调性，一定要注意其方法及步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f（x）；（3）在f（x）的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0；（4）写出f（x）的单调区间9设，若对于任意x10，1，总存在x00，1，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（）ABC1，4D考点：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想分析：根据对于任意x10，1，总存在x00，1，使得g（x0）=f（x1）成立，得到函数f（X）在0，1上值域是g（X）在0，1上值域的子集，下面利用导数求函数f（x）、g（x）在0，1上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围解答：解：，f（x）=，当x0，1，f（x）0f（x）在0，1上是增函数，f（x）的值域A=0，1；又g（x）=ax+52a（a0）在0，1上是增函数，g（X）的值域B=52a，5a；根据题意，有AB，即故选A点评：此题是个中档题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，10设函数f（x）=kx3+3（k1）x2k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（）ABCD考点：函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k1）x2k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求解答：解：f'（x）=3kx2+6（k1）x，函数f（x）=kx3+3（k1）x2k2+1在区间（0，4）上是减函数，f'（x）=3kx2+6（k1）x0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k0时，f'（4）=48k+6（k1）×40，即0kk0时，f'（4）=48k+6（k1）×40，f'（0）0，k0故k的取值范围是k故选D点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题11若函数f（x）=2x2lnx在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）ABCD考点：函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先求导函数，再进行分类讨论，同时将函数f（x）=2x2lnx在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，转化为f（x）在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内有正也有负，从而可求实数k的取值范围解答：解：求导函数，当k=1时，（k1，k+1）为（0，2），函数在上单调减，在上单调增，满足题意；当k1时，函数f（x）=2x2lnx在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数f（x）在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内有正也有负f（k1）f（k+1）0×0k10k+10，2k+10，2k+30，（2k3）（2k1）0，解得综上知，故选D点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论，等价转化是关键12已知g（x）为三次函数 f（x）=x3+ax2+cx的导函数，则它们的图象可能是（）ABCD考点：函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先求出函数的导函数，然后利用排除法进行判定，以及f（x）=ax2+2ax+c与x轴交点处，函数取极值可得结论解答：解：f（x）=x3+ax2+cxf（x）=ax2+2ax+c对称轴为x=1可排除选项B与选项C再根据f（x）=ax2+2ax+c与x轴交点处，函数取极值可知选项D正确故选D点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是原函数图象与导函数图象的关系，属于基础题13已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f（x）为f（x）的导函数已知y=f（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是（）A（BC（2，1）D（，2）（1，+）考点：函数的单调性与导数的关系；简单线性规划菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；数形结合分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用线性规划的方法得到答案解答：解：由图可知，当x0时，导函数f'（x）0，原函数单调递减，两正数a，b满足f（2a+b）1，且f（2）=1，2a+b2，a0，b0，画出可行域如图k=表示点Q（2，1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（1，0）时，k最大，最大值为：；当P点在B（0，2）时，k最小，最小值为：k的取值范围是（，1）故选A点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减14已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f（x）是f（x）的导函数，当x0时总有xf（x）f（x）成立，则不等式f（x）0的解集为（）Ax|x1或x1Bx|x1或0x1Cx|1x0或0x1Dx|1x1，且x0考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由已知当x0时总有xf（x）f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x）函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）=0函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）0xg（x）0或0x1或x1故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题15已知函数f（x）的定义域为2，+），部分对应值如下表f（x）为f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如下图所示若两正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是（）X204f（x）111ABCD考点：函数的单调性与导数的关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；数形结合分析：由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围解答：解：由导函数的图形知，x（2，0）时，f（x）0；x（0，+）时，f（x）0f（x）在（2，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；f（2a+b）122a+b4a0，b0a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（3，3）连线的斜率的2倍由图知当点为（2，0）时斜率最小，当点为（0，4）时斜率最大所以的取值范围为故选A点评：利用导函数求函数的单调性问题，应该先判断出导函数的符号，当导函数大于0对应函数单调递增；当导函数小于0，对应函数单调递减二解答题（共15小题）16已知mR，函数f（x）=x2mx，g（x）=lnx（1）当x1，2时，如果函数f（x）的最大值为f（1），求m的取值范围；（2）若对有意义的任意x，不等式f（x）g（x）恒成立，求m的取值范围；（3）当m在什么范围内取值时，方程f（x）=g（x）分别无实根？只有一实根？有两个不同实根？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）本问题求出函数的最值代入已知最大值为f（1），即可解得参数m的值，（2）本题恒成立问题转化为函数的最值来解答，具体方法是由f（x）g（x）等价于x2mxlnx，即，构造出函数，利用导数工具可以求解（3）我们对本题可以这样处理，想根据函数y=x2，y=mx，y=lnx的图象的增减性，判断猜测出参数m取值时分别对应方程的根的情况，然后来证明这个结论证明时可利用新构造的函数h（x）=f（x）g（x），利用导数以及函数的单调性，求出函数的最值来判断根x0的性质以辨别是否存在这个根解答：解：（1）函数f（x）=x2mx的图象开口向上，函数在x=1或x=2处取得最大值，则f（1）f（2），1m42m，得：m3（2）f（x）g（x）等价于x2mxlnx，其中x0，即：由，令，得，当x=1时t（x）=0，当x（0，1）时t（x）0；当x（1，+）时t（x）0，mt（x）min=t（1）=1，m1（3）设h（x）=f（x）g（x）=x2mxlnx，其中x0观察得当m=1时，方程f（x）=g（x）即为：x2xlnx=0的一个根为x=1猜测当m1，m=1，m1时方程分别无根，只有一个根，有且只有两个根证明：h（x）=0，等价于2x2mx1=0此方程有且只有一个正根为，且当x（0，x0）时，h（x）0；当x（x0，+）时，h（x）0，函数只有一个极值h（x）min=h（x0）=x02mx0lnx01°当m1时，由（2）得f（x）g（x）恒成立，方程无解2°当m=1时，x0=1，h（x）min=h（1）=0，则h（x）h（x）min=0，当且仅当x=1时，h（x）=0，此时只有一个根x=13°当m1时，关于m在（1，+）上递增，x0（1，+）时lnx00，m11m288m2m2+89m2x0mh（x）min=h（x0）=x02mx0lnx0=x0（x0m）lnx00证毕点评：本题考查二次函数在定区间上的最值问题，函数类型简单，是一个二次函数，第一问的设计很容易，后面两问的综合性较强，对学生的逻辑思维能力，运算能力有很好的锻炼价值，本题第二小题是一个恒成立的问题，求参数的范围，一般转化最值问题来求解，本题第三问也是构造函数来解答，转化为利用导数研究新构造的函数的单调性求出函数的最值，结合最值来判断根的存在与否本题对运算能力有一定的要求，解题时一定要严谨考查的思想方法有分类讨论，构造函数等方法思想17设函数h（x）=x2，（x）=2elnx（e为自然对数的底）（1）求函数F（x）=h（x）（x）的极值；（2）若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”试问：函数h（x）和（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；新定义；数形结合；转化思想分析：（1）根据所给的函数，对函数求导，使得导函数等于0，验证可能的极值点两侧导函数的符合相反，得到函数存在极值（2）由题意知若存在隔离直线，则对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）kx+b和g（x）kx+b，两个函数的图象有公共点，设出直线的方程，根据函数的恒成立得到k的值，求出函数的极大值，得到结论解答：解：（1）F（x）=h（x）（x）=x22elnx（x0）当x=时，F（x）=0，当0x时，F（x）0，当x时，F（x）0F（x）在处取得极小值0（2）由（1）知当x0时，h（x）（x），若存在隔离直线，则对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）kx+b和g（x）kx+b，两个函数的图象有公共点，隔离直线必过（，e）设直线的方程是ye=k（x）h（x）kx+ek恒成立，0k=2令G（x）=（x）2x+e对函数求导有当x时，F（x）0，当0x时，F（x）0当 时有G（x）的极大值 为0，也就是最大值为0从而G（x）0，即 恒成立故函数h（x） 和（x） 存在唯一的“隔离直线”点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的极值，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细18函数f（x）=x2+bln（x+1）2x，bR（1）当b=1时，求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当时，求函数f（x）在（1，1上的最大值；（ln20.69）（3）设g（x）=f（x）+2x，若b2，求证：对任意x1，x2（1，+），且x1x2，都有g（x1）g（x2）2（x1x2）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）把b=1代入解析式，使得解析式具体，对于函数求导利用导函数的几何意义即可求的；（2）把代入解析式，由函数求导得导函数，求出函数在定义域上的极值，在与区间端点值进行比较大小，进而求得函数在区间上的最值；（3）由于g（x）=f（x）+2x，由函数解析式求导得其导函数，利用导函数得到函数在区间上的单调性，进而得到要证明的不等式解答：解：（1）当b=1时，f（x）=x2+ln（x+1）2x定义域为（1，+），f（0）=1，又f（0）=0，故有直线的方程可知：曲线f（x）在点（0，f（0）出的切线方程为：y=x，（2）当b=，求导得：，由f（x）=0，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：由上表可知：，所以，所以函数f（x）在（1，1上的最大值为：，（3）证明：f（x）=x2+bln（x+1）2x=0当且仅当2（x+1）=，即：b=2，且x=0时取等号，b2时，函数f（x）在（1，+）内单调递增，从而对于任意x1，x2（1，+）且x1x2，有f（x1）f（x2），即g（x1）2x1g（x2）2x2g（x1）g（x2）2（x1x2）点评：此题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，还考查了导数的几何含义进而求出曲线上任意一点处的切线方程，还考查了利用均值不等式求解函数的最值19已知函数f（x）=ax+lnx，aR（1）当a=1时，求f（x）的最大值；（2）求证：；（3）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0x1x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1x0x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；转化思想分析：（1）当a=1时，f（x）=x+lnx，易求得f（x），且f（x）0时，函数f（x）单调递增，f（x）0时，函数f（x）单调递减；故可求得f（x）的最大值（2）由（1）知x+lnx1，lnxx1，当取时，可得；把以上各式相加，可得证明（3）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知x+lnx1，当且仅当x=1时取等号；可得+1，整理可得，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x（x1，x2）上，有，可得结论解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x+lnx，且x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递减故当x=1时，f（x）取最大值f（1）=1（2）由（1）知x+lnx1，lnxx1，取，可得；以上各式相加得：ln（n+1）1+（nN+）（3）直线P1P2的斜率为；由（1）知x+lnx1，当且仅当x=1时取等号，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x（x1，x2）上，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1x0x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行点评：本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，是较难的题目20已知函数（）若函数在区间（）（其中m0）上存在极值，求实数m的取值范围；（）如果当x1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（）求证：（n+1）!2（n+1）en2（nN*）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（）求出函数的极值，在探讨函数在区间 （m，m+）（其中a0）上存在极值，寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；（）如果当x1时，不等式 恒成立，求出f（x）在x1时的最小值，把k分离出来，转化为求k的范围（）借助于（）的结论根据叠加法证明不等式解答：解：（）因为函数所以f（x）=极值点为f（x）=0解得x=1故m1m+，解得m1即答案为m1（）如果当x1时，f（x）=0故f（x）递碱故f（x）f（1）=1又不等式恒成立，所以恒成立，所以k2证明：（）由（）知：恒成立，即 令x=n（n+1），则所以 ，叠加得：ln1×22×32×n2×（n+1）×=则1×22×32×n2×（n+1）en2，所以：（n+1）!2（n+1）en2（nN*）点评：此题主要考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，证明数列不等式，借助函数的单调性或恒成立问题加以证明属难题21设函数（p是实数，e是自然对数的底数）（1）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（3）若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求p的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：（1）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0）求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p1）x2（p1）xe=0由判别式求解即可（2）求导f（x）=，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f（x）0恒成立”，再转化为“p=恒成立”，由最值法求解同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f（x）0恒成立”，再转化为“p=恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集（3）因为“在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立”，要转化为“f（x）maxg（x）min”解决，易知g（x）=在1，e上为减函数，所以g（x）2，2e，当p0时，f（x）在1，e上递减；当p1时，f（x）在1，e上递增；当0p1时，两者作差比较解答：解：（1）f（x）=p+，f（1）=2（p1），设直线l：y=2（p1）（x1），l与g（x）图象相切，y=2（p1）（x1），得（p1）（x1）=，即（p1）x2（p1）xe=0，y=当p=1时，方程无解；当p1时由=（p1）24（p1）（e）=0，得p=14e，综上，p=14e（2）f（x）=，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f（x）0恒成立”，即p=恒成立，又，所以当p1时，f（x）在（0，+）为单调增函数同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f（x）0恒成立，再转化为“p=恒成立”，又，所以当p0时，f（x）在（0，+）为单调减函数综上所述，f（x）在（0，+）为单调函数，p的取值范围为p1或p0（3）因g（x）=在1，e上为减函数，所以g（x）2，2e当p0时，由（1）知f（x）在1，e上递减f（x）max=f（1）=02，不合题意当p1时，由（1）知f（x）在1，e上递增，f（1）2，又g（x）在1，e上为减函数，故只需f（x）maxg（x）min，x1，e，即：f（e）=p（e）2lne2p当0p1时，因x0，x1，e所以f（x）=p（x）2lnx（x）2lnx2，不合题意综上，p的取值范围为（ ，+）点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题22设函数（1）试判断当x0，g（x）与f（x）的大小关系；（2）求证：（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n3（nN*）；（3）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）是函数y=g（x）的图象上的两点，且g（x0）=（其中g（x）为g（x）的导函数），证明：x0（x1，x2）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）欲求g（x）与f（x）的大小关系只需判断F（x）=g（x）f（x）的正负，利用导数研究函数F（x）的最小值，使最小值与0比较即可；（2）由（1）知 令x=n（n+1）（nN*），则，从而可证得结论；（3）根据，于是，然后证明，等价于x1lnx2x1lnx1x2+x10，令h（x）=xlnx2xlnx1x2+x，利用导数研究最小值与0比较，对于 同理可证，即可证得结论解答：（1）解：设F（x）=g（x）f（x）（x0）则F（x）=由F（x）=0得x=3当0x3时，F（x）0；当x3时，F（x）0x=3时，F（x） 取得最小值为F（3）=ln310 F（x）0即g（x）f（x） （5分）（2）证明：由（1）知令x=n（n+1）（nN*），则 （7分）ln（1+12）+ln（1+23）+ln1+n（n+1）（2）+（2）+2=2n3+=2n3（1）2n3（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n3（10分）（3）证明：，于是，以下证明等价于x1lnx2x1lnx1x2+x10令h（x）=xlnx2xlnx1x2+x （12分）则h'（x）=lnx2lnx1，在 上，h'（x）0 所以h（x）在