高中数学向量专题 概念+例题(9页).doc

-高中数学向量专题 概念+例题-第 9 页高中数学向量专题学习目标1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.2.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.知识点既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. 表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，也可以用字母a、b、c等表示.(印刷用黑体a、b、c，书写用、注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量).所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模)，记作或者.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用表示. 向量的方向是不定的，或者说任何方向都是向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.4.平行向量、共线向量与也是一对平行向量.由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.重点难点通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念.例1 判断下列各命题是否正确(1)若=，则=(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(3)若=,=,则=(4)两向量、相等的充要条件是(5)=是向量=的必要不充分条件.(6) =的充要条件是A与C重合，B与D重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.(2)正确.=,=且.又A、B、C、D是不共线的四点.四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则DC，且与方向相同，因此=.(3)正确.=，的长度相等且方向相同；又=，的长度相等且方向相同.，的长度相等且方向相同，故 =,但方向相反，即使=，也不能得到=，故不是=的充要条件.=,但=,所以=是 =的必要不充分条件.=时，应有：=及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.说明：针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向、相等的充要条件应是、的方向相同且模相等.针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.结论(6)不正确，告诉我们平面向量与相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.例2 如图所示，ABC中，三边长AB、BC、AC均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中点.(1)写出与共线的向量.(2)写出与的模大小相等的向量.(3)写出与相等的向量.解：(1)E、F分别是AC，AB的中点EFBC从而，与共线的向量，包括：(2)E、F、D分别是AC、AB、BC的中点EF=BC,BD=DC= BC.又AB、BC、AC均不相等从而，与的模大小相等的向量是：、(3)与相等的向量，包括：、.例3 判断下列命题真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共线向量一定相等.(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.(4)不相等的向量，则一定不平行.(5)非零向量的单位向量是±.解：(1)假命题，还可以方向相反；(2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命题，因为向量与起点位置无关；(4)假命题，因为若,方向相同，但只要，则.(5)真命题，任一非零向量：的单位向量为±.例4 如图，已知：四边形ABCD中，N、M分别是AD、BC的中点，又=.求证：=，证明：=AB=DC，且ABDC.从而，四边形ABCD是平行四边形.ADBC，AD=BCN、M分别是AD、BC的中点.AN=AD,MC=BC.AN=MC.又ANMC，四边形AMCN是平行四边形.于是得：AMNC，AM=NC.又由图可知：与的方向一致.【难题巧解点拔】例1 如图，已知四边形ABCD是矩形，O是两对角线AC与BD的交点，设点集M=A,B,C,D,O、向量的集合T=任P，QM，且P、Q不重合，试求集合T的子集个数.分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量.解：以矩形ABCD的四顶点及它的对角线交点O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有20个，但是这20个向量不是各不相等的，我们下面将这20个向量一一列举出来：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=12个子集.说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出T中的元素个数为12.而不是20.这样才能得到正确的结果.例2 已知；如图，点D在ABC的边BC上，且与B、C不重合，E、F分别在AB、AC上，=.(1)求证：BDEDCF.(2)求当D在什么位置时，四边形AEDF的面积可以取到最大值?证明：(1)=DFAE，DF=EA.从而，得：四边形AEDF是平行四边形DEAF，DE=AF由DEAF可得：BDE=C由DFAE可得：B=FDCBDEDCF(2)设BC=a,AC=b,AB=c,BD=x,则DC=a-x.BDEDCF.从而，=，设比为k1.=，设比为k2.由BE+DF=c,ED+FC=b.可得：xk1+(a-x)k1=c,k1=.xk2+(a-x)k2=b,k2=.DF=(a-x)DE=x由点F作FTAB，垂足为T由锐角三角函数，FT=AFsinA=x·sinASAEDF=DF·FT=(a-x)·x·sinA= (ax-x2)sinA=-(x-)2sinAsinA当且仅当x=时，等号成立.答：D是BC边的中点时，SAEDF取到最大值.例3 如图A1，A2，A8是O上的八个等分点，则在以A1，A2A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径倍的向量有多少个?分析：(1)由于A1、A2A8是O上的八个等分点，所以八边形A1A2A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与与 (i=1,2,，8)两类.(2)O内接正方形的边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数.解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是 (i=1,2，8)共8个；另一类是 (i=1,2,8)也有8个，两类合计16个.(2)以A1，A2，A8为顶点的O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍的向量共有4×2×2=16个.说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与 (i=1，2，8)两类，一般我们易想到 (i=1,2,，8)这8个，而易遗漏 (i=1，2，8)这8个.(2)圆内接正方形的一边对应了长为1A3对应向量与.因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.【命题趋势分析】本节着重考查对向量的概念的理解，高考中将会以选择题、填空题形式命题.【典型热点考题】例1 给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 分析：本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识，增加了考点，加大了难度.因为不同的单位向量有不同的方向，所以(1)和(2)较易判断是假命题.因为共线的单位向量有可能方向相反，它们不一定相等，所以(3)也是假命题.选A.例2 如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有 ；(2)若=3，则向量的模等于 .分析：本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力，是容易题，由条件，可得=且=，所以=.于是E、D、C三点共线，故=+=2=6.答：(1) ，；(2)6例3 下列命题中，正确的是( )A.=B.C. =D.=0=0解：由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.应排除D，应选C.例4 下列四个命题：若=0,则=0；若=,则=或=-；若与是平行向量，则=；若=，则-=正确命题个数是( )A.1 B.2 C分析：是忽略了0与不同，由于=0=,但不能写成0；是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相同，并不意味它们的方向相同或相反；是对两个向量平行的意义理解不透，两个向量平行，只是这两个向量的方向相同或相反，而它们的模不一定相等；正确，故选A.强化练习：一、选择题1.下列命题中的假命题是( )与的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同2.如图，在圆O中，向量，是( )A.有相同起点的向量 3.如图，ABC中，DEBC，则其中共线向量有( )是任一非零向量，是单位向量，下列各式；0；=±1；=，其中正确的有( )A.B.C.D.5.四边形ABCD中，若向量与是共线向量，则四边形ABCD( )D.不是平行四边形，也不是梯形6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )，是两个不平行的非零向量，并且, ，则向量等于( )A. B. C. D. 不存在8.命题p：与是方向相同的非零向量，命题q: 与是两平行向量，则命题p是命题q的( )二、判断题与是两平行向量.( )是单位向量，也是单位向量，则=.( )3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )向量.( )=,则A、B、C、D四点构成平行四边形.( )6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )7.设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是长度的倍.( )8.已知四边形ABCD是菱形，则=是菱形ABCD为正方形的充要条件.( )9.在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.( )10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )三、填空题，为非零向量，且与不共线，若，则与必定 .2.已知=4,=8，AOB=60°，则= .3.如图，已知O是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有 个.4.如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则与向量共线的向量有 ；若=1.5,则= .5.已知四边形ABCD中，=,且=,则四边形ABCD的形状是 .四、解答题1.如图，在ABC中，已知：向量=,=,求证：=.2.在直角坐标系中，将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上，其终点的集合构成什么图形?【素质优化训练】、是任意两个向量，下列条件：=;=;与的方向相反；=或=;与都是单位向量.其中，哪些是向量与共线的充分不必要条件 .2.已知ABCD是等腰梯形，ABDC，下列各式：=;=;=;.正确的式子的序号是 .和，有可能是平行向量吗?若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.4.下列各组量是不是向量?如果是向量，说明这些向量之间有什么关系?(1)两个三角形的面积S1，S2；(2)桌面上两个物体各自受到的重力F1，F2；(3)某人向河对岸游泳的速度v1与水流的速度v2；(4)浮在水面上的物体受到的重力W和水的浮力F.【生活实际运用】某人从A点出发向西走了10米，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15米到达C点，最后又向东走了10米到达D点.(1)作出向量、 (用1cm长的线段表示10m长)；(2)求.解：(1)(2)显然=,故=15cm【知识验证实验】已知某轮船从S岛沿北偏西30°的方向航行了45海里，请你用有向线段表示此轮船的位移.【知识探究学习】一小球在30m高处，以2m/s的速度水平抛出，请你用有向线段画出小球经过2S后的水平位移，竖直位移，并计算出实际位移的大小.(g=10m/s2)解：依题意：v0=2m/s,t=2s水平位移x=2×2=4m竖直位移h=gt2=20m实际位移大小是：=4m参考答案【同步达纲练习】二、1. 2.× 3.× 4. 5.× 6.× 7. 8. 9. 10.× 3.12 4.， 四、1.提示：证F平分AC，E平分BC.2.平行于x轴，且与x轴的距离为1的两条直线【素质优化训练】1. 2.3.有三种情况：(1)两个向量和中有一个是零向量，另一个是非零向量；(2)向量，为模不相等，方向相同的两个非零向量；(3)向量，为非零向量且方向相反4.(1)不是向量 (2)是向量，它们是方向相同的向量 (3)是向量，不共线 (4)模相等方向相反的向量