普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 51年.doc

1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x，y.解略：2若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？证：设ABC的重心与外接圆的圆心均为O（图1）OA=OC，E为AC的中点，BEAC；同理，CDAB，AFBC在RtABE与RtACD中，A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以ABEACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知ABC为等边三角形3当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？解略：丈5试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：6若一点P的极坐标是（r,），则它的直角坐标如何？解：x=r,y=r7若方程x2+2x+k=0的两根相等，则k=？解：由=b2-4ac=0,得k=18列举两种证明两个三角形相似的方法答：略9当（x+1)(x-2)0时，x的值的范围如何？解略：-1x210若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011（+)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是T4=2012的通解是什么？解：13系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14 解：原式=15x2-4y2=1的渐近线的方程如何？解略： A A B B B1 C C C1 16三平行平面与一直线交于A，B，C三点，又与另一直线交于A，B，C三点，已知AB=3，BC=7及AB=9求AC解：如图易证:17有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18已知lg2=0.3010,求lg5.略：lg5=1-lg2=0.699019二抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：20国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？解：由图可知：AFG=C+E=2C,AGF=B+D=2B,A+AFG+AGF=A+2C+2B=5A5A=1800，A=360第二部分：1P，Q，R顺次为ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行证：如图：由AD是大圆的切线，可得： 1=2由RQBC，可得：2=3，由QPAB，可得：3=4由PE是小圆的切线，可得： 4=5由RPAC，可得：5=6综上可得：1=6，故ADPE2设ABC的三边BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求B，并证B为A及C的等差中项解：由余弦定理可得：3（1）求证，若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列，则a3c=b3.证：设，是方程x3+ax2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：+=-a +=b =-c又因，排成等比数列，于是2=（2）已知方程x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由可知3=-c，3=27，=3代入+=-7可得+=-10，又由，成等比数列，2=，即=9，故可得方程组：于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线 Y A P（x,y) O X B 证：设抛物线方程为y2=2px过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和OB，设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，于是直线OA的方程为：y =kx直线OB的方程为： 设点A（x1 ,y1),点B(x2 ,y2)由，可得：由，可得：x2=2pk2, y2=-2pk设P（x，y）为AB的中点，由上可得： 由可得： 由可知：px,代入所以，点P的轨迹为一抛物线